吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题

这是一份吉林省白城市实验高级中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 设a＝lg0.26，b＝lg0.36，c＝lg0.46，则( )
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞c＞a D. c＞b＞a
2. 已知抛物线 C:y2=2pxp>0的准线方程为 x=-1， A-1,0， P， Q为 C上两点，且 AP→=λAQ→λ>1，则下列选项 错误 的是（ ）
A. OP→⋅OQ→=5 B. AP→⋅AQ→>8
C. 若 λ=2，则 PQ=152 D. 若 S△PQO=42，则 PQ=165
3. （2023·广东省广州市华南师范大学附属中学综合测试（二））已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知角 α∈(0,π)，且 cs2α=13，则 sinα的值为（ ）
A. 66 B. 33 C. -66 D. -33
5. 已知数列 an满足 a1=1,a2=2,an+2an=2，数列 an的前 n项和为 Sn，则 lg23+S2023=（ ）
A. 1012 B. 1013 C. 2024 D. 2026
6. 已知在数列 an中， a1=56， an+1=13an+12n+1，则 an=( )
A. 32n-23n B. 23n-32n C. 12n-23n D. 23n-12n
7. 已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b与b垂直，则λ＝( )
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
8. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q，研究发现v＝k ln (k>0)．当v＝0.5 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为800.当v＝1.5 m/s时，鲑鱼的耗氧量的单位数为( )
A. 12 800 B. 24 800 C. 25 600 D. 51 200
二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. (2023·重庆市沙坪坝区南开中学校第四次质检(期中))已知函数是定义在上奇函数，则下列说法正确的有( )
A. 函数是偶函数
B. 函数的图象关于点对称
C. 函数是偶函数
D. 函数是奇函数
10. 若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则( )
A. f(2)>f(3) B. f(2)＝f(6) C. f(3)＝f(5) D. f(3)>f(6)
11. 如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则下列计算结果正确的有( )
A. AC＝ km B. BC＝ km C. ∠DBC＝45° D. AB＝ km
12. 以下函数求导正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 设的导函数为，且，则
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的名字命名，洛卡斯数列 Ln为：1，3，4，7，11，18，29，47，76，…，即 L1=1， L2=3，且 Ln+2=Ln+1+Lnn∈N*.设数列 Ln各项依次除以4所得余数形成的数列为 an，则 a100= .
14. [2023·菏泽模拟]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)的解析式____________.
①f(xy)＝f(x)f(y)；②f′(x)是偶函数；③f(x)在(0，＋∞)上单调递增.
15. 设复数z1，z2满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求________．
16. 已知曲线在处的切线经过点，则________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）若，求实数a的取值范围．
18. 已知 fx=23sinxcsx-2sin2x．
(1)求函数 y=fx在 R上的单调增区间；
(2)将函数 y=fx的图象向左平移 mm>0个单位，再对图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数 y=gx的图象，若函数 y=gx的图象关于直线 x=π3对称，求 m取最小值时的 y=gx的解析式．
19. 已知函数.
（1）求函数 fx的单调区间；
（2）设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围.
20.设数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
21. 设函数.
（Ⅰ）试问函数f(x) fxfx能否在x=-1处取得极值，请说明理由;
（Ⅱ）若a=-1，当x∈[−3,4] x∈-3,4x∈-3,4时，函数的图象有两个公共点，求c的取值范围.
22.一半径为4m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时．
（1）将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；
（2）点P第一次到达最高点要多长时间？
（3）在点P每转动一圈过程中，有多长时间点P距水面的高度不小于(2＋2)m？
参考答案
1. 【答案】A
【解析】法一 如图，作出函数y1＝lg0.2x，y2＝lg0.3x，y3＝lg0.4x的图象，
由图可知，当x＝6时，lg0.26＞lg0.36＞lg0.46，即a＞b＞c.
法二 易知0＞lg60.4＞lg60.3＞lg60.2，
所以＜＜，
即lg0.46＜lg0.36＜lg0.26，
即a＞b＞c.
2. 【答案】C
【解析】由抛物线 C:y2=2pxp>0的准线方程为 x=-1，可得 -p2=-1，解得 p=2，
所以抛物线 C:y2=4x，
设直线 PQ:x=ty-1，且 Py124,y1， Qy224,y2，
联立方程组 x=ty-1y2=4x，整理得 y2-4ty+4=0，
则 Δ=16t2-16>0，解得 t2>1，且 y1+y2=4t， y1⋅y2=4，
由 OP→⋅OQ→=y1y2216+y1y2=1+4=5，所以A正确；
由 AP→⋅AQ→=y1y2216+y12+y224+1+y1y2=6+y12+y224>6+12y1y2=8，所以B正确；
当 λ=2时，由 AP→=2AQ→，可得 y1=2y2，
则 y1=22， y2=2或 y1=-22， y2=-2，所以 PQ=172，所以C错误；
由 S△PQO=S△POA-S△QOA=12⋅y1-y2=12⋅y1+y22-4y1⋅y2=2t2-1=42，
解得 t=±3，所以 y1-y2=82，则 PQ=1+t2⋅y1-y2=165，所以D正确．
故选：C.
3. 【答案】D
【解析】因为，，
所以，，
因为，所以，得，
所以，所以
故选：D.
4. 【答案】B
【解析】因为 cs2α=1-2sin2α=13，
所以 sinα=±33，
因为 α∈0,π，
所以 sinα=33.
故选： B.
5. 【答案】B
【解析】因为 a1=1,a2=2,an+2an=2，
所以数列 an的奇数项构成以1为首项、2为公比的等比数列，
偶数项构成以2为首项、2为公比的等比数列，
故 a2n=2n,a2n-1=2n-1，
所以 S2023=a1+a3+⋅⋅⋅+a2023+a2+a4+⋅⋅⋅+a2022
=1-210121-2+2×1-210111-2=21013-3，
故 lg23+S2023=lg221013=1013.
故选：B.
6. 【答案】A
【解析】因为 a1=56， an+1=13an+12n+1，所以 2n+1·an+1=23·2nan+1，
整理得 2n+1·an+1-3=23·2nan-3，
所以数列 2nan-3是以 2a1-3=-43为首项， 23为公比的等比数列．
所以 2nan-3=-4323n-1，解得 an=32n-23n．
故选：A.
7. 【答案】D
【解析】由已知得λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)，因为λa－b与b垂直，所以(λa－b)·b＝0，即(λ－4，－3λ＋2)·(4，－2)＝0，所以4λ－16＋6λ－4＝0，解得λ＝2.
8. 【答案】D
【解析】因为当v＝0.5 m/s时，Q＝800，
所以0.5＝kln ＝3kln 2，解得k＝，
所以当v＝1.5 m/s时，1.5＝ln ，即ln ＝9ln 2＝ln 29，
所以＝29，解得Q＝51 200.
9. 【答案】AD
【解析】对于A：令，，
为偶函数，A正确；
对于B：是奇函数，故图象关于原点对称，
将的图象向左移1个单位可得到图像，
故对称中心为，B错误；
对于C， 令，
如果，则，
由，
此时，不是偶函数，故C错误；
对于D，，
为奇函数，故D正确.
故选：AD
10. 【答案】BCD
【解析】∵y＝f(x＋4)为偶函数，
∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，
∴y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称，
∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．
又y＝f(x)在(4，＋∞)上单调递减，
∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)．
11. 【答案】CD
【解析】在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理得BC＝·sin ∠BDC＝·sin 30°＝(km).
在△ACD中，因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
所以∠DAC＝60°，所以AC＝DC＝(km)，
在△ABC中，由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cs 45°＝＋－2×××＝.
所以AB＝(km).
12. 【答案】ACD
【解析】对于A，，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，所以，故D正确．
故选：ACD.
13. 【答案】 3
【解析】 Ln的各项除以 4的余数分别为 1,3,0,3,3,2,1,3,0,，
故可得 an的周期为 6，且前 6项分别为 1,3,0,3,3,2，
而 a100=a6×16+4=a4=3，
故答案为： 3.
14. 【答案】f(x)＝x(答案不唯一)
【解析】如f(x)＝x，f(xy)＝xy，
f(x)f(y)＝xy，故f(xy)＝f(x)f(y)，f′(x)＝1是偶函数，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，答案不唯一．
15. 【答案】
【解析】，
∴ ，
，
又，则，，
∴ ，
∴ .
故答案为：.
16. 【答案】
【解析】由题意，函数，可得，则，
所以，可得，所以．
故答案为：.
17. 【答案】解 （1）由题意可知，水轮沿逆时针方向旋转，如图，建立平面直角坐标系．
设角φ -π2<φ<0是以Ox为始边，OP0为终边的角．
由OP在ts内所转过的角为 4×2π60t=2π15t，可知以Ox为始边，OP为终边的角为 2π15t＋φ，故P点的纵坐标为4sin 2π15t＋φ，则
z＝4sin 2π15t＋φ＋2.
当t＝0时，z＝0，可得sinφ＝－.
因为 -π2<φ<0，所以φ＝－，故所求函数关系式为
z＝4sin 2π15t-π6＋2.
（2） z＝4sin 2π15t-π6＋2＝6，得sin 2π15t-π6＝1，取 2π15t-π6=π2，解得t＝5，
故点P第一次到达最高点需要5s.
（3） z＝4sin 2π15t-π6＋2≥2＋2，即sin 2π15t-π6≥，解得≤t≤.
在点P每转动一圈过程中，有2.5s的时间点P距水面的高度不小于(2＋2)m.
18. 【答案】解 (1) fx=23sinxcsx-2sin2x=3sin2x+cs2x-1=2sin2x+π6-1，.
因为 -π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ， k∈Z，所以 -π3+kπ≤x≤π6+kπ， k∈Z
故函数 y=f(x)在单调增区间为 kπ-π3,kπ+π6 (k∈Z)；
(2)将 f(x)向左平移 m个单位得到 f1(x)=2sin2(x+m)+π6-1
将 f1(x)纵坐标不变，横坐标变为原来的两倍得到 g(x)=2sin(x+2m+π6)-1，
又因为 y=gx的图象关于直线 x=π3对称，则 π3+2m+π6=kπ+π2， k∈Z，
解得： m=kπ2,k∈Z，
因为 m>0，所以当 k=1时， mmin=π2，
故 g(x)=-2sin(x+π6)-1.
19. 【答案】解 （1），.
当时， f'x>0，在R上单调递增.
当a>0时，令，得 x=lna.
x x>lna时， f'x>0， fx在 lna,+∞上单调递增，
故当时， fx的单调递增区间是R；
当a>0时， fx的单调递减区间是 -∞,lna，单调递增区间是 lna,+∞.
（2），
，，
∵，∴， g'x在上单调递增，
.
当，即时，， gx在上单调递增，
则，，
故.
当1–a<0，即a>1时，，
，使，即或，
时， g'x<0， gx在 0,x0上单调递减，
x>x0时， g'x>0， gx在 x0,+∞上单调递增，
则
，
，∴.
令函数，且，
，在上单调递增，，
∵（），∴.
综上，实数a的取值范围是.
20. 【答案】（1）解 依题意，当时，，解得，
当时，，
整理得，即有，两式相减得，
因此数列为等差数列，由，，得公差，
所以数列的通项公式．
（2）证明 由（1）知，，
因此
，
则，显然数列是递增数列，即有，而，
所以．
21. 【答案】解
22. 【答案】解 （1）若，由，解得，则，
又，即等价于，解得，
则，
.
（2）由等价于，
当时，集合，符合；
当时，由，解得，
即，又，
，解得，
综上，实数的取值范围是.