福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷

这是一份福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答，对任意实数，“”是“”的，函数的大致图象是，已知，则，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min，该物质的温度最接近（参考数据：）（ ）
A．54℃B．52℃C．50℃D．48℃
3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．对任意实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．的解集为
10．已知函数，则（ ）
A．与的图象有相同的对称中心
B．与的图象关于轴对称
C．与的图象关于轴对称
D．的解集为
11．已知函数的定义域为，且，若，则（ ）
A．B．关于中心对称
C．D．函数有最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分
12．已知复数满足，则______．
13．已知，则的最小值为______．
14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数为上的奇函数．
（1）求；
（2）若函数，讨论的极值．
16．（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．
17．（15分）在三棱锥中，底面，分别为的中点，为线段上一点．
（1）求证：平面；
（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．
18．（17分）已知函数，其中是实数．
（1）若，求的单调区间；
（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；
（3）若恒成立，求的最小值．
19．（17分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．
（1）若函数是偶函数，求的最小值；
（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；
（3）设函数，如果对于定义域D内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T，恒有成立，则称函数是D上的“级周期函数”，周期为T．请探究是否存在非零实数，使函数是R上的周期为T的T级周期函数，并证明你的结论．
福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测
高三数学参考答案
一、单选题
8．解：，即，易知，又，当且仅当时，等号成立．
．故选D．
二、多选题
11．解：令，则，又，故A错误；
令，则，又，
，再令，
的图象关于中心对称，故B正确；
由B得，当时，，故C错误；
由B得，在时取到最大值，故D正确．
三、填空题
12．1； 13．； 14．
14．解：设，则，，得，
当单调递增，
当单调递减，
当时，函数取得最大值1，
如图1，画出函数的图象，
由，即，则恒过点，
如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，
则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，
则与有2个交点，，
如图可知，若函数恰有三个零点，则，，
则，所以，
综上可知，．
故答案为：
四、解答题
15．（1）因为函数为上的奇函数，
由，
此时，显然为奇函数．
所以
（2）由（1）得：定义域为，
，
由得；由得，
在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，
；无极小值
16．（1）因为，由余弦定理得，
由正弦定理得
，
又是锐角三角形，所以，
所以，所以，
又，所以．
（2）由余弦定理可得，
又，所以
，
由正弦定理可得，所以，
，
所以，
由题意得解得，则，
所以，所以，
所以，所以线段长的取值范围为
17．（1）解法一：连接交与点0，则，
，
故，
从而，从而，
底面底面，
又，故平面
（1）解法二：连接，由分别为的中点，所以，
，
又因为，所以
，故，从而，
底面底面，
又，故平面
（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
则，
因为平面底面，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
则，可得，令可得，
设二面角为，则，
故二面角的正弦值为．
18．（1）当时，，则，
令，解得，令，解得，
所以在单调递增，单调递减；
（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，
在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．
在为负，为正，
所以在单调递减，单调递增，
（1）若在定义域内恒成立，
只需，即，
（2）若在定义域内恒成立，
时，，故该情况无解．
综上：．
（3）若恒成立，则，当时，，即，
下证成立，由得，恒成立，
即，
记，故，
而，则，解得，
只需证恒成立，
，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，
又在上为正，在上为负，在上为负，
在上单调递增，在上单调递减，，
即恒成立，
最小值为．
19．解：（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为
的最小正周期为，
又的图象过点．
因为函数是偶函数
．
的最小值．
（2）由可得
设，由与图象可知在共有8个交点．
，同理，
．
（3）
假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，
则，恒有成立，
则，恒有成立，
当时，，则，
所以，，
要使得恒成立，则有
当时，则，即，令，其中，
则，
且函数在上的图象是连续的，
由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，
此时，恒成立，则，即；
当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的图象没有公共点，
故方程无实数解．
综上所述，存在满足题意，其中满足．1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
D
C
C
D
B
D
9
10
11
ACD
ABD
BD