天津市第四十一中学2025届高三上学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份天津市第四十一中学2025届高三上学期第一次月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学
一、选择题：（每小题5分，共45分）
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知命题：“”，则为（ ）
A．B．
C．不存在D．
4．函数的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ）
A．120B．60C．40D．30
7．有50人报名足球俱乐部，60人报名乒乓球俱乐部，70人报名足球或乒乓球俱乐部，若已知某人报足球俱乐部，则其报乒乓球俱乐部的概率为（ ）
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
8．已知定义在上的偶函数在区间−∞,0上递减.若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（每小题5分，共30分）
10．已知是虚数单位，化简的结果为 ．
11．在的展开式中，的系数为 ．
12．已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
13．甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
14．已知，则的最小值为 .
15．下列命题正确的是 ．
①对于事件，若，且，则
②若随机变量，则
③相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强
④在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差
三、解答题：（本大题共5小题，共75分），
16．已知定义域为R的单调函数是奇函数,当时,.
(1)求的解析式.
(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围.
17．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：；
乙：；
丙：.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的分布列和数学期望.
18．已知函数．
(1)求的极值；
(2)若，求在上的最大值．
19．甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：，
20．已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．
准点班次数
未准点班次数
A
240
20
B
210
30
0.100
0.050
0.010
2.706
3.841
6.635
1．C
【分析】根据集合的补集、交集运算即可.
【详解】因为，，，
所以，
所以，
故选：C
2．A
【分析】求出和的解集，再根据集合间的关系，即可得解；
【详解】解不等式可得或，解得或，
解不等式，可得或.
或或x>2，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】掌握充分条件和必要条件的定义是解题关键.
3．B
【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题：“”，
则为
故选:B
4．D
【分析】确定奇偶性，排除两个选项，然后再由函数值的变化趋势排除一个选项，得正确选项．
【详解】由可知是偶函数，排除A，B；当时，，选项C错误．
故选：D
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
5．C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
6．B
【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可.
【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法，
同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种.
故选：B.
7．A
【分析】求出报名两个俱乐部的人数，继而求得某人报足球俱乐部的概率和某人报名两个俱乐部的概率，根据条件概率的计算公式，即可得答案.
【详解】由题意知报名两个俱乐部的人数为，
记“某人报足球俱乐部”为事件A，记“某人报乒乓球俱乐部”为事件，
则，所以,
故选：A
8．B
【解析】由是偶函数在−∞,0上递减，故在(0,+∞)上递增，然后比较的自变量，进而判断得结果.
【详解】因为定义在R上的偶函数在区间−∞,0上递减，所以在(0,+∞)上递增，
，，，
因为，在(0,+∞)上递增，
所以，即，
故选:B.
【点睛】方法点睛：本题考查了函数的基本性质，对于抽象函数，要灵活掌握并运用图像与奇偶性、单调性等性质，要注意定义域，还应该学会解决的基本方法与技巧，如对于选择题，可选用特殊值法、赋值法、数形结合等，应用分析、逻辑推理、联想类比等数学思想方法.
9．C
【分析】根据题意得当时恒成立且当时，恒成立，再分别讨论函数在各段上的最值即可求解.
【详解】解: 因为关于的不等式恒成立,
所以当时恒成立且当时，恒成立；
所以当时恒成立且当时，恒成立，
即当时恒成立且当时，恒成立；
所以当时，令，函数g(x)是开口向下的二次函数，对称轴为，
所以当时，即时，函数g(x)在上单调递增，在单调递减，故原不等式恒成立等价于，解得；
当时，即时，函数g(x)在上单调递增，故原不等式恒成立等价于，解得；
当时，令，则，故在区间上单调递减，在上单调递增，所以原不等式恒成立等价于，即.
综上，实数的取值范围是
故选：C
【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，分段函数，考查分类讨论思想，运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意将问题转化为当时恒成立且当时，恒成立.
10．##
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得.
故答案为：.
11．
【分析】由二项式展开式的通项公式写出其通项公式，令确定的值，然后计算项的系数即可.
【详解】展开式的通项公式，
令可得，，
则项的系数为.
故答案为：60.
12．##．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
13． ##120 ##
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，
所以，；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
故答案为：；．
14．
【分析】由已知得,将所求式子化为，然后利用“1的代换”和基本不等式求最值.
【详解】因为，所以,
∴,
所以= ，当 ，即时取等号，的最小值为 .
故答案为：.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，关键是利用“1的代换”进行转化.
15．①③④
【分析】根据事件的包含关系结合条件概率定义可判断①；根据正态分布曲线的对称性可判断②；根据相关系数的绝对值的含义可判断③；根据残差图残差点分布的带状区域的含义判断④.
【详解】对于①，对于事件，，即A发生必定有B发生，则，①正确；
对于②，若随机变量，则，②错误；
对于③，相关系数的绝对值越接近1，两个随机变量的线性相关程度越强，正确；
对于④，在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越差，正确，
故答案为：①③④
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为奇函数和时的解析式，得到与时的解析式，得到答案；
（2）先得到函数的单调性，结合函数的奇偶性解不等式，求出对任意恒成立，故对任意恒成立，由根的判别式求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时, ，
，又函数是奇函数，
，
，
故，
又．综上所述 ；
（2）为R上的单调函数，且，
∴函数在R上单调递减．
，
，
函数是奇函数，
．
又在R上单调递减，
对任意恒成立，
对任意恒成立，
，
解得：．
故实数的取值范围为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用古典概型的概率公式直接计算得解；
（2）先分别求得甲、乙、丙获得优秀奖的概率，再按步骤计算离散型随机变量的概率及期望即可.
【详解】（1）设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，
其概率为；
（2）记事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，则，
事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，则，
依题意可知的可能取值为，
则，
，
，
，
所以的分布列为
期望.
18．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据极值的定义，讨论和0的大小关系即可;
（2）讨论在不同范围上，在上的单调性以及端点值的大小即可.
【详解】（1）；
当时，, 在上单调递增，无极值；
当时，,在上，，单调递减，
在上，，单调递增，有极小值；
综上：当时，无极值；当时，有极小值
（2）由（1）知，时，在上， 单调递减，在上，单调递增.
所以，当时，；
当时，，，
若，则，
Ⅰ：当时，，；
Ⅱ：当时，，；
当时，；
综上得：
19．(1)A，B两家公司长途客车准点的概率分别为，
(2)有
【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果；
（2）根据表格中数据及公式计算，再利用临界值表比较即可得结论.
【详解】（1）根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，
设A家公司长途客车准点事件为M，
则；
B共有班次240次，准点班次有210次，
设B家公司长途客车准点事件为N，
则.
A家公司长途客车准点的概率为；
B家公司长途客车准点的概率为.
（2）列联表
=，
根据临界值表可知，有的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.
20．(1)
(2)证明见的解析
【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；
（2）利用分析法，转化要证明条件为，再利用导数即可得证.
【详解】（1）[方法一]：常规求导
的定义域为，则
令f'(x)=0,得
当单调递减
当单调递增，
若,则,即
所以的取值范围为
[方法二]：同构处理
由得：
令，则即
令，则
故在区间上是增函数
故，即
所以的取值范围为
（2）[方法一]：构造函数
由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设
要证,即证
因为,即证
又因为,故只需证
即证
即证
下面证明时，
设，
则
设
所以,而
所以,所以
所以在单调递增
即,所以
令
所以在单调递减
即,所以；
综上, ,所以.
[方法二]：对数平均不等式
由题意得：
令，则，
所以在上单调递增，故只有1个解
又因为有两个零点，故
两边取对数得：，即
又因为，故，即
下证
因为
不妨设，则只需证
构造，则
故在上单调递减
故，即得证
【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式
这个函数经常出现，需要掌握
准点班次数
未准点班次数
合计
A
240
20
260
B
210
30
240
合计
450
50
500