【高三数学】一轮复习：大题专练—导数2（教师版）

这是一份【高三数学】一轮复习：大题专练—导数2（教师版），共71页。试卷主要包含了已知定义在，上的函数，已知函数，已知函数，，已知函数在处的切线方程为，已知函数的导函数为等内容，欢迎下载使用。
大题专练9—导数（双变量与极值点偏移问题1）
1．已知定义在，上的函数．
（1）若为定义域上的增函数，求实数的取值范围；
（2）若，，，为的极小值，求证：．
解：（1）由，得，
为，上的增函数，
，，，
设，，
为减函数，，
时为定义域上的增函数，
故实数的取值范围是，；
（2）证明：，，，
设，，为增函数，
，，
，，当时，，递减，
当，时，，递增，为的极小值，
设，，，，
设，，
，，
，为增函数，
，
，为增函数，
，
，，
，
又，，
，，即．
2．已知函数．
（Ⅰ）求函数在的最大值；
（Ⅱ）证明：函数在有两个极值点，，并判断与的大小关系．
（Ⅰ）解：函数，
所以，则，
所以当时，，故，
所以函数在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一的零点，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以在上的最大值为；
（Ⅱ）证明：，
①当时，单调递增，
又，，
所以在有唯一的零点，
此时当时，，则单调递减，
当时，，则单调递减，
故是极小值点，不妨设；
②当时，
，所以，
故在上单调递增，故没有极值点；
③当，，
由（Ⅰ）知，在上单调递减，在上单调递增，
且，，
故由唯一的零点，
则当时，，则单调递减，
当，时，，则单调递增，
又，，
所以在由唯一的零点，
此时时，，则单调递增，
当，时，，
所以是极大值点，即，且，
由于，所以，
因为，
所以，即．
3．已知函数，．
（1）求函数的增区间；
（2）设，是函数的两个极值点，且，求证：．
解：（1）由题意得，
令，则，
①当△，即时，在上恒成立，
即的递增区间是，
②当△，即时，或，
即在，，递增，
综上：时，的递增区间是，
时，的递增区间是，，；
（2），有2个极值点，，
，是方程的两个不相等的正实数根，
从而△，，解得：，
由，解得：，
，且，
令，且，则，
故当时，，故单调递增，
当时，，单调递增，
故，
要证，只要证，只要证明，
，只要证明，
令，
则，
，，即在，递增，
故（1），即，
故，．
4．已知函数在处的切线方程为．
（1）求实数及的值；
（2）若有两个极值点，，求的取值范围并证明．
解：（1），切线方程为，
，，
又，；
（2）由（1）可知，则，
，
当时，，在递增，没有极值点，
当时，令，其对称轴方程为，△，
①若时，△，此时，
在上递减，没有极值点，
②若时，△，由，即，
则的两根为，，不妨设，
由，（1），，故，
，，，的变化如下：
综上，的取值范围是，，
此时，，故，
由，，得，故．
5．已知函数为单调减函数，的导函数的最大值
不小于0．
（1）求的值；
（2）若，求证：．
（1）解：因为为单调减函数，
所以恒成立，
所以在上恒成立，
由于当时，，
所以，解得，
因为，
当且仅当时，取得最大值为，
由题意可得，，解得，
综上可得，的值为；
（2）证明：由（1）可知，，
所以，因为，且在上单调递减，
可设，
令，，
所以
，
所以在，上单调递减，
所以（1）（1），
故，，
因为，所以，
因为为上的单调递减函数，
所以，
故．
6．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，求证：．
解：（1）当时，，则，
所以（1），又（1），
所以切线方程为，即．
（2）证明：由题意得，则，
因为函数有两个极值点，，
所以有两个不相等的实数根，，
令，则，
①当时，恒成立，则函数为上的增函数，
故在上至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，得，
当，时，，故函数在，上单调递减；
当，时，，故函数在，上单调递增，
因为函数有两个不相等的实数根，，
所以，得，
不妨设，则，，
又，所以，，
令，
则，
所以函数在上单调递增，
由，可得，即，
又，是函数的两个零点，即，
所以，
因为，所以，
又，函数在，上单调递减，
所以，即，
又，所以，因此．
大题专练10—导数（双变量与极值点偏移问题2）
1．已知函数，其中是自然对数的底数，是函数的导数．
（Ⅰ）若，，
（ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程．
（ⅱ）当时，判断函数在区间，上零点的个数．
（Ⅱ）若，，当时，求证：若，且，则．
（Ⅰ）解：（ⅰ）当，，时，，
则（1），，所以（1），
故切点坐标为，切线的斜率为0，
故切线方程为；
由可得，，
令，解得，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，取得极小值即最小值，
①当时，无零点；
②当时，在区间，上单调递减，且，
所以是在，上的唯一零点；
③当时，在区间上单调递减，且
又（1），，
所以在区间，上仅有一个零点．
综上所述，当时，在区间，上无零点；
当时，在区间，上仅有一个零点；
（Ⅱ）证明：当，，当时，，
令，，不妨设，，
令
，
其中，
因为，
所以当时，，
故若，且，则．
2．已知函数．
（1）当，时，求的单调区间；
（2）当时，若函数有两个不同的极值点，，且不等式有解，求实数的取值范围；
（3）设，若有两个相异零点，，求证：．
解：（1）当，时，，
，
，令，则，
令，则，
的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）证明：由题可得，
函数有两个不同的极值点，，
方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得．
不等式有解，．
．
设（a），（a），
故（a）在上单调递增，故（a），
．故实数的取值范围为．
（3），设的两个相异零点为，，
设，欲证，需证．
，，
，，
，．
要证，即证，
即，即，
设上式转化为，
设，，
在上单调递增，
（1），
，
，
．
3．已知函数．
（1）求函数的图象在点，处的切线方程；
（2）若存在两个不相等的数，，满足，求证：．
（1）解：函数，则，则，又，
则切点为，切线的斜率为1，
所以的图象在点，处的切线方程为，即；
（2）证明：令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得极大值，即为极大值点，
不妨设，由题意可知，，
令，
则，因为，
所以，则单调递减，
又，所以在上恒成立，
等价于在上恒成立，
所以，
因为，，
又在上单调递增，
所以，
故．
4．已知函数有两个不同的零点，，且．
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）若不等式对任意的，恒成立，求实数的最大值；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）显然不是的零点，令，则，
依题意，直线与函数的图象有两个交点，
又，则函数在，上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，（1），其草图如下，
由图象可知，实数的取值范围为；
（Ⅱ），即，
，
的一个必要条件是，
又，
，则，
当时，，，，
单调递增，而，
在，上单调递增，故，符合题意，
实数的最大值为2；
（Ⅲ）证明：易知，
，
，，
，，
，即，即，
要证，即证，只需证，
记，则，
易知在上单调递增，
（e），即得证．
5．已知，．
（Ⅰ）若在点，（1）处的切线斜率为，求实数的值；
（Ⅱ）若有两个零点，且，求证：．
（Ⅰ）解：，，
由（1），得．
（Ⅱ）证明：有两个零点，
即有两个不等根，，
即，
即．
令，则．
记，则．
记，则，
所以（3），即，
即在上单调递增，即（3），
所以，
所以．
6．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，令，若函数的图象与直线相交于不同的两点，，设，分别为点，的横坐标，求证：．
（1）解：的定义域为，且．
当时，，则在上单调递增．
当时，若，则，在上单调递增；
若，则，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）证明：当时，，，
所以，
所以．
要证，即证．
因为，所以，即证．
令，则，即证．
令，则，
所以在上单调递减，
所以（1），即，．①
令，则，所以在上单调递增，
则（1），即．②
综合①②得，所以．
大题专练11—导数（有解问题1）
1．已知函数，其中．
（1）当时，求函数的最值；
（2）若存在唯一整数，使得，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
，且为定义在，，上的偶函数，
令，解得，且当，，时，，当，，时，，
（1），无最大值；
（2）即，
令，，作出函数与的大致图象如下，
易知恒过点，且，
由图象可知，要使存在唯一整数，使得，则，即，解得．
故实数的取值范围为．
2．已知函数．
（1）当时，判断函数在区间内极值点的个数；
（2）当时，证明：方程在区间上有唯一解．
解：（1）当时，，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以函数在区间内有且仅有1个极值点．
（2）方程，即为方程，
即为方程，
令，，
则，
又，所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
又因为（1），
时，，
令，可得，
所以，
所以存在，，使，
即方程在区间上有唯一解．
3．记，为的导函数．若对，，则称函数为上的“凸函数”．已知函数．．
（1）若函数为，上的凸函数，求的取值范围；
（2）若方程在，上有且仅有一个实数解，求的取值范围．
解：（1），，
若为，上的凸函数，则对恒成立，
即对恒成立，而在，单调递增，
，，解得：，故的取值范围是．
（2）由得，令，（1），
，
当时，对恒成立，在，上单调递增，
又（1），在，上有且只有1个实数根，符合题意，
当时，令得，，
若即时，对恒成立，在，单调递减，
在，上有且只有1个实数根，符合题意，
若即时，在，递增，在，递减，
，，，
故存在，，即在，上有2个零点，
综上，的取值范围是，，．
4．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）若是函数的极值点，且关于的方程有两个实根，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ），，，
当时，，函数在单调递增，
当时，令，解得：，
当时，，函数在递增；
综上：当时，函数的递增区间是，
当时，函数的递增区间是．
（Ⅱ），是函数的极值点，
（1），解得：，
，
方程即，
设，则，
故在递增，在递减，
故（1），
，，
设，则，
，
故函数在递减，在递增，
故（1），
又当无限增大或无限接近0时，都趋近于0，
故，
故实数的取值范围是，．
5．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）当时，函数有两个零点，求正整数的最小值．
解：（1）时，，，
，（1），（1），
故切线方程是，即；
（2），当时，由可得，
由得，由，得，
①若时，在上单调递增，至多1个零点，不合题意，
②若时，函数在上单调递减，在上单调递减，
（1），故若函数有2个零点，则，
令，，则，在递减，
又（2），（3），（4），
故存在使得，则的解集是，，
综上，的取值范围是，，，
故正整数的最小值是4．
6．已知函数．
（1）设曲线在处的切线方程为，求证：；
（2）若方程有两个根，，求证：．
证明：（1），则，
故，，
故切线方程是：，即，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在，递增，
故，即；
（2）不妨设，直线与相交于点，
又由（1）知：，则，
从而，当且仅当，时取“”，
下面证明：，
由于，故，即证，
令，则，
令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故（e），即成立，当且仅当，时取“”，
由于等号成立的条件不同时满足，
故．
7．已知函数的导函数为．
（1）当时，求证：；
（2）若只有一个零点，求的取值范围．
解：，
（1）证明：当时，，
设，则，
故在单调递增，在单调递减，
又由于，故，由于，
故，即；
（2）注意到（1），
①若，，
故在上单调递减，取，
则，
故存在使得（a），即在上只有1个零点，
②若，当时，，而，故，
当时，，
故，即在上无零点，
③当时，，，在上单调递增，
设且，当时，，
故存在使得（b），即在上只有1个零点，
综上：若只有1个零点，，，．
大题专练12—导数（有解问题2）
1．已知函数，，，．
（1）当时，求证：；
（2）若函数有两个零点，求的取值范围．
解：（1）证明：当时，，
则，
，
因为，，
所以，，
因此，
所以在，上单调递增，
于是，
因此在，上单调递增，
所以 ．
（2）由（1）知，当时，，当且仅当时取等号，
此时函数仅有1个零点，
当时，因为，
所以，
，
当，时，，单调递增，
当，时，，
因为，，
所以，所以单调递增，
又，，
因此在，上存在唯一的零点，且．
当时，，所以单调递减，
当，时，，所以单调递增，
又，，，
因此在，上存在唯一的零点，且，，
当时，，所以单调递减，
当，时，，所以单调递增，
又 ， ，，
所以在，上存在唯一零点，
因此在，上有两个零点，
综上，的取值范围是，．
2．已知函数．
（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；
（2）若有两个零点，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
，
因为，，
所以曲线在点，处的切线方程为．
（2）因为有两个零点，所以方程有两个不同的根，
即关于的方程有两个不同的解，
当时，方程不成立，所以，
令，则与的图象有两个交点，
且，
令，得或，令，得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值（1），
因为，且当时，，
所以的取值范围是．
3．已知函数．
（1）若，讨论的单调性；
（2）已知，若方程在有且只有两个解，求实数的取值范围．
解：（1）依题可得，定义域为，
所以．
当时，由，得，由，得，
则的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，由，得，由，得或，
则的单调递减区间为，单调递增区间为和．
当时，恒成立，则的单调递增区间为．
当时，由，得，由，得或，
则的单调递减区间为，单调递增区间为和．
（2）．
方程在有且只有两个解，即关于方程在上有两个不相等的实数根．
令，，则．
令，，则，
因为在上恒成立，故在上单调递增．
因为（1），所以当时，有，即，所以单调递减；
当，时，有，即，所以单调递增．
因为，（1），，
所以的取值范围是．
4．已知实数，设函数，．
（Ⅰ）若，讨论的单调性；
（Ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围．
解：（Ⅰ）若，则，令，
令，解得或，令，解得，
函数在，单调递增，在单调递减；
（Ⅱ）①当时，显然只有一个零点，即方程有唯一实根；
②当时，令，则，即有唯一实数解，
当时，则，，而，显然无解；
当时，若，则，而，显然无解，则，
令，则它们的图象有且仅有一个交点，
注意到，且在处取得等号，考虑的情况，可得，即直线与函数，分别交于点和，
（A）若，则；
（B）若，则，时，，则存在唯一交点；
（C）若，则（a）（a），，由零点存在性定理可知，存在唯一交点；
综上所述，实数的取值范围为，．
5．已知函数和．
（Ⅰ）若曲线和在处的切线斜率都为，求和；
（Ⅱ）若方程在区间，上有解，求的取值范围．
解：（Ⅰ）函数的导数为，
所以曲线在处的切线的斜率为①，
的导数为，
所以曲线在处的切线的斜率为②，
由①②，解得，；
（Ⅱ）方程在区间，上有解，
则在区间，上有解，
设，则，
当时，，递增；
当时，，，递减．
所以的最大值为（1），
所以，所以．
令，则，
由的导数为，可得在递增，递减，
则的最小值为（1），即有恒成立，
所以，所以，
所以在，递减，在，递增，
所以在处取得最小值1，
因为与相交有解，．
（e），（e），
所以（1），所以，
所以的取值范围为．
6．已知函数，其中，令．
（1）求证：当时，无极值点；
（2）若函数，是否存在实数，使得在处取得极小值？并说明理由．
解：（1）证明：，则，
显然，，当时，，
在上为增函数，无极值点；
（2）存在，使得在处取得极小值．理由如下：
，则，
显然是的极小值点的必要条件为，解得，此时，
显然当时，；
当时，，故，
令，则，故在上为减函数，
故当时，，即，
令，则，当时，，故在单调递增，
故当时，，即，
故当时，，
因此，当时，是的极小值点，即充分性也成立．
综上，存在，使得在处取得极小值．
7．已知函数，．
（1）若时，函数有极小值，试确定的取值范围；
（2）当时，函数在，上的最大值为，若存在，，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）函数的定义域为，，
①当时，，令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；
②当时，令，解得或，
当时，，令，解得或，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，此时在处取得极小值，符合题意；
当时，，令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减，此时无极小值；
综上，实数的取值范围为；
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
，
存在，，使得成立，即存在，，使成立，只需函数在，上的最大值大于等于，
，解得，
故实数的取值范围为．
大题专练13—导数（任意、存在性问题1）
1．已知是自然对数的底数，，．
（1）当时，求证：在上单调递增；
（2）是否存在实数，对任何，都有？若存在，求出的所有值；若不存在，请说明理由．
解：（1）证明：，
分
，，
，
当时，在上单调递增；
（2）解：由（1）知，当时，在上单调递增，
此时，，由于，，
，与题意不符；分
当时，设，则在上单调递增，
根据函数与的性质得与的图象在第一象限有唯一的交点，设交点的横坐标为，
则，即，
，即，
，
当时，，故，所以在上是减函数；
当时，，，所以在，上是增函数，
当时，取得最小值，且的最小值为，
对，都有，分
设（a），则（a），
当时，（a），所以（a）在上是增函数；
当时，（a），所以（a）在上是减函数；
当时，（a）取得最大值，且（a）的最大值为（1）；
当时，（a），即，且“”成立，
由得，
，
综上所述，存在唯一的实数，且，，都有．分
2．设函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：对于任意，存在实数，当时，恒成立．
解：（1），，
①当时，恒成立，所以在上为减函数；
②当时，由，得，由，得；
由，得，
所以在上为减函数，在上为增函数；
（2）由得，，即不等式，恒成立，
记，则，由得，；
由得，；由得，．
所以在为增函数，在上为减函数，
所以，所以；
（3）证明：由（1）知，
当时，在上为减函数，在上为增函数．
①当，即时，因为在上为增函数，
又（1），所以，当时，，此时取；
②当，即时，
因为，
所以，，
令，，则上式，
记，，则，
所以在上为增函数，
所以（1），即，
因为在上为增函数，且，
所以当时，，此时取．
综上，对于任意，存在实数，当时，恒成立．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在实数，使得恒成立的值有且只有一个，求的值．
解：（1），的定义域是，
，
当时，，在上单调递增，
当时，令，解得：，
当时，，当，时，，
在上单调递增，在，上单调递减；
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递增，在，上单调递减；
（2）恒成立，即恒成立，
令，则，
①当时，，单调递增，
要使在上恒成立，
只需，
，此时不唯一，不合题意；
②当时，令，解得：，
在上单调递增，
要使在上恒成立，只需，
，此时不唯一，不合题意；
③当时，令，解得：，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
，
要使在上恒成立，且的值唯一，只需，
整理得，
令，则，
令，解得：，
当时，，单调递增，
当，时，，单调递减，
，
要使的值唯一，只需，
解得：，，
．
4．已知函数．
（1）设，求函数的最小值；
（2）设，对任意，，恒成立，求的最大值．
解：（1），
令，则，，
则，
当时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
故的最小值是，
即的最小值是；
（2），
则
，
由（1）知，
故，
故，
故的最大值是．
5．已知函数，．
（1）若对任意给定的，，总存在唯一一个，，使得成立，求实数的取值范围；
（2）若对任意给定的，，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，求实数的取值范围．
解：（1）由题意知，，
因为，所以由，解得或，由，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，和，，
，，（1），，
所以的值域为，，
又因为在，上单调递增，
所以的值域为，，
问题转化为直线，，和曲线，的图象只有一个交点，
结合图象，有，解得的取值范围是，．
（2）由（1）可知，问题转化为，，和曲线，二者的图象有两个不同的交点，
结合图象，有，解得的取值范围是．
6．已知函数，，．
（1）若在，上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若对于，总存在，，且满，，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围．
解：（1），
，
令，因为对，恒成立，
，即在，上为增函数，
，
在，上单调递减，
对，恒成立，即
，
即实数的取值范围是，．
（2）当时，，
在区间上为增函数，
时，，
的对称轴为，
由题意可得，此时，
的值恒小于和（4）中最大的一个
对于，总存在，，且满足，，
，，，（4），
，
，
即实数的取值范围是．
大题专练14—导数（任意、存在性问题2）
1．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当，时，求证：．
解：（1）的定义域为，，
①当时，，即在上单调递减；
②当时，，
由，解得，由，解得，
即在上单调递减，在，上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在，上单调递增．
（2）证明：，即，
令，，则，
令，则，
令，则，
所以即在上单调递增，
又，
①当时，，则恒成立，即在上单调递增，
则有；
②当时，，
，则，
即存在使得，即，
且，
即，
综上所述，恒成立，即在上单调递增，
所以，即．
2．设，已知函数，函数．
（Ⅰ）若，求函数的最小值；
（Ⅱ）若对任意实数和正数，均有，求的取值范围．
（注为自然对数的底数）
解：（Ⅰ）当时，为增函数，且，
所以在递减，在递增，
所以．
（Ⅱ）因为，
由于函数在上单增，且，（1），
所以存在唯一的使得．且．
再令，，可知在单增，
而由可知，，，所以．
于是，所以．
又为增函数，
当时，，当时，；
又当时，，当时，（3），
所以对任意，存在唯一实数，使得，即，且．
由题意，即使得，
也即，即，
又由于单增且，
所以的值范围为，，代入，求得的取值范围为，．
3．已知函数在处取得极值，．
（1）求的值与的单调区间；
（2）设，已知函数，若对于任意、，，都有，求实数的取值范围．
解：（1）由题意得的定义域为，，
函数在处取得极值，
（2），解得，
则由得或，
、、的关系如下表：
函数的单调递增区间为、，单调递减区间为；
（2）由（1）得函数，
当时，对任意、，，都有，
即当，，时，，
在，上单调递减，，，，
在，上单调递减，
则，，
则，
即，解得或，结合，得，
故实数的取值范围为．
4．已知函数，，
（1）设函数，求的单调区间和极值；
（2）对任意的，存在，使得，求的最小值
解：（1）由已知
所以（1分）
当时，恒成立，所以在定义域单调递增，没有极值．（2分）
当时，令，得，列表得
所以，在区间单调递减，在单调递增，时取到极小值（a），没有极大值（5分）
综上，当时，在定义域单调递增，没有极值．
当时，在区间单调递减，在单调递增，（a），没有极大值（6分）
（2）由已知，设
即，
解得，，所以，
令，（8分）
则
令，则恒成立，
所以在单调递增，且（1）
当时，，，所以单调递减
当时，，，所以单调递增，
即时取到极小值，也是最小值，所以（1）
所以的最小值为（12分）
5．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，，．不等式恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），定义域是，
，
令，△，
①即时，恒成立，
即恒成立，在单调递增，
②即或时，有2个不相等的实数根，
此时，，
时，，，
故时，，即，
，时，，即，
，时，，即，
故在递增，在，递减，在，递增；
时，，，时，递增，
综上：时，在单调递增，
时，在递增，在，递减，在，递增．
（2），，当时，在，上恒成立，
在，上单调递增，（1），
故问题等价于：对于任意的，不等式恒成立，
即恒成立，记（a），，则（a），
令（a），则（a），
所以（a）在上递减，所以（a）（1），
故（a），所以（a）在上单调递减，
所以（2），
即实数的取值范围为，．
大题专练15—导数（数列不等式的证明1）
1．已知函数．
（1）若，，证明：在区间内存在唯一零点；
（2）若，，
（Ⅰ）证明：时，；
（Ⅱ）证明：（其中，且．
证明：（1）若，，则，，
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
又，
在区间内存在唯一零点；
（2）若，，则，
（Ⅰ），
令，易知在上单调递增，
，即，
在上单调递减，
，即得证；
（Ⅱ）当，时，，
又，故，则，
由（Ⅰ）知，时，，
令，，
，，
以上各式相加得，，
即，即，即得证．
2．已知函数．
（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；
（2）求证：．
解：（1）函数，（1），
，（1），
曲线在处的切线方程为：，
；
（2）证明：令，，
则，
，
函数在单调递增，
（1），
函数在单调递增，
（1）．
当时：，
令，则化为：，
，，，，，
，，，
．
3．设函数．
（1）若，求的极值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若，证明：．
解：（1）的定义域是，
当时，，
令，解得：，令，解得：，
在递减，在递增，
（1），无极大值．
（2），
①当时，若，则，若，则，
在递减，在递增；
②当即时，
若，则或，若，则，
在，递减，在，递增；
③当，即时，恒成立，
在上单调递增；
④当即时，
若，则或，若，则，
在递减，在，，递增，
综上：当时，在递增，在递减，在，递增，
当时，在递增，
当时，在递增，在，递减，在递增，
当时，在递减，在递增．
（3）由（1）知在递减，
时，（1），，
令，得，
，即，
，，，，，
累加得：，
．
4．已知函数，．
（1）若不等式对恒成立，求实数的范围；
（2）若正项数列满足，，数列的前项和为，求证：．
解：（1）不等式对恒成立，
对恒成立，
设，则，
令，解得，令，解得，
故在递增，在递减，
（1），
的取值范围是，；
（2）证明：取，由（1）可知对恒成立，
则，，，，
，
，，
，
数列是常数列，
，
，
，
，
，，原结论成立．
5．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）证明：．
解：（Ⅰ）由于，
故在上单调递减．
（Ⅱ）证明：当时，．
由（Ⅰ）知在上单调递减．
注意到（1），则当时，恒有．
取，有，即，
又，
因此
6．函数．
（1），求的单调区间；
（2）若在，上恒成立，求实数的取值范围；
（3）令函数，求证：．
解：（1），，，
当，时，，
当，时，，
所以的单调递增区间是，，
的单调递减区间是，．
（2）不等式恒成立等价于，
令，则由，可得到，
可以看作是关于的一次函数，单调递增，
令，
对于，，，恒成立，
只需证明即可，
，
当，，
则，在上单调递减，又，
所以此时恒成立．
当时，恒成立；
当时，单调递增，
，，所以在上存在唯一的，使得，
当时，，当，时，，
所以在时单调递减，在，时单调递增，
，，，
恒成立，故恒成立，
．
（3）证明：由（2）可知，
，令，，，2，，8，
可得到，
从而，
即得证．
大题专练16—导数（讨论函数单调性）
1．已知，其中为实数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
解：（1）若，则，
，
设曲线在处的切线方程的斜率为，
则，又（1），
所以，在处的切线方程为：，即；
（2），
①当时，，，，，
故在上单调递减，在上单调递增；
同理可得，
②当时，在，上单调递增，在上单调递减；
③当时，在上单调递增；
④当时，在，上单调递增，在上单调递减；
综上所述，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
2．已知函数，讨论的单调性；
解：，
设，则当时，，当时，，
所以在单调递减，在上单调递增；
设，由得或．
①若，则，所以在单调递增，
②若，则，
当，，时，，
当时，，
所以在，单调递增，在单调递减；
③若，则，
当，，时，，
当时，，
所以在，单调递增，在单调递减；
综上：当，在单调递减，在上单调递增，
当，在，单调递增，在单调递减，
当，在单调递增，
当，在，单调递增，在单调递减．
3．已知函数，．
（1）若函数在时取得极值，求的值；
（2）讨论函数的单调性．
解：（1），
，
在处取得极值，
故（1），解得：，
时，，
，
令，解得：或，
令，解得：，
故在递增，在递减，在递增，
故是函数的极大值点，符合题意；
（2）由（1）得，
令，则或，
①时，，
此时在上单调递增，
②时，，
当时，，
当，，时，，
故在递减，在，递增，
③时，，
此时当时，，
当，时，，
在递减，在，递增，
综上：时，在递增，在递减，在递增，
时，在上单调递增，
时，在递增，在递减，在递增．
4．已知函数．
（1）当时，求在，的最大值为自然对数的底数，；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若且，求实数的取值范围．
解：（1）当时，，
则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
故当时，函数取得唯一的极大值，即最大值，
所以在，的最大值为；
（2）函数的定义域为，
则，
①当，即时，，
此时函数在上单调递增；
②当，即时，
若，则，
令，可得，令，可得，
此时函数在上单调递增，在，上单调递减；
若，则，则，故，
则对恒成立，
此时函数在上单调递减．
综上所述，当若时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在，上单调递减；
当时，函数在上单调递增；
（3）等价于，即，
令，则，
又，
①当时，对任意的恒成立，符合题意；
②当时，令，可得或（舍，
当，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，取得最大值（a），
因为，所以，
令（a），则函数（a）在上单调递增，
又（1），故由，可得（a）（1），解得．
综上所述，实数的取值范围为，．
5．已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数的取值范围．
解：（1），定义域是，
，
当时，，
时，，递增，
时，，递减，
当时，函数时，对称轴为，时，，
△，当△即时，函数即，单调递增，
当△，即时，令，，，
时，，单调递增，
，时，，单调递减，
，时，，单调递增，
当时，△，函数，对称轴，
令，解得：，（舍，
时，，递增，
，时，，递减，
综上，时，在递增，
时，的单调递增区间是，，，递减区间是，，
时，的递增区间是，递减区间是，
时，的递增区间是，递减区间是，；
（2）即，
故，而，则恒成立，
，令，
故，
令，则，，
单调递增，故，递增，
故，即，
则，，，
故时，，递增，
时，，递减，
故的最大值是（2），
故的取值范围是，．
6．已知函数．
（Ⅰ）若，求的最小值；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
解：（Ⅰ）函数的定义域为．
若，则，，
令，得，
随的变化，，的变化情况如下表所示
所以时，的最小值为．（6分）
（Ⅱ）因为，
当时，，
令，得，所以，在区间上单调递增，
令，得，所以，在区间上单调递减．
当时，令，得或，
随的变化，，的变化情况如下表所示
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
当时，因为，当且仅当时，，
所以在区间上单调递增．
当时，令，得或，
随的变化，，的变化情况如下表所示
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
综上所述，
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（15分）
7．已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）证明：函数为单调递增函数．
解：（1）函数的定义域为，
对函数求导可得，
时，，则，
故，，
故切线方程是：，即；
（2）证明：由第（1）问可得，
令，则，
可知在上，，在上，，
即在上单调递减，在上单调递增，
于是有，即恒成立，
构造函数，则，
可知在上，，在上，，
即在上单调递减，在上单调递增，
于是有，即恒成立，
当时，成立，
综上可得，，
即有，函数为单调递增函数．
88．已知函数，．
（1）当时，求证：；
（2）当时，讨论函数的单调性．
解：（1）证明：当时，，该函数的定义域为，
，
当时，，此时函数单调递减；
当时，，此时函数单调递增．
所以，（2），因此，当时，；
（2）当时，函数的定义域为，
．
①当时，即当时，则．
由可得，由可得．
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
②当时，即当时，
由可得，由可得或．
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；
③当时，即当时，则对任意的恒成立，
此时，函数的单调递增区间为；
④当时，即当时，
由可得，由可得或．
此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、．
大题专练17—导数（最值问题）
1．已知函数．
（1）求曲线上一点处的切线方程；
（2）当时，在区间，的最大值记为，最小值记为，设，求的最小值．
解：（1）因为点在曲线上，所以，解得，
所以，求导得，
切点为，，
故切线斜率，
所求切线方程为．
（2）因为，，，．
所以．令，得或．
所以，，为减函数；，，为增函数．
①当时，在，上单调递减
所以依题意，，，
所以．
②当时，在，上单调递减，在，上单调递增，
又因为，，，
当时，，所以，，
当时，，所以，．
设，所以，
当时，，所以在单调递减．
又因为，，
所以
所以，当且仅当时，取得最小值．
2．已知函数，．
（1）证明：有且仅有一个零点；
（2）当，时，试判断函数是否有最小值？若有，设最小值为（a），求（a）的值域；若没有，请说明理由．
（1）证明：因为，
所以时，，函数无零点；
又因为，
所以，时，，单调递增，
又（1），，，
即（1），
故存在唯一，使，
综上可知，函数有且仅有一个零点．
（2）解：，
，，，，单调递增，
又（1），，
故存在唯一，使，即，
，，单调递减；
，，，单调递增，
因此有最小值，
（a），
令，，，
故单调递减，
进而，（1），，
即（a）的值域为，．
3．已知函数，．
（1）设，求的极值：
（2）若函数有两个极值点，．求的最小值．
解：（1），定义域是，
，
令，解得：或，令，解得：，
故在递增，在，递减，在递增，
故，（1）；
（2）函数，，，
，是函数的极值点，，是方程的两不等正根，
则△，，，故，，
即，，，且，，
，
令，则，，，
，
当，上递减，当上递增，
故（1），
故的最小值为．
4．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，函数的最小值为（其中为的导函数），求的值．
解：（1），
当时，，在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，由，得，
在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，
当时，由，得，在上单调递增，
当时，由，得，
在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增，
综上：当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
当时，在区间，上单调递增，在，上单调递减，在区间上单调递增，
当时，在上单调递增，
当时，在区间上单调递增，在区间，上单调递减，在，上单调递增．
（2）设，且，
，
设，，
在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，
又当时，，当时，，
在上必存在唯一零点，使得，
即在上，，单调递减，
在，上，，单调递增，
在处取得最小值，
又，，
则，
设，，
当时，，单调递增，
故，此时，当时，，单调递减，
故，又（1），故，
故．
5．已知函数，．
（1）求的单调性；
（2）若，且的最小值小于，求的取值范围．
解：（1），，
①当时，恒成立，在上单调递增，
②当时，令，则，令，则，
在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
（2）由（1）知，则，
令，则，
令，，
在上单调递减，又，（1），
存在，使得，
即，在上单调递增，在，上单调递减，
又，（2），
（a）．
的取值范围为．
6．已知函数，．
（Ⅰ）设，若函数在区间，上是减函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数区间上的最小值为1，求实数的值．
解：（Ⅰ），，，
，
在，上单调递减，
当，时，恒成立，即，又，
，，又，，
时，取最小值，
故的取值范围是，；
（Ⅱ），
，在递增，
在递增，在上存在唯一零点，
使得，故，
在上单调递增，
时，，递减，，时，，递增，
，
显然是方程的解，
令是减函数，则，
有且只有唯一的解，
，，
又，
，．
7．设函数．
（1）若，求的极值；
（2）若，且当时，函数的图象在直线的上方，求整数的最大值．
解：（1），则，
若，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故的极小值是，无极大值；
（2）时，，，
故，
时函数的图象在直线的上方，
问题转化为在恒成立，
令，，，
①即时，，在单调递增，
故，符合题意；
②即时，令，解得：，令，解得：，
故在递减，在递增，
故，
由，令，则，
则，
令，，则，
故在递减，而（1），（2），
故整数的最大值是1，故的最大值是1，即整数的最大值是2．
，
，
0
0
0
0
递减
极小值
递增
极大值
递减
2
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增
负
0
正
单减
极小值
单增
1
0
单调递减
极小值（1）
单调递增
1
0
0
单调递增
（a）
单调递减
（1）
单调递增
1
0
0
单调递增
（1）
单调递减
（a）
单调递增