浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考 数学试题

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一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则
A．B．C．D．
2．已知复数，则
A．B．C．D．
3．函数的最小正周期是
A．B．C．D．
4．比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为标准差与均值之比．某地区进行调研考试，共10000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则全体学生成绩的第84百分位数约为
附：若随机变量服从正态分布．
A．82B．78C．74D．70
5．设抛物线的焦点为F，直线l与C交于A，B两点，，，则l的斜率是
A．±1B．C．D．±2
6．某地响应全民冰雪运动的号召，建立了一个滑雪场．该滑雪场中某滑道的示意图如下所示，A点、B点分别为滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为．两点之间为滑雪弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分．综合考安全性与趣味性，在滑道的最陡处，滑雪者的身体与地面约成的夹角．若还要兼顾滑道的美观性与滑雪者的滑雪体验，则A、B两点在水平方向的距离约为
A．B．C．D．
7．设三点在棱长为2的正方体的表面上，则的最小值为
A．B．C．D．
8．已知数列满足，，是的前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为
A．48B．50C．52D．54
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，，， 的外接圆为，则
A．点的坐标为B．的面积是
C．点在外D．直线与相切
10．连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为X，掷出点数之和为Y，则
A．事件“X为奇数”发生的概率B．事件“”发生的概率为
C．事件“”和事件“”相等D．事件“”和事件“Y＝6”独立
11．设，n为大于1的正整数，函数的定义域为R，，，则
A．B．是奇函数
C．是增函数D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“S性质”，则具有“S性质”的三位数的个数为 ．
13．过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是 ．
14．已知四面体各顶点都在半径为3的球面上，平面平面，直线与所成的角为，则该四面体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知，曲线在点处的切线斜率为．
（1）求a；
（2）求不等式的解集．
16．（15分）如图，在三棱台中，上､下底面是边长分别为4和6的等边三角形，平面，设平面平面，点分别在直线和直线上，且满足．
（1）证明：平面；
（2）若直线和平面所成角的余弦值为，求该三棱台的体积．
17．（15分）在中，角所对的边分别为．已知成公比为q的等比数列．
（1）求q的取值范围；
（2）求的取值范围．
18．（17分）已知椭圆过点，且C的右焦点为．
（1）求C的方程：
（2）设过点的一条直线与C交于两点，且与线段AF交于点S．
（i）若，求；
（ii）若的面积与的面积相等，求点Q的坐标．
18．（17分）设为正整数，为正实数列．我们称满足（其中）的三元数组为“比值组”．
（1）若，且为等差数列，写出所有的比值组；
（2）给定正实数，证明：中位数为4（即中）的比值组至多有3个；
（3）记比值组的个数为，证明：．