上海市徐汇区董恒甫高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份上海市徐汇区董恒甫高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．空间内，两异面直线所成角的取值范围是_______．
2．已知，则点P与直线l的位置关系用相应的符号表示为_______．
3．设和的两边分别平行，若，则的大小为_______．
4．分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是_______．
5．己知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为，则该圆锥的表面积为_______．
6．将边长分别为和的矩形，绕边长为的一边所在的直线旋转一周得到一圆柱，则该圆柱的侧面积为_______．
7．如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，则的面积为_______．
8．在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为_______．
9．如图，己知平面，则二面角的大小为_______．
10．已知正三棱锥的底面边长为4，高为2，则三棱锥的表面积是_______．
11．一圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，则此圆锥的体积为_______．
12．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为，且，若将圆锥倒置，水面高为，则等于_______．
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13．当我们停放自行车时，只要将自行车旁的撑脚放下，自行车就稳了，这用到了（ ）
A．三点确定一平面B．不共线三点确定一平面
C．两条相交直线确定一平面D．两条平行直线确定一平面
14．设是平面M外的两条直线，且，那么是的（ ）条件
A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要
15．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出四个命题：
①若，则；②若，则；
③若，则；④若，则其中正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②④
16．己知正方体，点P在直线上，Q为线段的中点．则下列说法不正确的是（ ）
A．存在点P，使得B．存在点P，使得
C．直线始终与直线异面D．直线始终与直线异面
三、解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．如图，正四棱柱的底面边长，若与底面所成的角的正切值为．
（1）求正四棱柱的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小．
18．如图，是正方形，平面．
（1）求证：；
（2）求二面角的大小．
19．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，O是与的交点，平面是的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
20．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年故入世界文化遗产名景（如图1）现测量一个屋顶，得到圆锥的底面直径长为，母线长为（如图2）．C是母线的一个三等分点（靠近点S）．
（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处取3.14，结果精确到个位）；
（2）从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．
21．如图，是圆柱的直径且是圆柱的母线且，点C是圆柱底面圆周上的点．
（1）求圆柱的侧面积和体积；
（2）求三棱锥体积的最大值；
（3）若是的中点，点E在线段上，求的最小值．
参考答案
1．【答案】
【解析】由异面直线所成角的定义知，两异面直线所成角的取值范围是．
2．【答案】
【解析】由，得，而，则，又，所以．
3．【答案】或
【解析】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补．
4．【答案】平行或异面
【解析】分别在两个平行平面内的两条直线的位置关系是可以平行，可以异面，但不能相交．
5．【答案】
【解析】母线长，母线与旋转轴的夹角，
∴底面半径圆锥的表面积．
6．【答案】
【解析】依题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，所以该圆柱的侧面积为．
7．【答案】12
【解析】如图，根据斜二测画法，将直观图还原后，得到的为直角三角形，
且两条直角边，
所以，的面积为．
8．【答案】
【解析】如图，在棱长为2的正方体中，取的中点E，连接，则，且，又平面平面，
所以，而，
所以平面，
易知平面，则到平面的距离即为直线到平面的距离，
所以直线到平面的距离为．
9．【答案】
【解析】平面平面，则
又，且平面，
平面，而平面，
是二面角的平面角，
．
．
又P二面角为．
10．【答案】
【解析】如图，正三棱锥，高，取中点N，
连接，则M在线段上，且，由，
由勾股定理得：，
所以，
所以，
所以三棱锥的表面积为．
11．【答案】
【解析】由题意，设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，
因为圆锥侧面展开图为半径为2的半圆，可得且，解得，
所以，
所以圆锥的体积为．
12．【答案】
【解析】设容器底面半径为r，则水的体积为：，
倒置后水的体积，
解得．
13．【答案】B
【解析】自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定，故选B项．
14．【答案】A
【解析】充分性：若，结合，且b在平面M外，可得，是充分条件；
必要性：若，结合，且是平面M外，则可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．
故是的“充分非必要”，故选：A．
15．【答案】D
【解析】对于①，若两平面相交，但不一定垂直，故①错误；
对于②，若，则，故②正确；
对于③，若，当，则n与不平行，故③错误；
对于④，若，则，故④正确；
故选：D
16．【答案】C
【解答】在正方体中，可得，
又由平面，且平面，所以，
因为，且平面，所以平面，
由点P在直线上，Q为线段的中点，
当点P和重合时，可得平面，所以，所以A正确；
连接，如图所示，
当点P为线段的中点时，为的中位线，即，所以B正确；
因为平面，当点P和点A重合时，平面，
则直线和在同一平面内，所以C错误；
由平面平面，且，
所以直线始终与直线不相交，且不平行，
所以与是异面直线，所以D正确．
故选：C．
17．【答案】（1）16；（2）
【解析】（1）如图，连接
正四棱柱的底面边长
面
是与底面所成的角
在，
∴正四棱柱的体积为：16．
（2）正四棱柱
是异面直线与所成的角
在中，
∴异面直线与所成的角为：．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接，如图，
因是正方形，则，
又平面平面，
则，
而，且平面，
于是得平面，又平面，
所以；
（2）取线段中点O，连接，
由题意易知，，且是正方形，，
故，
，
故为二面角的平面角，
由平面，可知，
故．
故二面角的大小为．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接，在平行四边形中，
为与的交点，为的中点，
又M为的中点，，
又平面平面平面；
（2）取的中点N，连接，
为的中点，，且，
由平面，得平面，
是直线与平面所成的角，
，
在中，，
，从而，
在中，，
直线与平面所成角的正切值为．
20．【答案】（1）20347朵；（2）．
【解析】（1）因圆锥的底面直径长为，母线长为，
则此圆锥的侧面积为
又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得（朵），
所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．
（2）将圆锥沿母线剪开展在同一平面内得如图所示的扇形，点A到点，
连接，则为最小长度，
扇形弧长等于圆锥底面圆周长，
于是得扇形圆心角，
在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以灯光带的最小长度为．
21．【答案】（1）；（2）1；（3）
【解析】（1）圆柱的底面半径，高，
圆柱的侧面积，
圆柱的体积
（2）三棱锥的高，底面三角形中，，
则当点C到的最大值等于底面圆的半径1，
所以三棱锥体积的最大值
（3）将绕着旋转到使其共面，且在的反向延长线上，
，
，
，
，
即的最小值为等于．