黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期阶段测试（二）（期中）数学试题（Word版附解析）

这是一份黑龙江省龙东地区2024-2025学年高二上学期阶段测试（二）（期中）数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了 双曲线C， 已知曲线的方程为，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搝干净后，再选涂其他答案标号.回答非选译题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
2. 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
3. 在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A. 2B. 3C. D.
4. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
6. 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A. 5B. C. D. 2
7. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D.
8. 双曲线C：左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A B. 2C. D. 3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切
10. 已知曲线的方程为，则（ ）
A. 当时，曲线表示一个圆
B. 当时，曲线表示椭圆
C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
11. 已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ）
A. 椭圆离心率为B. 的周长为12
C. 的最小值为3D. 的最大值为16
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，已知，，则最小值是__________．
13. 设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则______.
14. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过点，且被直线平分.
（1）求圆的一般方程；
（2）设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
16. 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．
（1）求的方程；
（2）不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．
17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求直线\到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离．
18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，点为椭圆上一点，求周长最大值；
（3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值.
19. 过双曲线（常数）上任意一点A作轴，交y轴于点E，作轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S＝k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广．
阶段测试卷（二）
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搝干净后，再选涂其他答案标号.回答非选译题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结東后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线的标准方程及性质，直接求解.
【详解】由抛物线方程可知，
故准线方程为：.
故选：B.
2. 若椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，则该椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得出，即可得解.
【详解】由题意得椭圆焦点在轴上且经过点，焦距为6，
所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
3. 在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合空间直角坐标系，数形结合利用勾股定理求解点到x轴的距离.
详解】
在空间直角坐标系中，
过作平面，垂足为，则轴，
在坐标平面内，过作轴，与轴交于，
由，则，，
由，平面，平面，
则轴平面，平面，
则轴，故即点到x轴的距离，
则.
故选：D.
4. 若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线和曲线方程在平面直角坐标系中画出图形，数形结合分析即可.
【详解】由题意，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，，可化为其表示以为圆心，半径为2的圆的一部分，如图.
当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得.
设，则.由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，则.
故选：C.
5. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性.
【详解】由双曲线，可得，所以，
所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误；
虚轴长，故C错误；
离心率，故D正确.
故选：D.
6. 分别是抛物线 和 轴上的动点， ，则 的最小值为（ ）
A. 5B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】首先把问题转化为和到轴的距离之和的最小值，再根据抛物线的定义最小，根据数形结合得出结论.
【详解】设抛物线的焦点为，无论在何处，PQ的最小值都是到轴的距离，
所以的最小值和到轴的距离之和的最小值和到准线的距离之和减去最小，
根据抛物线的定义问题转化为最小，显然当三点共线时最小，最小值为.
故选：D
7. 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，把称为黄金分割数．已知焦点在轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数的值为（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合离心率，代入运算求解．
【详解】焦点在轴上的椭圆中，，，
所以．
由题意得，即，即，
解得．
故选：A．
8. 双曲线C：的左、右焦点为，，直线l过点且平行于C的一条渐近线，l交C于点P，若，则C的离心率为（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】设Px,y，通过题意求出直线的方程、直线的方程，之后联立直线的方程、直线的方程及双曲线方程，计算即可得出答案．
【详解】设Px,y，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x轴下方，如图：
设F1−c,0、，，双曲线其中一条渐近线为，
直线的方程为，①
由，得，即直线的斜率为，直线方程为，②
由点Px,y在双曲线上，得，③
联立①③，得，联立①②，得，
则，即，因此，
所以离心率．
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知圆的方程为，圆的方程为，其中a，．那么这两个圆的位置关系可能为（ ）
A. 外离B. 外切C. 内含D. 内切
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据圆心距与半径的关系，二次函数的性质即可解出．
【详解】由题意可得圆心，半径，圆心，半径，则，所以两圆不可能内含．
故选：ABD．
10. 已知曲线的方程为，则（ ）
A. 当时，曲线表示一个圆
B. 当时，曲线表示椭圆
C. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
D. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据双曲线、椭圆及圆的方程判断即可.
【详解】当时，曲线是，故A正确；
当时，曲线表示一个圆，故B错误；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；
当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故D正确.
故选：ACD
11. 已知椭圆，且两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，以下结论正确的是（ ）
A. 椭圆的离心率为B. 的周长为12
C. 的最小值为3D. 的最大值为16
【答案】BD
【解析】
【分析】由题，利用离心率公式、椭圆的定义和基本不等式即可一一判断．
【详解】椭圆，则
对于A：，故A错误；
对于B：的周长为，故B正确；
对于C：的最小值为，故C错误；
对于D：，当且仅当时等号成立，故D正确．
故选：BD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在空间直角坐标系中，已知，，则的最小值是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用空间距离公式及二次函数知识求解.
【详解】.
当时，等号成立.
所以的最小值是.
故答案为：.
13. 设、为双曲线Γ：左、右焦点，且Γ的离心率为，若点M在Γ的右支上，直线与Γ的左支相交于点N，且，则______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据离心率公式求出，画出草图，结合双曲线定义可解．
【详解】如图，画出草图．
由的离心率为，且，可得，解得.
因为，
所以由双曲线的定义，可得.
故答案为：．
14. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可.
【详解】第一空，将代入中，，
即，，则椭圆方程为，
离心率为：.
第二空，如图所示，

易得，
则，，，
因为(为三角形周长，为内切圆半径).
又，代入得，解得.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知圆经过点，且被直线平分.
（1）求圆的一般方程；
（2）设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案；
（2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.
【小问1详解】
直线恒过点.
因为圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为，即.
【小问2详解】
设.因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
即，所以的轨迹方程为.
16. 已知动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，若动点的轨迹记为曲线．
（1）求的方程；
（2）不过点的直线与交于横坐标不相等的A，B两点，且，若的垂直平分线交轴于点，证明：为定点．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义进行求解即可；
（2）设出直线的方程，将直线方程与曲线的方程联立，利用韦达定理及得到，，，求出的中点坐标和直线的方程，进而即可得证．
【小问1详解】
因为动点到定点的距离与动点到定直线的距离相等，
所以动点的轨迹为焦点在轴，开口朝右的抛物线，
此时，
则曲线的方程为；
【小问2详解】
证明：设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
设点为中点，
此时，
所以直线的方程为，
令，
解得．
故点为定点，坐标为．
17. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点．
（1）求直线\到直线的距离；
（2）求直线到平面的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到直线的距离；
（2）转化为到平面的距离,利用点到平面的距离向量法可得答案.
【小问1详解】
建立如下图所示的空间直角坐标系，
，，
因为，所以，即，
所以点到直线的距离即为直线到直线的距离，
，，
，，
所以直线到直线的距离为；
【小问2详解】
因为，平面，平面，所以平面，
所以直线到平面的距离等于到平面的距离，
,，
设平面的一个法向量为，
则，即，取，可得，
所以到平面的距离为，
所以直线到平面的距离为.
18. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴长为，点在上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值；
（3）过的左焦点，且斜率不为零的直线交于两点，求面积的最大值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）3.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆的标准方程.
（2）由椭圆的定义可求出的最大值，从而可得周长最大值.
（3）设直线的方程为，与椭圆方程联立，借助根与系数的关系列出三角形面积的关系式，利用对勾函数性质求出最大值．
【小问1详解】
依题意，，且，解得，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，而，则，
周长，
当且仅当点是线段延长线与椭圆的交点时取等号，
所以周长的最大值为.
【小问3详解】
设直线方程为，，
由消去得：，显然，，
，
因此面积，
令，，显然函数在上单调递增，
则当，即时，取得最小值，
所以当时，面积取得最大值3.
【点睛】结论点睛：过定点的直线l：y=kx+b交圆锥曲线于点，，则面积；
过定点直线l：x=ty+a交圆锥曲线于点，，则面积.
19. 过双曲线（常数）上任意一点A作轴，交y轴于点E，作轴，交x轴于点F，得到矩形AEOF，则它的面积S＝k，k是与点A位置无关的常数，试把这个结论推广到一般双曲线，并证明你的推广．
【答案】答案见解析.
【解析】
【分析】类比题目结论，从曲线上取一点，作两条渐近线的平行线，围成的四边形面积为常数.证明时设所取点的坐标，计算面积为常数.
【详解】推广结论：设A是双曲线上任意一点，过点A分别作渐近线的平行线AE、AF，并分别交渐近线于E、F，得到平行四边形AEOF，则平行四边形AEOF的面积S是与点A位置无关的常数．
证明：设，直线AE的方程为，
联立方程组，解得交点，
则，
点A到OE的距离，
平行四边形AEOF的面积，
又因为点在双曲线上，所以，即，
所以，是与点A位置无关的常数．
【点睛】注意到题目所给结论中，轴和轴分别为曲线的两条渐近线，所以类比时也过曲线上一点作曲线的两条渐近线的平行线.