河北省十县联考2025届高三上学期高考单科模拟综合卷（六）（10月期中）数学试题数学试题

这是一份河北省十县联考2025届高三上学期高考单科模拟综合卷（六）（10月期中）数学试题数学试题，共13页。试卷主要包含了“”是“直线与直线平行”的，已知，且满足，则等内容，欢迎下载使用。
数学
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.
3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.
4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知一组数据为，则该组数据的第50百分位数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知双曲线经过点，则其标准方程为（ ）
A. B.
C. D.或
3.等差数列与的前项和分别为，且，则（ ）
A.2 B. C. D.
4.已知正方体的棱长为4，过三点的平面截该正方体的内切球，所得截面的面积为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在两行三列的网格中放入标有数字的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为7”的不同的排法有（ ）
A.16种 B.32种 C.64种 D.96种
6.“”是“直线与直线平行”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知，且满足，则（ ）
A.2 B. C. D.
8.已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作垂直于轴的直线交椭圆于两点，的内切圆圆心分别为，则的周长是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数满足，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C.在复平面内对应的点位于第四象限
D.
10.已知函数在上仅有两个零点，把函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列有关函数的描述正确的是（ ）
A.是偶函数
B.图象关于点对称
C.在上是减函数
D.在上的值域为
11.已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的是
A. B.是偶函数
C. D.若，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合，若中元素至多有1个，则实数的取值范围是__________.
13.如图，在平面四边形中，为的中点，且.若.，则的值是__________.
14.已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为2，且满足，则面积的最大值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知函数.
（1）当时，判断的单调性；
（2）若只有在处取得极小值，且无极大值，求实数的取值范围.
16.（15分）
随着我国城镇化建设的不断推进，各种智能终端的普及和互联互通，人工智能在教育､医疗､金融､出行､物流等领域发挥了巨大的作用.为普及人工智能相关知识，培养青少年对科学技术的兴趣，某中学组织开展“科技兴国”人工智能知识竞赛.竞赛试题有甲､乙､丙三类（每类题有若干道），各类试题的每题分值及选手小李答对概率如下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束，各轮得分之和即为选手最终得分.
其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题；否则，退出比赛.
第二轮，在丙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.
第三轮，在乙类试题中选择一道作答.
（1）求小李答题次数恰好为2次的概率；
（2）求小李最终得分的数学期望.
17.（15分）
如图，在直角梯形中，，四边形为菱形且，对角线和相交于点，平面平面，点为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的正弦值.
18.（17分）
已知抛物线为其焦点，点在上，且三角形的面积1（为坐标原点）.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点且斜率为1的直线与相交于两点，若线段的垂直平分线与相交于两点.求证：四点在同一圆上.
19.（17分）
若正整数，则称为的一个“分解积”.
（1）当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大；
（2）当正整数的分解积最大时，求中2的个数；
（3）当正整数的分解积最大时，求出中的值.
2025新高考单科模拟综合卷（六）
数学⋅参考答案
1.C 将数据按照从小到大顺序排序为：.因为，第50百分位数为.故选C.
2.A 设双曲线方程为，则，解得，所以双曲线的标准方程为.故选A.
3.C 因为数列与均为等差数列，则，
所以，即.故选C.
4.B 如图正方体中，直线与正方体的内切球分别切于，且分别是的中点.正方体内切球为，连接.则互相垂直，且，所以.则过三点的截面为球内过这三点的截面圆，截面圆的半径为，其面积为.故选B.
5.D 根据题意，分三步进行.第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为7”，则中间的数字为三组数1，6或2，5或3，4中的一组，共有种排法；第二步，排第一步中剩余的两组数，共有种排法；第三步，排剩下的两个数字，共有种排法.由分步计数原理知，共有不同的排法种数为.故选D.
6.A 若，则，解得或.所以由可以得到，反之则不然，故“”是“”的充分不必要条件.故选A.
7.D 因为，可得.又因为､，则，所以，整理得，所以.故选D.
8.A 如图所示，由椭圆，知，所以.所以，所以过作垂直于轴的直线为，代入中，解出.由题知的内切圆的半径
相等，且的内切圆圆心的连线垂直于轴于点.设内切圆的半径为，在中，由等面积法得，.由椭圆的定义可知，，由，所以，所以，解得，所以.因为为的的角平分线，所以一定在上，即轴上，令圆半径为.在中，由等面积法得，.所以，解得，所以，所以，所以的周长是.故选A.
9.ACD 由，可得正确；错误；在复平面内对应的点位于第四象限，C正确；，D正确.故选ACD.
10.BC 因为，由于函数在上仅有两个零点，则，解得，所以，所以.因为，所以，所以.将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，得到函数的图象.函数的定义域为，函数为奇函数，A错误；，所以函数的图象关于点对称，B正确；当时，，则函数在上是减函数，C正确；当时，，则，所以.所以函数在区间上的值域为，错误.故选BC.
11.CD 令，则由，可得，解得或，A错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数.综合以上可知必为奇函数，B错误；令，则，故.由于，令，即，即有，C正确；若，令，则，则
；令，则，即，所以；令，则，即，所以；令，则，即，所以；令，则，即，所以；令，则，即，所以；令，则，即，所以；令，则，即，所以，由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且，
故，D正确.故选CD.
12. 由题意，方程的解至多有1个.①当时，方程，只有一个解；②当时，因为方程的解至多有1个，所以0，解得.综上，实数的取值范围是或.
13.7 ，又，则有.
14. 由正弦定理及外接圆半径可得，.因为，，所以.所以，即.因为，所以，即，所以，所以，所以（当且仅当时取等号），所以面积为，则面积的最大值为.
15.解：（1）由题意，，易知函数在上单调递增，
又，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增.
（2）由题意，，
可得.
由题可知，在上单调递增.
令，则恒成立，
所以时，，符合题意.
当时，令，解得.
当）时，，不符合题意.
综上，实数的取值范围为.
16.解：（1）记事件“小李先答对甲类一道试题”，“小李继续答对另一道甲类试题”，
“小李答对乙类试题”，“小李答对丙类试题”，
则.
记事件“小李答题次数恰好为2次”，
则.
，
即小李答题次数恰好为2次的概率为.
（2）设小李最终得分为，
由题知的可能值为.
，
，
，
.
所以.
17.（1）证明：因为四边形为菱形，所以是中点.
连接，又为线段的中点，则，且.
又且，所以，
所以四边形是平行四边形，所以.
又平面平面，所以平面.
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）.
则有.
则，
设平面的一个法向量为，
则有，
.
令，得，故.
设平面的一个法向量为，
则有，
.
令，得，故.
所以.
所以二面角的正弦值为.
18.（1）解：因为点在上，则，而.
所以.
所以，解得.
所以抛物线的标准方程为.
（2）证明：设，又直线的方程为，
联立，消去化简并整理得.
则，故的中点为.
.
因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，直线的方程为，
将上式代入，消去化简并整理得.
设，则，故的中点为.
.
连接，因为，
，
，
所以.
故四点在同一圆上.
19.解：（1），分解积的最大值为；
，分解积的最大值为；
，分解积的最大值为.
（2）由（1）可知，中可以有0个2，1个2，2个2.
当有3个或3个以上的2时，
因为，且，所以分解积不是最大的.
因此，中至多有2个2.
（3）①当中有1时，因为，
所以分解积不是最大的，可将1加到其它数中，使得分解积变大；
②由（2）可知，中至多有2个2；
③当中有4时，
若将4分解为，由①可知分解积不会最大；若将4分解为，则分解积相同；
若有两个4，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大.
因此，中至多有1个4，而且可写成；
④当中有大于4的数时，不妨设，
因为，所以将分解为会使得分解积更大.
综上，中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个.项目
题型
每小题分值
每小题答对概率
甲类题
10
乙类题
20
丙类题
30