河北省邯郸市多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份河北省邯郸市多校2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知圆C的圆心坐标为，且过坐标原点O，则圆C的方程为( )
A.B.
C.D.
2．已知平面的一个法向量为,直线l的一个方向向量为,若,则( )
A.B.C.1D.2
3．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是( )
A.B.C.D.
4．如图,在正三棱锥中,点G为的重心,点M是线段PG上的一点,且,记,则( )
A.B.C.D.
5．已知从点发出的一束光线,经过直线反射,反射光线恰好过点,则反射光线所在的直线方程为( )
A.B.C.D.
6．如图,在直三棱柱中,是等边三角形,,,则点C到直线的距离为( )
A.B.C.D.
7．已知实数x,y满足,且,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．在正三棱锥中,,点M满足,则AM的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知空间向量,,,且,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
10．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是( )
A.B.C.4D.5
11．如图,在棱长为2的正方体中,点P,M是底面内的一点（包括边界）,且,,则下列说法正确的是( )
A.点P的轨迹长度为
B.点M到平面的距离是定值
C.直线CP与平面ABCD所成角的正切值的最大值为
D.PM的最小值为
三、填空题
12．若一条过原点的直线被圆所截得的弦长为2,则该直线的倾斜角为________.
13．已知向量,,,若,,共面,则________.
14．如图,在正三棱柱中,为棱上的动点（包括端点）,N为AM的中点,则直线CN与平面所成角的正弦值的取值范围为________.
四、解答题
15．已知的顶点坐标为,,.
（1）若点D是AC边上的中点,求直线BD的方程;
（2）求AB边上的高所在的直线方程.
16．如图,在直三棱柱中,,,点E,F分别为棱AB,的中点.
（1）求证:平面;
（2）求直线与直线AF的夹角的余弦值.
17．如图,在直四棱柱中,四边形ABCD是矩形,,,点P是棱上的一点,且.
（1）求证:四边形ABCD为正方形;
（2）求直线与平面PAC所成角的正弦值.
18．已知某圆的圆心在直线上，且该圆过点，半径为，直线l的方程为.
(1)求此圆的标准方程；
(2)若直线l过定点A，点B，C在此圆上，且，求的取值范围.
19．如图,在四棱锥中,四边形ABCD为矩形,,平面平面ABCD,且,点E,F分别是棱AB,PC的中点.
（1）求证:平面PAC;
（2）若直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为.
①求PA的长;
②求平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意，圆心，半径，故圆C的方程为.故选B.
2．答案：B
解析：因为,所以,所以,解得.
故选:B
3．答案：C
解析：直线与直线平行，
，解得，
直线，
又直线可化为，
两平行线之间的距离.
故选：C.
4．答案：A
解析：因为G为的重心,所以,
又点M是线段PG上的一点,且,
所以.
故选:A.
5．答案：C
解析：点关于对称的点设为,
则,反射光线经过点,,,
则反射光线所在的直线方程为,即.
故选:C.
6．答案：C
解析：取AC的中点O,
则,,
以OB所在直线为x轴,OC所在直线为y轴,O与中点连线所在直线为z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
所以,,,
所以,,
所以在上的投影的长度为,
故点C到直线的距离为.
故选:C.
7．答案：D
解析：由题意知,点满足关系式,且,
可得点在线段AB上移动,且,,如图所示,
设,则,
因为点在线段AB上,所以的取值范围是.
故选:D.
8．答案：B
解析：如图所示,延长PA,PB,PC至点D,E,F,使得,,,
所以,
又由,所以M,D,E,F四点共面,
所以AM的最小值,即为点A到平面DEF的距离,
因为点A是PD的中点,则点A到平面DEF的距离是点P到平面DEF的距离的一半,
又因为,所以三棱锥为正三棱锥,
取等边的中心为O,连接DO,PO,可得平面DEF,
所以PO即为点P到平面DEF的距离,
在等边,因为,可得,
在直角中,可得,
即点P到平面DEF的距离为,所以AM的最小值为.
故选:B.
9．答案：ABD
解析：对于A,,,
,故A正确;
对于B,,,设,故B正确;
对于C,,,故C错误;
对于D,,故D正确.
故选:ABD.
10．答案：BC
解析：曲线表示圆在x轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，解得，
当点在直线上时，，
所以由图可知实数m的取值范围为，
故选：BC
11．答案：BCD
解析：对于A,因为,即,所以,
即点E在底面内是以为圆心､半径为1的圆上,
所以点P的轨迹长度为,故A错误;
对于B,在正方体中,,
又,,BD,平面,所以平面DBM,
所以点M的轨迹为线段,
又平面,所以点M到平面的距离是定值,故B正确;
对于C,因为平面ABCD,所以为直线CP与平面ABCD所成角,
因为点P到ABCD的距离为定值2,记点P在平面ABCD的投影为,
所以当取得最小值时,直线CP与平面ABCD所成角的正切值最大,
又,
所以直线CP与平面ABCD所成角的正切值的最大值为,故C正确;
对于D,到直线的距离为,
当点P,M落在上时,,故D正确.故选:BCD.
12．答案：60°或120°
解析：圆的圆心,半径为2,
由题意,直线斜率存在,设直线方程为,
因为直线被圆所截得的弦长为2,
所以圆心到直线的距离为,解得,
所以该直线的倾斜角为60°或120°,
故答案为:60°或120°.
13．答案：5
解析：因为,,共面,所以存在实数x,y,使得,即,
即,解得:,,.
故答案为:5
14．答案：
解析：取AB中点O,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,
设,且,
因为N为AM的中点,
故,于是,
平面的一个法向量为,
,
设,则,,
故,即直线CN与平面所成角的正弦值的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为点D是AC边上的中点,则,
所以,
所以直线BD的方程为,
即;
（2）因为,
所以AB边上的高所在的直线的斜率为,
所以AB边上的高所在的直线方程为,即.
16．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）因是直三棱柱,则,,
又因点E,F分别为棱的中点,所以,,
则四边形是平行四边形,所以,
又因平面,平面,故平面;
（2）如图,因直三棱柱中,故可以A为原点,以AB,AC,
所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
不妨设,则,,,于是,,
设直线与直线AF的夹角为,则,
故直线与直线AF的夹角的余弦值为.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图,连接DB,在直四棱柱中,平面ABCD,平面ABCD,所以,
又,,,平面,所以平面,
又平面,所以,又四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD为正方形;
（2）如图,以D为坐标原点,DA,DC,所在的直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,,
设平面PAC的一个法向量为,所以,
故可取,
设直线与平面PAC所成角的大小为,
所以
即直线与平面PAC所成角的正弦值为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题意可设此圆的方程为，
把点坐标代入得，则，
所以圆的标准方程为.
(2)
直线l方程为，
即，
则有，可得定点，
取线段BC中点为，则，令原点为O，，
即，
化简可得，
即D的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
A到D轨迹圆心距离为，
则的取值范围为，
所以的取值范围为.
19．答案：（1）答案见解析
（2）①2;
②
解析：（1）在矩形ABCD中,,且E是AB的中点,
,故,
又,则,即,
如图,记,连接PO,
因ABCD是矩形,故O是AC的中点,又,所以,
又平面平面ABCD,平面平面,平面PAC,故平面ABCD,
又平面ABCD,所以,
又,AC,平面PAC,所以平面PAC;
（2）①如图,以O为坐标原点,OE,OP所在的直线分别为x轴,z轴,
过点O且与AB平行的直线为y轴,建立空间直角坐标系.
设,所以,,,,
故,
设平面PDB的法向量为,又,,
所以由,故可取,
因为直线PA与平面PBD所成的角的正弦值为,
所以,
解得,所以;
②如图,因为,,
设平面PDE的一个法向量为,又,,
所以,故可取,
设平面FDB的一个法向量为,又,,
所以,故可取,
设平面PDE与平面FDB的夹角为,
所以.
即平面PDE与平面FDB的夹角的余弦值为.