黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市克东县第三中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列是一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.下列y关于x的函数中，是二次函数的是( )
A. B.
C. D.
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.若将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知是关于x的方程的一个实数根，且该方程的两实数根恰是等腰的两条边长，则的周长为( )
A. 9B. 10C. 6或10D. 8或10
6.如图，中，，，≌，若恰好经过点B，交AB于D，则的度数为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，对于二次函数，下列说法中错误的是( )
A. 图象顶点坐标为，对称轴为直线
B. y的最小值为
C. 当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小
D. 它的图象可由的图象向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到
8.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )
A. B.
C. D.
9.已知函数其中的图象如图所示，则函数的图象可能正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10.对称轴为直线的抛物线、b、c为常数，且如图所示，某同学得出了以下结论：①；②；③；④为任意实数；⑤当时，y随x的增大而增大，其中结论正确的个数为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.点关于原点的对称点的坐标是______.
12.当______时，关于 x的方程是一元二次方程．
13.已知方程可以配方成的形式，那么______.
14.已知m，n是方程的两个实数根，则的值是______.
15.如图，在一块长15m，宽10m的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为x m，若种植花苗的面积为，依题意列方程为______.
16.如图，在平面直角坐标系中，线段OA与x轴正方向的夹角为，且，若将线段OA绕点O旋转得到线段，则此时点的坐标为______.
17.如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺指针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……，若点，，则点的横坐标为______.
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题10分
解下列方程：
；
19.本小题8分
已知：关于x的方程
若方程总有两个实数根，求m的取值范围；
若两实数根、满足，求m的值．
20.本小题9分
如图，在正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，点，
将绕着点O逆时针旋转，画出旋转后的并写出的坐标；
画出关于原点对称的；
在x轴上找一点D，使的值最小，请直接写出点D的坐标.
21.本小题10分
端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同.在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒.
求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
求每盒猪肉粽售价定为多少元时，每天销售猪肉粽所获利润最大，最大利润是多少？
22.本小题8分
某学校课后服务，为学生们提供了手工烹饪，文学赏析，体育锻炼，编导表演四种课程依次用A，B，C，D表示，为了解学生对这四种课程的喜好情况.校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动必选且只选一种”的问卷调查，根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图.
请根据统计图将下面的信息补充完整：
①参加问卷调查的学生共有______人，并补全条形统计图统计图；
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______；
若该校共有学生2000名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？
23.本小题12分
【问题背景】如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连接EF，则有，试说明理由；
【迁移应用】如图2，四边形ABCD中，，，点E、F分别在边BC、CD上，，若，都不是直角，且，试探究EF、BE、DF之间的数量关系，并说明理由；
【联系拓展】如图3，在中，，，点D、E均在边BC上，且，猜想BD、DE、EC满足的等量关系直接写出结论，不需要证明
24.本小题12分
如图，已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，顶点为
求抛物线的解析式：并写出y随x如何变化；
求顶点D的坐标以及的面积；
设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、当时，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
B、它符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意；
C、化简后它不含有二次项，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意；
D、是分式方程，不属于一元二次方程，故该选项不符合题意．
故选：
直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的整式方程是一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：A、，是二次函数，故A符合题意；
B、，是一次函数，故B不符合题意；
C、不是二次函数，故C不符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：
根据二次函数的定义，、b、c为常数，，判断即可．
本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项正确．
故选：
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4.【答案】D
【解析】解：将二次函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度的二次函数的解析式为：，即，
平移后的二次函数的顶点坐标为，
故选：
按照“左加右减，上加下减”的规律即可得到函数解析式，求得其顶点坐标即可．
本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
5.【答案】B
【解析】解：把代入方程得，解得，
方程化为，解得，，
，
三角形三边为4、4、2，
的周长为10，
故选：
先利用一元二次方程解的定义把代入方程得，则方程化为，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了三角形三边的关系，解题的关键是掌握三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
6.【答案】B
【解析】解：≌，
，，，
，
，
，
，
，
故选：
首先根据全等三角形的性质得到对应角相等，即，，再得到对应边，再根据等边对等角求出的度数，然后根据三角形内角和定理得到，的度数即可．
此题主要考查了全等三角形的性质，以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是理清角之间的关系．
7.【答案】D
【解析】解：二次函数，，
该函数的图象开口向上，对称轴为直线，顶点为，
当时，y有最小值，
当时，y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小；
根据平移的规律，的图象向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到，
故选项D说法错误，符合题意．
故选：
根据题目中的函数解析式，可以判断各个选项中的说法是否正确．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
8.【答案】C
【解析】解：依题意得八、九月份的产量为、，
故选：
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量增长率，如果该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示八、九月份的产量，然后根据题意可得出方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，增长率问题，一般形式为，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．
9.【答案】D
【解析】解：如图，函数其中，
抛物线与x轴的两个交点横坐标分别是m，n，且，，
的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴，且在之下，
故选：
根据图象可得出方程的两个实数根为m，n，且一正一负，又，则根据一次函数的图象的性质即可得出答案．
本题考查了抛物线与x轴的交点问题以及一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】B
【解析】解：①抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴交于负半轴，
，，，
，
，结论①不正确；
②抛物线与x轴有两个交点，
，
，结论②正确；
③当时，，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
即，结论③不正确；
④抛物线开口向上，抛物线的顶点坐标为，，
，
即，
，
为任意实数，结论④正确；
⑤抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有②④⑤．
故选：
①由抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴交点的位置，可得出，，，进而可得出；②由抛物线与x轴有两个交点，可得出，即；③由二次函数的对称性结合当时，可得出当时，再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出；④由抛物线的开口方向、a，b间的关系及抛物线的顶点总坐标，可得出，进而可得出，即为任意实数；⑤利用二次函数的性质，可得出当时，y随x的增大而增大．
本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系，逐一分析各结论的正误是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：点关于原点的对称点的坐标是
故答案为：
根据关于原点对称点的坐标特征：横坐标和纵坐标都互为相反数，即可进行解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【解答】
解：关于x的方程是一元二次方程，
且
解得
故答案是：
【分析】
根据一元二次方程的定义得到：且由此求得m的值．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是、b、c是常数，且
13.【答案】1
【解析】解：，
，
，
，，
原式
故答案为：
根据配方法即可求出答案．
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
14.【答案】2023
【解析】解：，n是方程的两个实数根，
，，
，
，
故答案为：
利用一元二次方程的解的定义及根与系数的关系，可得出，，将其代入原式中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，牢记根与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：设道路的宽为x m，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，
依题意得：，
故答案为：
设道路的宽为xm，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：如图1，将线段OA绕点O沿逆时针方向旋转到线段，
过点作轴于点B，
，，
在直角中，，，
，，
点的坐标为
如图2，将线段OA绕点O沿顺时针方向旋转到线段，
过点作轴于点B，
，，
在直角中，，，
，，
点的坐标为
综上，点的坐标为或
故答案为：或
过点作轴于点B，根据旋转的性质可得，，利用平角的定义得出，解直角，求出，OB，进而得到点的坐标．
此题考查的是旋转的性质，平角的定义，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．
17.【答案】10096
【解析】解：由图象可知点在x轴上，
，，，
，
，，，…
点横坐标为
故答案为：
由图象可知点在第一象限，求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题．
本题考查坐标与图形的变化-旋转、勾股定理等知识，解题的关键是从特殊到一般探究规律，发现规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：，
，
，
；
，
，
，
【解析】利用配方法即可求解；
利用因式分解法即可求解．
本题考查求解一元二次方程．掌握解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键．
19.【答案】解：
，
；
，，
由得，
解得：，，
，

【解析】由得，解之可得；
由，，结合得，解之可得m的值，依据中的结果取舍即可得．
本题主要考查根的判别式、根与系数的关系，关键是掌握，是方程的两根时，，
20.【答案】解：如图所示，即为所求，的坐标为；
如图所示，即为所求：
如图所示，点D即为所求：

【解析】根据旋转的性质画出图形解答即可；
根据关于原点对称的性质画出图形解答即可；
作点关于x轴的对称点，连接交x轴于点D，点D即为所求．
本题是三角形综合题，考查旋转的性质和轴对称最短问题，坐标与图形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】解：设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，
则，
解得：，经检验是方程的解，
猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；
由题意得，当时，每天可售出100盒，
当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售盒，
，
配方，得：，
时，y随x的增大而增大，
当时，y取最大值，最大值为：元
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
【解析】设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列出方程，解方程即可；
由题意得，当时，每天可售出100盒，当猪肉粽每盒售价x元时，每天可售盒，列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式，根据二次函数的性质及x的取值范围求利润的最大值．
本题考查了二次函数的应用以及分式方程的解法，关键是根据题意列出每天销售猪肉粽的利润y与猪肉粽每盒售价x元的函数关系式．
22.【答案】
【解析】解：①参加问卷调查的学生人数为人
故答案为：240；
②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为
故答案为：；
扇形统计图中“D”对应的百分比为，
扇形统计图中“C”对应的百分比为，
人，
该校全体学生中最喜欢C课程的学生约有600人．
①用选择B的学生人数除以其所占的百分比可得参加问卷调查的学生人数．
②用乘以本次调查中选择D的学生所占的百分比，即可得出答案．
根据用样本估计总体，用2000乘以本次调查中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
23.【答案】解：如图1，
，，
把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合，如图1，
，
，点F，D、G共线，
则，，
，
即，
在和中，
，
≌，
；
，理由如下：
如图2，
，，
把绕点A逆时针旋转至，可使AB与AD重合，
，，
，，
，
，
，
，
，点F、D、G共线，
在和中，
，
≌，
，
即；
，理由如下：
把旋转到的位置，连接DF，如图3，则，，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
，
是直角三角形，
，

【解析】把绕点A逆时针旋转至，然后利用SAS证明≌，由此可得；
把绕点A逆时针旋转至，然后利用SAS证明≌，由此可得；
把旋转到的位置，连接DF，先根据SAS证明≌，由此可得，，又由可得，因此是直角三角形，由此可得，因此
本题考查几何变换的综合应用，主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．
24.【答案】解：因为点在抛物线上，
，
即
将点、代入，得
解得
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；
，
顶点D的坐标为，
的面积；
存在，理由如下：
抛物线的解析式为，
其对称轴为，
，
，
，
①当时：
如图，
作于点D，则，
，
此时点P的坐标为；
②当时：
，，
，，
，
，
此时点P的坐标为或；
③当时：
如图，
作于点D，
设，则
在中，由勾股定理得，
即，
解得
此时点P的坐标为
综上所述：点P坐标为或或或
【解析】将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式，用待定系数法即可求出二次函数的解析式．
把抛物线的解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；
根据题意，分以下三种情况进行讨论：①；②；③；即可利用等腰三角形的性质求解．
本题是二次函数综合题，主要考查求二次函数的解析式、二次函数的应用及等腰三角形的存在性问题；正确的画出对应图形，并结合每种对应情况进行分类讨论是解题的关键．