陕西省富平县2024届高三第二次模拟（理）数学试卷（解析版）

这是一份陕西省富平县2024届高三第二次模拟（理）数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】，
所以在复平面内的对应点为，在第一象限.
故选：A
2. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，则，而，
所以.
故选：C
3. 已知向量，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若，则，解得或2，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知函数图象关于原点对称，
则，整理可得，
当时，.故选：D.
5. 某电视台举行主持人大赛，每场比赛都有17位专业评审进行现场评分，首先这17位评审给出某位选手的原始分数，评定该位选手的成绩时从17个原始成绩中去掉一个最高分、一个最低分，得到15个有效评分，则15个有效评分与17个原始评分相比，在数字特征“①中位数②平均数③方差④极差”中，可能变化的有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】从17个原始评分去掉1个最高分、1个最低分，得到15个有效评分，
其平均数、极差、方差都可能会发生改变，
但中间位置不变，即不变的数字特征数中位数，
例如，故可能变化的有3个.故选：B.
6. 已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由是上的增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
7. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，事件“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，
则，则
故选：C
8. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ）
A. 锐角三角形B. 钝角三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】，
即，故，
，
因为，所以，故，
因为，所以，
故为等腰直角三角形.
故选：D
9. 在正方体中，过点B的平面与直线垂直，则截该正方体所得截面的形状为（ ）
A. 三角形B. 四边形C. 五边形D. 六边形
【答案】A
【解析】连接，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，
又四边形为正方形，所以⊥，
又，平面，
所以⊥平面，
因为平面，
所以⊥，
同理可证明⊥，
因为，平面，
故⊥平面，
故平面即为平面，
则截该正方体所得截面的形状为三角形.

故选：A
10. 已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】令椭圆的右焦点，依题意，轴，且点在第一象限，
由，解得，则，而，
由，得，解得，，
所以椭圆C的离心率.故选：C.
11. 若函数在内恰好存在8个，使得，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：
，
由可得，
因为，，则，
由题意可得，解得，
所以的取值范围为．
故选：D．
12. 已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为（ ）
A. 14B. 16C. 21D. 23
【答案】D
【解析】由，且，，故，
即，
令，，
故当时，，当时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
由，即，故，，
又，故，即，
若，则有，
即，由，故.
故最大正整数为.
故选：D.
二、填空题
13. 展开式中的项是_____________.
【答案】
【解析】依题意，展开式中的项是.
故答案为：
14. 若点A在焦点为F的抛物线上，且，点P为直线上的动点，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】抛物线的焦点，准线，设，
则，解得，显然，不妨设，
关于直线的对称点为，则
因此，当且仅当三点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：
15. 已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为_____________.
【答案】
【解析】令时，可得，
可知函数，且的图象恒过定点，
因为定点在直线上，
可得，且，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
16. 已知三棱锥外接球直径为SC，球的表面积为，且，则三棱锥的体积为______.
【答案】
【解析】设外接球半径为，则，解得，故，
由于均在球面上，故，
由勾股定理得，
取的中点，连接，
则⊥，⊥，
，
又，平面，故⊥平面，
其中，由勾股定理得，
在中，由余弦定理得，
故，
故，
故三棱锥的体积为
故答案为：.
三、解答题
（一）必考题
17. 已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前2n项和.
解：（1）设等比数列的公比为，由及，
得，
解得，于是，即，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，平面ABCD，，，且M，N分别为PD，AC的中点.
（1）求证：∥平面PBC；
（2）求平面MBC与平面PBC夹角的余弦值.
（1）证明：如图，连接BD，由ABCD是平行四边形，则有BD交AC于点N．
因为M，N分别为PD，BD的中点，则．
且平面PBC，平面PBC，所以平面PBC．
（2）解：由题意可知：平面ABCD，且，
如图，以A为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面MBC的法向量，则，
令，则，可得；
设平面PBC的法向量，则，
令，则，可得；
则，
所以平面MBC与平面PBC夹角的余弦值为.
19. 乒乓球，被称为中国的“国球”．某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示：
（1）补全列联表，并判断我们能否有把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？
（2）为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式：．
解：（1）依题意可得列联表如下：
，
我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关；
（2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生，
则的可能取值为、、、，
所以，，
，，
所以的分布列为：
所以．
20. 已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
解：（1）双曲线C：的焦点坐标为，
其渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离为．
因为双曲线C的离心率为，
所以，解得，所以双曲线C的标准方程为．
（2）设，，
联立，得，，
所以，．
由
，解得t＝1（负值舍去），所以，．
直线l：，所以原点O到直线l的距离为，
，
所以△OAB的面积为．
21. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）若当时，恒成立，求实数m的取值范围.
解：（1）依题意，函数的定义域为，
求导得，当且仅当时取等号，
即在上单调递减，
所以函数的递减区间为，无递增区间.
（2）当时，恒成立，
令，求导得，
当时，，当时，，
即函数在上递减，在上递增，则当时，，
令，依题意，，恒成立，
令，求导得，
则函数在上单调递增，
当时，，
因此，所以实数m的取值范围.
（二）选考题
【选修4—4：坐标系与参数方程】
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）写出直线和曲线的普通方程；
（2）若直线与曲线有公共点，求实数的取值范围.
解：（1）因为l：，所以，
又因为，所以化简为，
因为，整理得C的直角坐标方程：；
（2）联立l与C的方程，
即在时有交点即可，
易知对称轴为，由二次函数的单调性可知：，
所以，故，
即m的取值范围为.
【选修4—5：不等式选讲】
23. 已知函数，．
（1）当时，解不等式；
（2）若对任意，都有成立，求a的取值范围．
解：（1）当时，函数
由，即为，
等价于或或，
即或或，故或或．
故不等式的解集为．
（2）对任意x都成立，即恒成立，
因为绝对值三角不等式，
当且仅当时等号成立，
所以，即，或，解得．
所以的取值范围为．乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
56
女
24
总计
100
0.05
0.010
0.005
0.001
3.841
6.635
7.879
10828
乒乓球爱好者
非乒乓球爱好者
总计
男
40
16
56
女
20
24
44
总计
60
40
100
0
1
2
3