湖南省邵阳市2024届高三第三次联考数学试卷（解析版）

这是一份湖南省邵阳市2024届高三第三次联考数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数满足：，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】B
【解析】，，．故选：B．
2. 已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示集合是（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】因为，，所以，
所以图中阴影部分表示的集合或.故选：D.
3. “”是“函数（且）在上单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若，则的图象为：
可知在上单调递增；
若，则的图象为：
可知在上单调递减；
综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件.
故选：C．
4. 下列函数对于任意，都有成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】满足，则函数为上凸函数，
对于A，的图象是上凸的，符合题意；
对于B，的图象是下凸的，不符合题意；
对于C，的图象是下凸的，不符合题意；
对于D，的图象是下凸的，不符合题意；
故选：A.
5. 已知曲线在点处的切线与抛物线也相切，则实数的值为（ ）
A. 0B. C. 1D. 0或1
【答案】C
【解析】，，
所以曲线在点处的切线为：，即．
联立与，得，依题意可知，所以或1．
当时，不是抛物线，舍去．
故选：C
6. 甲、乙两个工厂代加工同一种零件，甲加工的次品率为，乙加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙工厂加工的零件数分别占总数的，，任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是乙工厂加工的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设事件“任取一个零件，取到的零件是次品”，“任取一个零件，来自甲工厂”，“任取一个零件，来自乙工厂”，
由题意得，，，．
因为，
所以．故选：D．
7. 已知双曲线的焦点在圆上，且圆与直线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可得：，则，
由直线与圆有公共点，则点到直线的距离，
所以，由离心率．
故选：B．
8. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（ ）
A. 不为周期函数B. 的图象不关于点对称
C. D.
【答案】C
【解析】因为函数的图象关于点对称，
所以，即，
则的图象关于点对称，B选项错误．
由，得．
令，则，
由，得的图象关于直线对称．
又的图象关于点对称，则，
所以，即，
则可得的图象关于点对称，故为周期函数，且周期为8，，
所以，，D选项错误．
又，
则，
所以，由得：，故为周期函数，A选项错误．
由，两边求导得：，
由得：，令得：，
利用的周期为8，则，C选项正确．
故选：C．
二、多选题
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若角的终边过点，则角的集合是
B. 若，则
C. 若，则
D. 若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
【答案】ABC
【解析】因为角的终边过点，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，
所以角的集合是，故A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因，所以C选项正确；
设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，
所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．
故选：ABC
10. 如图所示，点为正方体形木料上底面的动点，则下列结论正确的有（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使平面
C. 不存在点，使平面
D. 经过点在上底面上画一条直线与垂直，若与直线重合，则点为上底面中心
【答案】AD
【解析】三棱锥中，底面的面积为定值，由平面平面可知，
平面上任意一点到平面的距离都相等，
则可得三棱锥的体积为定值．故A选项正确；
在正方体中，，
平面，且，所以平面，
若存在点使得平面，则与重合或平行，
显然这样的点不存在，故B选项错误；
在正方体中，，平面，平面，
所以平面，当点与重合时，为，
则存在点使得平面，故C选项错误；
因为正方体中，平面，
由题可得平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面，平面，则．
当与重合时，．
在正方形中，则可得为与的交点，
即为上底面的中心，故D选项正确．
故选：AD.
11. 英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（ ）
A.
B. （精确到小数点后两位）
C.
D. 当时，
【答案】BD
【解析】由，，则有，故A选项错误．
由，则，
又（精确到小数点后两位），故B选项正确．
，，则有，故C选项错误．
当时，令，则，，
所以在上为增函数，则，
所以在上为增函数，则，
故当时，恒成立，即．故D选项正确．
故选：BD.
三、填空题
12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】
【解析】由的展开式的通项得：
，
令，得，故．故答案为：.
13. 宋朝诗人王镃在《蜻蜓》中写到：“轻绡剪翅约秋霜，点水低飞恋野塘”，描绘了蜻蜓点水的情形，蜻蜓点水会使平静的水面形成水波纹，截取其中一段水波纹，其形状可近似于用函数的图象来描述，如图所示，则______．
【答案】
【解析】由题知：，，，即，
又，，故，即．
故答案为：.
14. 已知分别为三个内角的对边，且
，则______；若，，，，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】由及正弦定理，得，由余弦定理可知，又，．
，，由余弦定理得，，
与的夹角的余弦值为．
又，，
且，
，，
，
故答案为：，
四、解答题
15. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若函数有且仅有三个零点，求的取值范围．
解：（1）由，得，
令，得，解得．所以的单调递增区间为
（2）令，解得或．
当变化时，，的变化情况如下表所示：
由函数有且仅有三个零点，
得方程有且仅有三个不等的实数根，
所以函数的图象与直线有且仅有三个交点．
显然，当时，；当时，．
所以由上表可知，的极小值为，的极大值为，故．
16. 如图所示，四棱锥中，平面，，，，为棱上的动点.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：连接，取的中点，连接，则.
又，，四边形为平行四边形，，
，即，
又平面，平面，，
又，平面，平面，平面，
又平面，.
（2）解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系，设.则，
依题意得，，，，
则，，
，.
设平面的法向量为，
则
取，得，．.
设直线与平面所成角为，则有.
直线与平面所成角的正弦值为.
17. 如图所示，已知点，轴于点，点为线段上的动点（不与端点重合），轴于点，于点，与相交于点，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）点是上不同的两点，关于轴对称的点为，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为．当为等边三角形，且时，求点到直线的距离的取值范围．
解：（1）设，则．
直线的方程为，，．
，．，，化简得，其中．即的方程为：．
（2）抛物线的图象关于轴对称，点在上，
点关于轴对称的点也在抛物线的图象上．
设直线的方程为，，
，则．
联立方程得：，整理得．
，，．
设，则，．
三点共线，，
．
即，又，．
．
点关于轴对称，，
为等边三角形，，
直线斜率，．
由，得．
，，又，，
则点到直线的距离．
设，则，且，
故．
在上单调递减，．
即点到直线的距离的取值范围是
18. 某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
表中，
（1）依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（2）依据（1）的结果和上表中的数据求出关于的回归方程.
（3）为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表：
依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？
参考公式：，，，其中.
解：（1）依据散点图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型.
（2）由，得，
依题意得，
，所以，即.
（3）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，
此推断犯错误的概率不超过0.10.
19. 已知数列，，函数，其中，均为实数．
（1）若，，，，，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）设数列的前项和为，求证：．
（2）若为奇函数,,，
且，问：当时，是否存在整数，使得成立．若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由．（附：，）
（1）（ⅰ）解：，，
由，
得，解得，
又，
，
，是以2为公比，2为首项的等比数列．
．
（ⅱ）证明：令，则，
．
显然，当时，是递增数列，在时，单调递减，
可得，．
．
（2）解：为奇函数，
．，
又，，，．
，
由得，．
，
，
，，
在上为增函数，
当时，，；
，．
当时，．
时，，又，
当时，，．又，的最大值为5．0
2
0
0
单调递减
1
单调递增
单调递减
5.5
8.7
1.9
301
385
79.75
性别
佩戴头盔
合计
不佩戴
佩戴
女性
8
12
20
男性
14
6
20
合计
22
18
40
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828