2022-2023学年四川省泸州市江阳区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年四川省泸州市江阳区八年级（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．9
3．（3分）学完“多边形及其内角和”后，老师让同学们任写一个多边形内角和，下列四位同学书写不合理的是（ ）
A．亮亮180°B．明明360°C．琪琪540°D．佳佳800°
4．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．a5÷a＝a4
C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a5
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
6．（3分）下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A．a2﹣（b+c）＝a2﹣b+c
B．a﹣[1﹣（b+c）]＝a+b+c﹣1
C．a﹣2x+y＝a+（﹣2x﹣y）
D．x﹣a+y﹣b＝（x+y）﹣（a﹣b）．
7．（3分）已知，△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，BC＝3，则DF等于（ ）
A．3B．5C．9D．11
8．（3分）下列式子中，能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣x+y）（y﹣x）B．（x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣y+x）（x+y）D．（x﹣y）（﹣x+y）
9．（3分）如图，ABC中，AD是它的角平分线，AC＝3，那么△ABD与△ADC的面积比是（ ）
A．1：1B．3：4C．4：3D．不能确定
10．（3分）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，我们的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
11．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．90°C．100°D．140°
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE是中线，CF是角平分线，交BE于点H，下面结论：
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
二、填空（每小题3分，共18分）
13．（3分）若xm＝2，xn＝3，则x2m﹣3n＝ ．
14．（3分）如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时 m．
15．（3分）如图，在△ABC中，若BC＝6cm，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D ．
16．（3分）若关于x的二次三项式x2﹣ax+25是完全平方式，则a的值是 ．
17．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BE＝CD，则∠EDF的度数是 ．
18．（3分）当三角形中一个内角β是另一个内角α的时，我们称此三角形为”希望三角形“，其中角α称为”希望角“．如果一个”希望三角形“中有一个内角为54° ．
三、解答题（每小题6分，共18分）
19．（6分）计算：．
20．（6分）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，且EF＝CD．求证：△AEF≌△BCD．
21．（6分）计算：3x•x5+（﹣2x2）3﹣x12÷x6．
四、解答题（每小题7分，共28分）
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△DEF（A，B、C的对称点分别是D、E，F），并直接写出D、E、F的坐标．
（2）求△ABC的面积．
23．（7分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
24．（7分）已知（mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x2项，并且x3的系数为2．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，若a3＝m，b3＝n，求（a﹣b）（a2+ab+b2）的值．
25．（7分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝7，AC＝5，求AE
五、解答题（每小题10分，共20分）
26．（10分）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（2021﹣x）（x﹣2019）＝1，求（2021﹣x）2+（x﹣2019）2的值．
27．（10分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，连结BE．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，证明△ADC≌△EDB．
（2）如图2，求出中线AD的取值范围．
（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
2022-2023学年四川省泸州市江阳区佳德学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、是轴对称图形．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（ ）
A．4B．5C．6D．9
【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．
【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜6+2，即5＜x＜8．
因此，本题的第三边应满足5＜x＜9．
7，5，9都不符合不等式5＜x＜9，
故选：C．
【点评】考查了三角形三边关系，此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可．
3．（3分）学完“多边形及其内角和”后，老师让同学们任写一个多边形内角和，下列四位同学书写不合理的是（ ）
A．亮亮180°B．明明360°C．琪琪540°D．佳佳800°
【分析】根据多边形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵多边形内角和公式为：（n﹣2）×180°（n为正整数，n≥3），
∴多边形内角和为180°的整倍数，
∵180°÷180°＝4，360°÷180°＝2，800°÷180°＝，
故A、B、C不符合题意，
故选：D．
【点评】此题考查了多边形内角和公式，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
4．（3分）下列运算不正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5B．a5÷a＝a4
C．a4﹣2a4＝﹣a4D．（﹣a2）3＝﹣a5
【分析】利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、a2•a3＝a3，故A不符合题意；
B、a5÷a＝a4，故B不符合题意；
C、a8﹣2a4＝﹣a8，故C不符合题意；
D、（﹣a2）3＝﹣a7，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5．（3分）如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，若∠B＝50°，则∠DCA等于（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【分析】由AC⊥BC可得∠ACB＝90°，又∠B＝50°，根据直角三角形两个锐角互余可得∠CAB＝40°，再根据平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝40°．
【解答】解：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
又∵∠B＝50°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝40°，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及直角三角形的性质，根据题意得出∠CAB的度数是解答本题的关键．
6．（3分）下列各式中，去括号或添括号正确的是（ ）
A．a2﹣（b+c）＝a2﹣b+c
B．a﹣[1﹣（b+c）]＝a+b+c﹣1
C．a﹣2x+y＝a+（﹣2x﹣y）
D．x﹣a+y﹣b＝（x+y）﹣（a﹣b）．
【分析】根据去括号和添括号法则对四个选项逐一进行分析，要注意括号前面的符号，以选用合适的法则．
【解答】解：A、原式＝a2﹣b﹣c，故本选项不符合题意．
B、原式＝a+b+c﹣1．
C、原式＝a+（﹣5x+y）．
D、原式＝（x+y）﹣（a+b）．
故选：B．
【点评】本题考查去括号和添括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号里的各项都不改变符号；若括号前是“﹣”，添括号后，括号里的各项都改变符号．
7．（3分）已知，△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为20，BC＝3，则DF等于（ ）
A．3B．5C．9D．11
【分析】根据三角形的周长可得AC长，然后再利用全等三角形的性质可得DF长．
【解答】解：∵△ABC的周长为20，AB＝8，
∴AC＝20﹣3﹣5＝9，
∵△ABC≌△DEF，
∴DF＝AC＝9，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
8．（3分）下列式子中，能用平方差公式运算的是（ ）
A．（﹣x+y）（y﹣x）B．（x+y）（﹣x﹣y）
C．（﹣y+x）（x+y）D．（x﹣y）（﹣x+y）
【分析】根据平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2判断，左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方．
【解答】解：A．没有相反项；
B．没有完全相同的项；
C．原式＝（x﹣y）（x+y）＝x2﹣y2，故此选项符合题意；
D．没有完全相同的项．
故选：C．
【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．
9．（3分）如图，ABC中，AD是它的角平分线，AC＝3，那么△ABD与△ADC的面积比是（ ）
A．1：1B．3：4C．4：3D．不能确定
【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据平分线的性质得到DE＝DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．
【解答】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，
∵AD是它的角平分线，
∴DE＝DF，
而S△ABD：S△ADC＝AB•DE：
＝AB：AC
＝4：2．
故选：C．
【点评】此题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式等知识，一般已知角平分线往往都是通过作垂线解决问题．
10．（3分）我国的纸伞工艺十分巧妙．如图，伞不论张开还是缩拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，我们的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【分析】根据确定三角形全等的条件进行判定即可得解．
【解答】解：根据伞的结构，AE＝AF，AD是公共边，
∵在△ADE和△ADF中，
，
∴△ADE≌△ADF（SSS），
∴∠DAE＝∠DAF，
即AP平分∠BAC．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，理解题意确定出全等的三角形以及全等的条件是解题的关键．
11．（3分）如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则∠A的度数是（ ）
A．40°B．90°C．100°D．140°
【分析】先根据BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，可得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再根据三角形内角和定理计算出∠1+∠2的度数，进而得到∠ABC+∠ACB，即可算出∠A的度数．
【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝6∠2，
∵∠BOC＝140°，
∴∠1+∠5＝180°﹣140°＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝2×40°＝80°，
∴∠A＝180°﹣80°＝100°，
故选：C．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE是中线，CF是角平分线，交BE于点H，下面结论：
①△ABE的面积等于△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝2∠ACF；
④BH＝CH．
其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
【分析】根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC＝∠DAC，再根据角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD＝∠ACB，再根据角平分线的定义可对③进行判断．
【解答】解：∵BE是中线得到AE＝CE，
∴S△ABE＝S△BCE，故①正确；
∵∠BAC＝90°，AD是高，
∴∠ABC＝∠DAC，
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵∠AFG＝∠FBC+∠BCF，∠AGF＝∠GAC+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故②正确；
∵∠BAD+∠DAC＝90°，∠DAC+∠ACB＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
而∠ACB＝2∠ACF，
∴∠FAG＝2∠ACF，故③正确．
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH；
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
二、填空（每小题3分，共18分）
13．（3分）若xm＝2，xn＝3，则x2m﹣3n＝ ．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵xm＝2，xn＝3，
∴x2m﹣3n＝（xm）2÷（xn）5＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键．
14．（3分）如图，小明从A点出发，前进4m到点B处后向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时 72 m．
【分析】由正多边形的概念，即可求解．
【解答】解：小明从A点出发第一次回到A点，他走的路线是正多边形，
∵正多边形的每个外角是20°，
∴正多边形的边数：n＝360°÷20°＝18，
∴小明走的路程：4×18＝72（m）
故答案为：72．
【点评】本题考查正多边形的概念，关键是搞清楚小明走的路程是正多边形．
15．（3分）如图，在△ABC中，若BC＝6cm，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D 10cm ．
【分析】根据线段垂直平分线求出AD＝BD，由BC＝AD+DC，再根据三角形周长即可得出答案．
【解答】解：∵AB的垂直平分线DE，
∴BD＝AD，
∴BC＝BD+DC＝AD+DC＝6cm，
∴△ADC的周长＝AD+DC+AC＝BC+AC＝6+6＝10cm，
故答案为：10cm．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
16．（3分）若关于x的二次三项式x2﹣ax+25是完全平方式，则a的值是 ±10 ．
【分析】根据完全平方式得出﹣ax＝±2•x•5，再求出a即可．
【解答】解：∵关于x的二次三项式x2﹣ax+25是完全平方式，
∴﹣ax＝±2•x•3，
解得：a＝±10．
故答案为：±10．
【点评】本题考查了完全平方式，能完全平方式得出﹣ax＝±2•x•5是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2两个．
17．（3分）如图所示，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BE＝CD，则∠EDF的度数是 50° ．
【分析】由题中条件可得△BDE≌△CFD，即∠BDE＝∠CFD，∠EDF可由180°与∠BDE、∠CDF的差表示，进而求解即可．
【解答】解：如图，在△BDE与△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS），
∴∠BDE＝∠CFD，
∠EDF＝180°﹣（∠BDE+∠CDF）＝180°﹣（∠CFD+∠CDF）＝180°﹣（180°﹣∠C）＝50°，
∴∠EDF＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
18．（3分）当三角形中一个内角β是另一个内角α的时，我们称此三角形为”希望三角形“，其中角α称为”希望角“．如果一个”希望三角形“中有一个内角为54° 54°或84°或108° ．
【分析】分54°角是α、β和既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：①54°角是α，则希望角度数为54°；
②54°角是β，则α＝β＝54°，
所以，希望角α＝108°；
③54°角既不是α也不是β，
则α+β+54°＝180°，
所以，α+，
解得α＝84°，
综上所述，希望角度数为54°或84°或108°．
故答案为：54°或84°或108°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
三、解答题（每小题6分，共18分）
19．（6分）计算：．
【分析】先算乘方，零指数幂，利用积的乘方进行运算，最后算加减即可．
【解答】解：
＝﹣1﹣1+56×（﹣）6×（﹣）
＝﹣1﹣1+（﹣）8×（﹣）
＝﹣6﹣1+（﹣1）8×（﹣）
＝﹣4﹣1﹣
＝﹣．
【点评】本题主要考查积的乘方，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（6分）如图，A、D、F、B在同一直线上，AD＝BF，且EF＝CD．求证：△AEF≌△BCD．
【分析】三条边对应相等的两个三角形全等，由此即可证明问题．
【解答】证明：∵AD＝BF，
∴AF＝BD，
在△AEF和△BCD中，
，
∴△AEF≌△BCD（SSS）．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SSS．
21．（6分）计算：3x•x5+（﹣2x2）3﹣x12÷x6．
【分析】先算单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的除法，再合并同类项即可．
【解答】解：3x•x5+（﹣2x2）3﹣x12÷x6
＝3x6+（﹣4x6）﹣x6
＝﹣8x6．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
四、解答题（每小题7分，共28分）
22．（7分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3），B（3，1），C（﹣2，﹣2）．
（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△DEF（A，B、C的对称点分别是D、E，F），并直接写出D、E、F的坐标．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴对称的对应点D、E、F的位置，然后顺次连接即可；
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解．
【解答】解：（1）△DEF如图所示，D（﹣2，3）E（﹣3，1）F（2，-2）
（2）△ABC的面积＝6.3．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键，（2）网格图中三角形的面积的求法需熟练掌握并灵活运用．
23．（7分）如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上
（1）当DE＝8，BC＝5时，求线段AE的长；
（2）已知∠D＝35°，∠C＝60°，求∠DBC与∠AFD的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，结合图形计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，根据三角形内角和定理求出∠ABC，计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEB，DE＝8，
∴AB＝DE＝8，BE＝BC＝5，
∴AE＝AB＝BE＝8﹣5＝2；
（2）∵△ABC≌△DEB，∠D＝35°，
∴∠DBE＝∠C＝60°，∠A＝∠D＝35°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝85°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠DBE＝85°﹣60°＝25°，
∵∠ABC＝85°，
∴∠DEB＝85°，
∴∠AED＝95°，
∴∠AFD＝∠A+∠AED＝35°+95°＝130°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
24．（7分）已知（mx+n）（x2﹣3x+4）的展开式中不含x2项，并且x3的系数为2．
（1）求m，n的值；
（2）在（1）的条件下，若a3＝m，b3＝n，求（a﹣b）（a2+ab+b2）的值．
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则进行化简，然后根据题意列出算式求出m与n的值．
（2）将原式进行化简，然后将a3与b3的值代入即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝mx3﹣3mx7+4mx+nx2﹣6nx+4n
＝mx3+（n﹣7m）x2+（4m﹣4n）x+4n，
由题意可知：m＝2，n﹣8m＝0，
∴m＝2，n＝8．
（2）原式＝a3+a2b+ab7﹣a2b﹣ab2﹣b4
＝a3﹣b3，
当a8＝2，b3＝7时，
原式＝2﹣6
＝﹣7．
【点评】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．
25．（7分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝7，AC＝5，求AE
【分析】（1）连接DB、DC，先由角平分线的性质就可以得出DE＝DF，再证明△DBE≌△DCF就可以得出结论；
（2）由条件可以得出△ADE≌△ADF就可以得出AE＝AF，进而就可以求出结论．
【解答】解：（1）连接DB、DC，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴DB＝DC．
∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF．∠AED＝∠BED＝∠AFD＝∠DFC＝90°
在Rt△DBE和Rt△DCF中
，
Rt△DBE≌Rt△DCF（HL），
∴BE＝CF．
（2）在Rt△ADE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE＝AF．
∵AC+CF＝AF，
∴AE＝AC+CF．
∵AE＝AB﹣BE，
∴AC+CF＝AB﹣BE
∵AB＝7，AC＝5，
∴4+BE＝7﹣BE，
∴BE＝1，
∴AE＝4﹣1＝6．
答：AE＝4，BE＝1．
【点评】本题考查了角平分线的性质的运用，中垂线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
五、解答题（每小题10分，共20分）
26．（10分）数学活动课上，张老师准备了若干个如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形．
（1）观察图②，写出代数式（a+b）2，a2+b2，ab之间的等量关系是 （a+b）2＝a2+b2+2ab ；
（2）根据（1）中的等量关系，解决下列问题；
①已知a+b＝4，a2+b2＝10，求ab的值；
②已知（2021﹣x）（x﹣2019）＝1，求（2021﹣x）2+（x﹣2019）2的值．
【分析】（1）根据正方形的面积公式解答；
（2）①根据（1）的结论，代入计算即可；
②根据完全平方公式计算．
【解答】解：（1）由图②可知：（a+b）2＝a2+b6+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a3+b2+2ab；
（2）①由（1）可知：4ab＝（a+b）2﹣（a2+b5），
∵a+b＝4，a2+b3＝10，
∴2ab＝47﹣10＝16﹣10＝6，
∴ab＝3；
②设2021﹣x＝a，x﹣2019＝b，
则a+b＝2021﹣x+x﹣2019＝7，ab＝（2021﹣x）（x﹣2019）＝1，
∴（2021﹣x）2+（x﹣2019）7＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×1＝2．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
27．（10分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E，连结BE．请根据小明的方法思考：
（1）如图2，证明△ADC≌△EDB．
（2）如图2，求出中线AD的取值范围．
（3）如图3，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【分析】（1）根据三角形全等的判定定理即可进行解答；
（2）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（3）延长AD至点G，使GD＝AD，连接BG，先证明△ADC≌△GDB，即可得出，再根据AE＝EF，得出，最后根据等角对等边，即可求证AC＝BF．
【解答】（1）证明：∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC 和△EDB 中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS）；
（2）解：由（1）可知，
∴BE＝AC＝6，
∵AB＝8，
∴7﹣6＜AE＜8+2，即2＜AE＜14，
∵DE＝AD．
∴，
∴1＜AD＜7；
（3）证明：延长AD垂点G，使GD＝AD，
∵AD为BC边上的中线，
∴BD＝CD．
在△ADC 和△GDB 中，
，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴，
∵AE＝EF，
∴，
∴，
∴，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
【点评】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，解题的关键是正确做出作辅助线，构造全等三角形．