贵州省贵阳市花溪区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份贵州省贵阳市花溪区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共17页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）一元二次方程3x2﹣5x﹣3＝0的一次项系数是（ ）
A．3B．﹣5C．﹣3D．0
2．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的大小是（ ）
A．130°B．65°C．50°D．25°
3．（3分）《九章算术》中注有“今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．”若盈利200元记作+200元，则﹣200元表示（ ）
A．亏损200元B．盈利200元
C．亏损﹣200元D．不盈利不亏损
4．（3分）甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）
A．：B．2：3C．4：9D．8：27
6．（3分）将一元二次方程（x﹣6）2＝25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣6＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣5B．x﹣6＝5C．x+6＝﹣5D．x+6＝5
7．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．1B．C．D．
8．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
9．（3分）从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母，抽中字母m的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不等的实数根B．无实数根
C．有两个相等的实数根D．无法判定
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
12．（3分）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019的最大值是（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
二、填空题（每小题4分。共16分）
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个根是1，则m+n＝ ．
14．（4分）田大伯为与客户签订销售合同，需了解自己鱼塘里鱼的数量，为此，他从鱼塘先捞出200条鱼做上标记再放入鱼塘，经过一段时间后又捞出300条，发现有标记的鱼有20条，则田大伯的鱼塘里鱼的条数是 ．
15．（4分）在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，剩余的空地上种植草坪．根据规划，小路分成的六块草坪总面积为570m2（如图所示）．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列方程是 ．
16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
三、解答题（本大题7小题，共48分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（6分）用适当方法解下列方程．
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2﹣4x+3＝0．
18．（5分）如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F．写出图中任意一对相似三角形，并说明理由．
19．（6分）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
20．（7分）在一个不透明的盒子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外，其余都相同．小和小英做摸球游戏，约定游戏规则是：小英先从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，小明再从中随机摸出一个球．如果两人摸到球的颜色相同，小英赢，否则小明赢．
（1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果；
（2）这个游戏规则公平吗？请说明理由．
21．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
22．（7分）小明用一根长56厘米的铁丝围一个矩形．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别是多少？
（2）他还能用这根铁丝围成面积为200平方厘米的矩形吗？说明理由．
23．（9分）【综合与实践】
定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形．
【概念理解】
①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是 ；（填序号）
【性质探究】
小明说：在如图①的垂美四边形ABCD中AD2+BC2＝AB2+CD2，请你判断他的说法是否正确，并说明理由；
【问题解决】
如图②，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE交AB于点M，连接BG交CE于点N，连接GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
2023-2024学年贵州省贵阳市花溪区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分.以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有
1．（3分）一元二次方程3x2﹣5x﹣3＝0的一次项系数是（ ）
A．3B．﹣5C．﹣3D．0
【解答】解：一元二次方程3x2﹣5x﹣3＝0的一次项系数是﹣5．
故选：B．
2．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，已知∠ACB＝25°，则∠AOB的大小是（ ）
A．130°B．65°C．50°D．25°
【解答】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠ACB＝25°，
∴∠AOB＝∠OBC+∠ACB＝25°+25°＝50°，
故选：C．
3．（3分）《九章算术》中注有“今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数．”若盈利200元记作+200元，则﹣200元表示（ ）
A．亏损200元B．盈利200元
C．亏损﹣200元D．不盈利不亏损
【解答】解：盈利200元记作+200元，则﹣200元表示亏损200元，
故选：A．
4．（3分）甲骨文是我国目前发现最早的文字，其显著特点是图画性强，下列甲骨文图画是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B．该图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．该图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（3分）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（ ）
A．：B．2：3C．4：9D．8：27
【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，
∴其面积之比是4：9，
故选：C．
6．（3分）将一元二次方程（x﹣6）2＝25转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x﹣6＝5，则另一个一元一次方程是（ ）
A．x﹣6＝﹣5B．x﹣6＝5C．x+6＝﹣5D．x+6＝5
【解答】解：（x﹣6）2＝25，
x﹣6＝5或x﹣6＝﹣5，
故选：A．
7．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于（ ）
A．1B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，
∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．
∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积，
∴S阴＝S正方形ABCD＝，
故选：B．
8．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A．﹣2B．1C．2D．0
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x＝0的两根分别为x1和x2，
∴x1x2＝0．
故选：D．
9．（3分）从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母，抽中字母m的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵单词“mathematics”，共11个字母，字母m有2个，
∴抽中字母m的概率为．
故选：D．
10．（3分）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不等的实数根B．无实数根
C．有两个相等的实数根D．无法判定
【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴方程无实数根．
故选：B．
11．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【解答】解：∵E是AC中点，
∵EF∥BC，交AB于点F，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC，
∴BC＝6，
∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．
故选：A．
12．（3分）定义：关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．若关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”．则代数式﹣ax2+bx+2019的最大值是（ ）
A．2024B．2023C．2022D．2021
【解答】解：由（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0，
∴（a+2）（x2﹣2x+1）+2（a+2）x﹣（a+2）+（b﹣4）x+8＝0，
即（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0，
∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程“，
∴2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）（x﹣1）2+（2a+b）x+6﹣a＝0是“同族二次方程”，
∴2a+b＝0，6﹣a＝1，
解得：a＝5，b＝﹣10，
则﹣ax2+bx+2019
＝﹣5x2﹣10x+2019
＝﹣5（x2﹣2x+1）+5+2019
＝﹣5（x﹣1）2+2024≤2024，
当x＝1时，﹣ax2+bx+2019取最大值2024，
故选：A．
二、填空题（每小题4分。共16分）
13．（4分）若关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有一个根是1，则m+n＝ ﹣1 ．
【解答】解：把x＝1代入原方程可得：
1+m+n＝0，
∴m+n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
14．（4分）田大伯为与客户签订销售合同，需了解自己鱼塘里鱼的数量，为此，他从鱼塘先捞出200条鱼做上标记再放入鱼塘，经过一段时间后又捞出300条，发现有标记的鱼有20条，则田大伯的鱼塘里鱼的条数是 3000 ．
【解答】解：∵20÷300＝，
∴．
故田大伯的鱼塘里鱼的条数是3000．
15．（4分）在“一圈两场三改”活动中，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形场地上修建三条同样宽且互相垂直的小路，剩余的空地上种植草坪．根据规划，小路分成的六块草坪总面积为570m2（如图所示）．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为x m，根据题意所列方程是 （32﹣2x）（20﹣x）＝570 ．
【解答】解：设道路的宽为x m，则草坪的长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故答案为：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
16．（4分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的动点，M，N分别是EF，AF的中点，则MN的最大值为 ．
【解答】解：如图所示，连接AE，
∵M，N分别是EF，AF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，∠B＝90°，
∴，
∴当BE最大时，AE最大，此时MN最大，
∵点E是BC上的动点，
∴当点E和点C重合时，BE最大，即BC的长度，
∴此时 ，
∴，
∴MN的最大值为．
故答案为：．
三、解答题（本大题7小题，共48分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．（6分）用适当方法解下列方程．
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2﹣4x+3＝0．
【解答】解：（1）x2﹣9＝0，
（x+3）（x﹣3）＝0，
x+3＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣3，x2＝3；
（2）x2﹣4x+3＝0，
（x﹣3）（x﹣1）＝0，
x﹣3＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝3，x2＝1．
18．（5分）如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F．写出图中任意一对相似三角形，并说明理由．
【解答】解：①△AFD∽△EFC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，
∴∠DAF＝∠CEF，∠DAF＝∠CEF，
∴△AFD∽△EFC．
②△EFC∽△EAB，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠EFC＝∠EAB，∠FCE＝∠ABE，
∴△EFC∽△EAB．
③△EAB∽△AFD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，∠DAF＝∠E，
∴△EAB∽△AFD．
综上所述有三对三角形相似，它们是：△AFD∽△EFC；△EFC∽△EAB；△EAB∽△AFD．
19．（6分）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【解答】解：设销售单价为x元，
由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]＝20000，
整理，得：x2﹣920x+211600＝0，
解得：x1＝x2＝460，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
20．（7分）在一个不透明的盒子中装有2个红球，1个黄球，它们除颜色外，其余都相同．小和小英做摸球游戏，约定游戏规则是：小英先从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，小明再从中随机摸出一个球．如果两人摸到球的颜色相同，小英赢，否则小明赢．
（1）请用树状图或列表格法表示一次游戏中所有可能出现的结果；
（2）这个游戏规则公平吗？请说明理由．
【解答】解：（1）画树状图为：
共有9种等可能的结果；
（2）这个游戏规则不公平．
理由如下：
两球的颜色相同的结果数为5，两球的颜色不相同的结果数为4，
所以小英赢的概率＝，小明赢的概率＝，
因为＞，
所以这个游戏规则不公平．
21．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE＝AD．
（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BF，
∴∠DAF＝∠AFC，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠FAE，
∴∠FAE＝∠AFC，
∴EA＝EF，
∵AE＝AD，
∴AD＝EF，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AE＝AD，
∴四边形AEFD是菱形．
22．（7分）小明用一根长56厘米的铁丝围一个矩形．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别是多少？
（2）他还能用这根铁丝围成面积为200平方厘米的矩形吗？说明理由．
【解答】解：（1）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，
依题意得：x（28﹣x）＝180，
解得：x1＝10（不符合题意，舍去），x2＝18，
∴28﹣x＝28﹣18＝10，
答：矩形的长是18厘米，宽是10厘米；
（2）不能用这根铁丝围成面积为200平方厘米的矩形，理由如下：
设矩形的长为y厘米，则宽为（28﹣y）厘米，
依题意得：y（28﹣y）＝200，
即y2﹣28y+200＝0，
∵Δ＝282﹣4×200＝784﹣800＜0，
∴原方程无实数根，
∴不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
23．（9分）【综合与实践】
定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．如图①所示的四边形ABCD是垂美四边形．
【概念理解】
①正方形，②菱形，③矩形，三个图形中一定是垂美四边形的是 ①② ；（填序号）
【性质探究】
小明说：在如图①的垂美四边形ABCD中AD2+BC2＝AB2+CD2，请你判断他的说法是否正确，并说明理由；
【问题解决】
如图②，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE交AB于点M，连接BG交CE于点N，连接GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．
【解答】解：（1）∵菱形、正方形的对角线互相垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：①②；
（2）说法正确，证明如下：
如图1，设AC，BD交于点O，
∵四边形ABCD是垂美四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，
由勾股定理，得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，
∴∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，AG＝AC，∠GAB＝∠CAE，AB＝AE，
∴△GAB≌△CAE（SAS），
∴∠ABG＝∠AEC，
又∵∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，
又∵∠BMC＝∠AME，
∴∠ABG+∠BMC＝90°，
∴CE⊥BG．
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）可知CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
由勾股定理，得CB2＝9，CG2＝32，BE2＝50，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．