浙江省山海联盟协作学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份浙江省山海联盟协作学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x2﹣xB．y＝2x+1C．D．
2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
B．打开电视机正在播放亚运会比赛
C．在一个只装有白球的袋子里摸出红球
D．正数大于负数
3．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝2，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
4．（3分）关于y＝（x+1）2+3的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（1，3）
B．对称轴为直线x＝1
C．当x≥﹣1时，y随x的增大而增大
D．开口向下
5．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在20%附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．4个B．8个C．12个D．16个
6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知，则AC的长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
7．（3分）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个圆，杯内水面宽AB＝8cm，CD＝2，则半径的长是（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．
8．（3分）如图，在⊙O中，∠BOA＝45°，OB∥AC，AO，BC相交于点D，那么∠BDA的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．80°
9．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx+c的图象过不同的六点A（﹣2，m），B（5，m﹣1），C（6，m+1），D（﹣1，y1），E（，y2），F（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
10．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D（不与点O重合），连结CD．若∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为（ ）
A．44°B．46°C．48°D．69°
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共，24分）
11．（4分）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是 ．
12．（4分）抛物线y＝3x2﹣x﹣4与y轴的交点坐标为 ．
13．（4分）已知C是线段AB的黄金分割点，AB＝6且AC＞BC，则线段AC＝ ．
14．（4分）一个扇形的圆心角是45°，半径是4，则这个扇形的面积是 ．
15．（4分）在关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，则b﹣a的值为 ．
16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD长为半径画弧，交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF，则∠C＝ °，若AB＝10，则DF的长为 ．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）已知实数x，y，z满足，试求的值．
18．（6分）2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C．
（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到B（宸宸）的概率是 ．
（2）小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率．
19．（6分）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣4），B（0，﹣5），C（2，﹣2）．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转180°后对应得到△A'B'C'，请写出点A'，B'，C'的坐标．
（2）请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A″B″C″，并求出旋转过程中点A所经过的路径长（结果保留根号和π）．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若CD＝AE＝8，求BC的长．
22．（10分）如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
（2）通过计算判断此球能否过网．
（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，E为AC上一点，⊙O经过B，C，E，交AB于点F，过点E作DE∥AB，交⊙O于点D．
（1）求证：∠A＝∠BDE．
（2）连结DF，DC．求证：CD＝DF．
24．（12分）新定义：我们把抛物线与抛物线其中ab≠0）称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为C2．
（1）写出抛物线C2的函数表达式（用含a的式子表示）y2＝ ，顶点坐标为 ．
（2）对于C1和C2，当y1＞y2时，求x的取值范围．
（3）若a＞0，当a﹣3≤x≤a﹣1时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
2023-2024学年浙江省山海联盟协作学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x2﹣xB．y＝2x+1C．D．
【解答】解：A、该函数是二次函数，故本选项符合题意；
B、该函数是一次函数，故本选项不符合题意；
C、该函数是反比例函数，故本选项不符合题意；
D、该函数是一次函数，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
B．打开电视机正在播放亚运会比赛
C．在一个只装有白球的袋子里摸出红球
D．正数大于负数
【解答】解：A、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视机正在播放亚运会比赛，是随机事件，不符合题意；
C、在一个只装有白球的袋子里摸出红球，是不可能事件，符合题意；
D、正数大于负数，是必然事件，不符合题意；
故选：C．
3．（3分）已知⊙O的半径为2，OA＝2，则点A在（ ）
A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．无法确定
【解答】解：∵⊙O的半径为2，OA＝2，
∴点A在⊙O上．
故选：B．
4．（3分）关于y＝（x+1）2+3的图象，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为（1，3）
B．对称轴为直线x＝1
C．当x≥﹣1时，y随x的增大而增大
D．开口向下
【解答】解：∵y＝（x+1）2+3
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，3），对称轴直线为x＝﹣1，故选项A、B错误，不符合题意；
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，有最小值为3，且当x≥﹣1时，y随x增大而增大，故选项C正确，符合题意，选项D错误，不符合题意，
故选：C．
5．（3分）在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在20%附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．4个B．8个C．12个D．16个
【解答】解：设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：＝20%，
解得x＝16，
经检验x＝16是分式方程的解，
所以口袋中红球可能有16个，
故选：D．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，已知，则AC的长是（ ）
A．4B．6C．8D．10
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，
解得：AC＝6，
故选：B．
7．（3分）如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其横放，截面是个圆，杯内水面宽AB＝8cm，CD＝2，则半径的长是（ ）
A．6cmB．5cmC．4cmD．
【解答】解：如图，连接 OA、OC，
则 OC⊥AB，
AC＝AB＝4（ cm ），
在Rt△OAC 中，
设OA＝x，则，OC＝x﹣2
则：x2+（x﹣2）2＝42，
解得：x＝5，
∴半径为5（cm），
故选：B．
8．（3分）如图，在⊙O中，∠BOA＝45°，OB∥AC，AO，BC相交于点D，那么∠BDA的度数为（ ）
A．45°B．60°C．67.5°D．80°
【解答】解：∵∠BOA＝45°，
∴∠BCA＝22.5°，
∵OB∥AC，
∴∠OBD＝∠ACD＝22.5°，
∴∠BDA＝∠BOA+∠OBD＝45°+22.5°＝67.5°，
故选：C．
9．（3分）若二次函数y＝a2x2﹣bx+c的图象过不同的六点A（﹣2，m），B（5，m﹣1），C（6，m+1），D（﹣1，y1），E（，y2），F（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y2＜y1＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y3＜y1
【解答】解：由二次函数y＝a2x2﹣bx+c可知，抛物线开口向上，
∵A（﹣2，m），B（5，m﹣1），C（6，m+1），
∴A点关于对称轴的对称点在5与6之间，
∴对称轴的取值范围为＜x＜2，
∴点E到对称轴的距离最小，点D到对称轴的距离最大，
∴y2＜y3＜y1，
故选：D．
10．（3分）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折，交AB于点D（不与点O重合），连结CD．若∠BAC＝23°，则∠ACD的度数为（ ）
A．44°B．46°C．48°D．69°
【解答】解：作点D关于直线AC的对称轴点D′，连接AD′，BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝23°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣23°＝67°，
∵四边形ABCD′是圆内接四边形，
∴∠AD′C＝180°﹣∠ABC＝180°﹣67°＝113°，
∴∠ADC＝∠AD′C＝113°，
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC﹣∠ADC＝180°﹣23°﹣113°＝44°，
故选：A．
二、填空题（本大题有6个小题，每小题4分，共，24分）
11．（4分）抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率是 ．
【解答】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，等可能的情况有：正面朝上，反面朝上，
则P（正面朝上）＝，
故答案为：
12．（4分）抛物线y＝3x2﹣x﹣4与y轴的交点坐标为 （0，﹣4） ．
【解答】解：把x＝0代入y＝3x2﹣x﹣4得y＝﹣4，
所以抛物线y＝3x2﹣x﹣4与y轴的交点坐标为（0，﹣4）．
故答案为：（0，﹣4）．
13．（4分）已知C是线段AB的黄金分割点，AB＝6且AC＞BC，则线段AC＝ 3﹣3 ．
【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝6，AC＞BC，
∴AC＝AB＝3﹣3，
故答案为：3﹣3．
14．（4分）一个扇形的圆心角是45°，半径是4，则这个扇形的面积是 2π ．
【解答】解：S扇形＝＝2π．
故答案为：2π．
15．（4分）在关于x的二次函数y＝ax2﹣2ax+b中，当0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，则b﹣a的值为 ﹣2或6 ．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+b＝a（x﹣1）2+b﹣a，
∴顶点坐标为（1，b﹣a），
当a＞0时，
∵0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，
∴函数有最小值，
∴b﹣a＝﹣2，
当a＜0时，
∵0≤x≤3时，﹣2≤y≤6，
∴函数有最大值，
∴b﹣a＝6，
故答案为：﹣2或6．
16．（4分）如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD长为半径画弧，交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF，则∠C＝ 60 °，若AB＝10，则DF的长为 5 ．
【解答】解：连接DE，过点D作直径DG，连接GF，
∵以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，
∴CD＝CE，
∵直径AB⊥弦CD，
∴AB是CD的垂直平分线，
∴CE＝DE，
∴CD＝CE＝DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠DGF＝∠C＝60°，
∵DG为直径，AB＝10，
∴∠DFG＝90°，DG＝10，
∴GF＝DG＝5，
∴DF＝＝＝5，
故答案为：60，5．
三、解答题（本大题有8个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）已知实数x，y，z满足，试求的值．
【解答】解：设＝k，
则x＝3k，y＝4k，z＝5k，
所以
＝
＝
＝．
18．（6分）2023年第19届亚运会在杭州举办．小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务．现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C．
（1）小蔡从中随机抽取一盒，恰好抽到B（宸宸）的概率是 ．
（2）小蔡从中随机抽取两盒．请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率．
【解答】解：（1）由题意得，恰好抽到B（宸宸）的概率是．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的结果有2种，
∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A（琮琮）和C（莲莲）的概率为＝．
19．（6分）如图，AD，BC是⊙O的两条弦，且AB＝CD，求证：．
【解答】证明：∵AB＝CD，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴．
20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣1，﹣4），B（0，﹣5），C（2，﹣2）．
（1）将△ABC绕点O逆时针旋转180°后对应得到△A'B'C'，请写出点A'，B'，C'的坐标．
（2）请在图中画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A″B″C″，并求出旋转过程中点A所经过的路径长（结果保留根号和π）．
【解答】解：（1）由题意得，A'（1，4），B'（0，5），C'（﹣2，2）．
（2）如图，△A''B''C''即为所求．
由勾股定理得，OA＝＝，
∴旋转过程中点A所经过的路径长为＝．
21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连结AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD．
（2）若CD＝AE＝8，求BC的长．
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，AB是直径，
∴EC＝DE＝4，
∵∠AEC＝∠CEB＝90°，∠A＝∠BCE，
∴△ACE∽△CBE，
∴＝，
∴＝，
∴EB＝2，
∴BC＝＝＝2．
22．（10分）如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m．
（1）求羽毛球经过的路线对应的函数表达式．
（2）通过计算判断此球能否过网．
（3）若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离．
【解答】解：（1）根据题意，抛物线顶点坐标为（4，2），与y轴交点坐标为（0，1），
设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+2，
把（0，1）代入得：1＝16a+2，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣（x﹣4）2+2＝﹣x2+x+1；
∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为y＝﹣x2+x+1；
（2）在y＝﹣x2+x+1中，
令x＝5得y＝﹣++1＝1.9375，
∵1.9375＞1.55，
∴此球能过网；
（3）在y＝﹣x2+x+1中，
令y＝得：＝﹣x2+x+1，
解得x＝1（舍去）或x＝7，
∵7﹣5＝2（米），
∴乙与球网的水平距离为2米．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，E为AC上一点，⊙O经过B，C，E，交AB于点F，过点E作DE∥AB，交⊙O于点D．
（1）求证：∠A＝∠BDE．
（2）连结DF，DC．求证：CD＝DF．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠A＝∠ACB，
∵∠BDE＝∠ACB，
∴∠A＝∠BDE；
（2）连接CF，
∵DE∥AB，
∴∠BFD＝∠EDF，∠A＝∠DEC，
∵∠BFD＝∠BCD，∠ECF＝∠EDF，
∴∠BCD＝∠ECF，
∴∠ACB＝∠DCF，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠ACB，
∴∠DCF＝∠A，
∴∠DFC＝∠DEC＝∠A，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴CD＝DF．
24．（12分）新定义：我们把抛物线与抛物线其中ab≠0）称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为C2．
（1）写出抛物线C2的函数表达式（用含a的式子表示）y2＝ ax2+2ax+a﹣2 ，顶点坐标为 （﹣1，﹣2） ．
（2）对于C1和C2，当y1＞y2时，求x的取值范围．
（3）若a＞0，当a﹣3≤x≤a﹣1时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”定义可知，抛物线C2的函数表达式y2＝ax2+2ax+a﹣2；
∵y2＝ax2+2ax+a﹣2＝a（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2）；
故答案为：ax2+2ax+a﹣2；（﹣1，﹣2）；
（2）∵y1＞y2，
∴2ax2+ax+a﹣2＞ax2+2ax+a﹣2，
∴ax（x﹣1）＞0，
当a＞0时，x（x﹣1）＞0，
∴x＜0或x＞1；
当a＜0时，x（x﹣1）＜0，
∴0＜x＜1；
综上所述，当a＞0时，x＜0或x＞1；当a＜0时，0＜x＜1；
（3）∵C2：y＝a（x+1）2﹣2，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2．
当 x＝a﹣3 时，y＝a（a﹣3+1）2﹣2＝a（a﹣2）2﹣2；
当x＝a﹣1 时，y＝a（a﹣1+1）2﹣2＝a3﹣2；
根据题意可知，需要分三种情况讨论：
Ⅰ．当a﹣3＜﹣1＜a﹣1，即0＜a＜2时，
若﹣1﹣（a﹣3）＞a﹣1﹣（﹣1），即0＜a≤1，则y大＝a（a﹣2）2﹣2；y小＝﹣2，
∴a（a﹣2）2﹣2﹣（﹣2）＝2a，
解得a＝2﹣或a＝2+（舍）或a＝0（舍）；
若﹣1﹣（a﹣3）＜a﹣1﹣（﹣1），即1＜a＜2时，y大＝a3﹣2；y小＝﹣2，
∴a3﹣2﹣（﹣2）＝2a，
解得a＝或a＝﹣（舍）或a＝0（舍）；
Ⅱ．当﹣1≤a﹣3≤a﹣1，即a≥2时，y大＝a3﹣2；y小＝a（a﹣2）2﹣2．
∴a3﹣2﹣[a（a﹣2）2﹣2]＝2a，
解得a＝（舍）或a＝0（舍）；
Ⅲ．当a﹣3≤a﹣1≤﹣1，即a≤0时，y大＝a（a﹣2）2﹣2，y小＝a3﹣2，
∴a（a﹣2）2﹣2﹣（a3﹣2）＝2a，
解得a＝（舍去）或a＝0（舍去），
综上所述，a的值为2﹣或．