遂宁市2024年中考真题数学试卷（解析版）

这是一份遂宁市2024年中考真题数学试卷（解析版），共15页。
试卷满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号用0.5毫米的黑色墨迹签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列各数中，无理数是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】C
2. 古代中国诸多技艺均领先世界．榫卯结构就是其中之一，榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式．凸出部分叫榫（或榫头），凹进部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用，右图是某个部件“榫”的实物图，它的主视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
3. 中国某汽车公司坚持“技术为王，创新为本”的发展理念，凭借研发实力和创新的发展模式在电池、电子、乘用车、商用车和轨道交通等多个领域发挥着举足轻重的作用．2024年第一季度，该公司以万辆的销售成绩稳居新能源汽车销量榜榜首，市场占有率高达．将销售数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
7. 分式方程的解为正数，则的取值范围（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
8. 工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直径为米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽为米，请计算出淤泥横截面的面积（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
9. 如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（ ）
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
【答案】D
10. 如图，已知抛物线（a、b、c为常数，且）的对称轴为直线，且该抛物线与轴交于点，与轴的交点在，之间（不含端点），则下列结论正确的有多少个（ ）
①；
②；
③；
④若方程两根为，则．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 分解因式：______．
【答案】
12. 反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第______象限．
【答案】四##
13. 体育老师要在甲和乙两人中选择人参加篮球投篮大赛，下表是两人次训练成绩，从稳定的角度考虑，老师应该选______参加比赛．
【答案】甲
14. 在等边三边上分别取点，使得，连结三点得到，易得，设，则
如图①当时，
如图②当时，
如图③当时，
……
直接写出，当时，______．
【答案】##0.73
15. 如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是______．（填序号）
【答案】①②③
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
解：
．
17. 先化简：，再从1，2，3中选择一个合适的数作为的值代入求值．
解：
∵
∴当时，原式
18. 康康在学习了矩形定义及判定定理1后，继续探究其它判定定理．
（1）实践与操作

①任意作两条相交的直线，交点记为O；
②以点为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段；
③顺次连结所得的四点得到四边形．
于是可以直接判定四边形是平行四边形，则该判定定理是：______．
（2）猜想与证明
通过和同伴交流，他们一致认为四边形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一种判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形．并写出了以下已知、求证，请你完成证明过程．
已知：如图，四边形是平行四边形，．求证：四边形是矩形．

解：（1）由作图可得：，，
∴四边形是平行四边形，
该判定定理是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
19. 小明的书桌上有一个型台灯，灯柱高，他发现当灯带与水平线夹角为时（图1），灯带的直射宽为，但此时灯的直射宽度不够，当他把灯带调整到与水平线夹角为时（图2），直射宽度刚好合适，求此时台灯最高点到桌面的距离．（结果保留1位小数）（）
解：由已知，，
在图1中，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴
在中，
在图2中，过点作于点，
∴
∵灯柱高，
点到桌面的距离为
答：此时台灯最高点到桌面的距离为．
20. 某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元．
（1）求两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？
解：（1）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，
由题意可得，， 解得，
答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；
（2）设种客房每间定价为元，
则，
∵，
∴当时，取最大值，元，
答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元．
21. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的值．
（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．
22. 遂宁市作为全国旅游城市，有众多著名景点，为了解“五一”假期同学们的出游情况，某实践探究小组对部分同学假期旅游地做了调查，以下是调查报告的部分内容，请完善报告：
解：（1）本次被抽样调查的学生总人数为，
组的人数为：，
∴， ∴
B：龙凤古镇”对应圆心角的度数是
故答案为：，，．
（2）根据（1）可得组人数人，补全统计图，如图所示，
（3）
答：请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数为人；
（4）列表如下，
共有种等可能结果，其中他们选择同一景点的情形有种，
∴他们选择同一景点的概率为
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出时，的取值范围；
（3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积．
解：（1）把代入得，，
∴，
∴反比例函数表达式为，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
， 解得，
∴一次函数表达式为；
（2）由图象可得，当时，的取值范围为或；
（3）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则，
∴，
∵点关于原点对称，
∴，
∴，，
∴
，
即的面积为．
24. 如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连结交于点．
（1）求证：；
（2）延长至点，使，连接．
①求证：是的切线；
②若，，求的半径．
（1）证明：如图，连接，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）证明：①∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴是的切线；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径为．
25. 二次函数的图象与轴分别交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当两点关于抛物线对轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标；
（3）设的横坐标为，的横坐标为，试探究：的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．
解：（1）把，代入得，
，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）如图：
由得抛物线对称轴为直线，
∵两点关于抛物线对轴对称，
∴，
设，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
（3）存在，理由：当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设点，则点，设直线交轴于点，
设直线表达式为：，
代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
令，得
则，
则，
则
，
即存在最小值为；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线表达式：，
令，得
则，
则，
则
即存在最小值为；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求，
即存在最小值为，
综上所述，的面积是否存在最小值，且为．
甲
乙
xx小组关于xx学校学生“五一”出游情况调查报告
数据收集
调查方式
抽样调查
调查对象
xx学校学生
数据的整理与描述
景点
A：中国死海
B：龙凤古镇
C：灵泉风景区
D：金华山
E：未出游
F：其他
数据分析及运用
（1）本次被抽样调查的学生总人数为______，扇形统计图中，______，“：龙凤古镇”对应圆心角的度数是______；
（2）请补全条形统计图；
（3）该学校总人数为人，请你估计该学校学生“五一”假期未出游的人数；
（4）未出游中的甲、乙两位同学计划下次假期从、、、四个景点中任选一个景点旅游，请用树状图或列表的方法求出他们选择同一景点的概率．