辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（解析版）

这是一份辽宁省沈阳市联合体2022-2023学年高一下学期期末数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.）
1. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故选：B.
2. 已知i为虚数单位，复数，则它的共轭复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A.
3. 如图，一个水平放置的四边形的斜二测画法的直观图是矩形，，是的中点，则原四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在直观图中为等腰直角三角形，所以，
所以，又是的中点，所以，
所以在平面图形中，，
所以.
故选：A.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
则，
所以，
所以.
故选：C
5. 已知的外接圆半径为1，，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】由正弦定理可得，
所以，
则.
故选：D.
6. 已知向量、满足，，，设与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，，
所以，
，
所以.
故选：C.
7. 函数在一个周期内的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】函数的最小正周期，
∵选项D的最小正周期，D错误；
令，解得，
故的单调递增区间为，
取，则的单调递增区间为，
故A正确，B、C错误.
故选：A.
8. 龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇宫盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台．如图，现有一龙洗盆高15cm，盆口直径为40cm，盆底直径为20cm．往盆内倒入水，当水深6cm时，盆内水的体积近似为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，画出圆台的立体图形和轴截面平面图形，并延长与交于点，
根据题意，得，
设，有，即，
解得，
所以盆内水的体积为.
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知为虚数单位，下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则的虚部为4
D. 已知复数满足，则复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆
【答案】AD
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，所以的虚部为，故C错误；
对于D：令，，因为，所以，则，
所以复数在复平面内对应点的集合是以为圆心、以为半径的圆，故D正确.
故选：AD.
10. 已知为点，为直线，为平面，则下列命题成立的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，且，，则
D. 若，，，则
【答案】BC
【解析】对于A，若，则直线可能平行、相交或异面，故A错误；
对于B，因为，所以，
又因为，所以内存在一条直线，所以，
由，从而得到，故B正确；
对于C，如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内，
因为，，且，则，故C正确；
对于D，由，如下图示，此时，故D错误.
故选：BC.
11. 在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，，符合条件的只有一个，则
【答案】ABC
【解析】对于A：在三角形中，由可得，根据正弦定理可得，
故A正确；
对于B：因为，
由正弦定理可得，
所以，由在三角形中，
所以，又，所以，故B正确；
对于C：由、分别为向量、方向上的单位向量，
根据平行四边形法则向量平分角，
又，所以，所以，故C正确；
对于D：若，即，此时符合条件的有两个，故D错误．
故选：ABC．
12. 如图，正方体的棱长为1，是正方形的中心，是的中点，则以下结论正确的是（ ）
A. 平面B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为D. 异面直线与所成的角为
【答案】ABC
【解析】对于，设与交于点，连接，如图，
则平面，又平面，所以，
又平面，所以平面，故A正确；
对于，连接，
因为分别是的中点，则，
又平面，平面，故平面，
易得，又平面，平面，故平面，
又，平面，所以平面平面，故B正确；
对于C，因为是的中点，所以到底面的距离为，
则，故C正确；
对于D，因为，所以异面直线与所成角为或其补角，
连接，则，
在中，
所以异面直线与所成的角不等于，故错误.
故选：ABC.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若，则______．
【答案】
【解析】∵，∴，
∴.
故答案为：．
14. 已知复数，（i为虚数单位）在复平面上对应的点分别为，，则______．
【答案】
【解析】因为复数在复平面上对应的点分别为，
所以，则，所以.
故答案为：.
15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点间的距离为______.
【答案】
【解析】因为，，
所以，，所以，
又因为，所以，
由正弦定理得：，即，解得，
在中，由余弦定理得，
所以，
解得.
故答案为：.
16. 已知四棱锥的底面四边形是边长为的正方形，且平面，，点M为线段上的动点（不包含端点），则当三棱锥的外接球的体积最小时，的长为_________．
【答案】2
【解析】因为平面，平面，所以，
连接MA，由题意可知三棱锥的外接球即四棱锥的外接球，
则当三棱锥外接球的体积最小时，四棱锥外接球的半径最小，
设四棱锥外接球的球心为O，半径为R，连接AC与BD交于点，
当O与不重合时，连接，易知平面ABCD，则，
连接OC，在中，，
当O与重合时，，
所以当三棱锥的外接球的体积最小时，O与重合，，
设CM的中点为N，连接，易知，则，
所以，解得，所以.
故答案为：2.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知复数，．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）当时，求．
解：（1）因为复数为纯虚数，
所以，解得.
（2）当时，
所以.
18. 如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）.
（1）用向量的方法证明；
（2）若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
解：（1）如图，建立平面直角坐标系：
（方法一）由题意可知，设，则，
，，，
得，，
所以，
故，即.
（方法二）由题意可知，，，设，
则，得，
得，，
所以，
故，即.
（2）由题意得，则，
设，则，，
由（1）得，，
所以，
由，得，当，即时，，
故的最大值为.
19. 如图，在正六棱锥中，为底面中心，，．
（1）若，分别是棱，的中点，证明：平面；
（2）若该正六棱锥的顶点都在球的表面上，求球的表面积和体积．
解：（1）因为，分别是棱，的中点，
所以，在正六边形中，，所以，
所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）依题意可知球心一定在直线上，设球的半径为，则，
又，所以，解得，
所以球表面积，体积.
20. 已知的内角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求角；
（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积．
解：（1）因为，即，
由正弦定理可得，
因为，，所以，所以，
因为，所以.
（2）由余弦定理，
即，
所以，所以，解得或（舍去），
当且仅当时取等号，所以，
即的周长的最小值为，此时.
21. 已知向量，，函数，．
（1）求函数的最小正周期、值域；
（2）对任意实数，，定义，设，，a为大于0的常数，若对于任意，总存在，使得恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）因为，，函数，
所以
，
所以函数的最小正周期为，
因为，所以，所以，
故函数的值域为.
（2）若对于任意，总存在，使得恒成立，
则，
因为，
当时，则，即，
因，则，即，
解得，则；
同理当时，则，
，
综上：的值域为，
又的值域为，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
22. 如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，，点在上，且．
（1）已知点在上，且，证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离．
解：（1）由且，可知是等腰直角三角形，
且，
又因为四边形为直角梯形，且，，则，
所以，，
因为，，，
所以，，，
又因为，即，且，
所以，四边形为平行四边形，即，
又因为，故，
因为底面，底面，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，因此，平面平面.
（2）取的中点，连接，
因为，，则四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为平面，平面，所以，，
又因为，，、平面，所以，平面，
取的中点，连接，
因为、分别为、的中点，所以，，所以，平面，
又因为，所以，点到平面的距离为，
所以，点到平面的距离为.