广东省中山市广浩学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

这是一份广东省中山市广浩学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若长度分别是a、3、5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
3.将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是( )
A. 105∘B. 120∘C. 135∘D. 150∘
4.如图，AC与BD相交于点O，OA=OD，OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是( )
A. SSS
B. SAS
C. AAS
D. ASA
5.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的角平分线，若CD=3，AB=8，则△ABD的面积是( )
A. 12
B. 24
C. 36
D. 无法确定
6.如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向M，N两村庄供应天然气.在下面四种方案中，铺设管道最短的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，共36分。
7.三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的石城县兴隆大桥斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是______.
8.如图，第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，此正九边形的内角和为______度.
9.如图，P是△ABC内一点，连接BP、CP，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=100∘，则∠BPC的度数为______.
10.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，若AB=12，BC=8，则△BCE的周长为______.
11.在平面直角坐标系中，点A(2,-m+1)与点B(n+1,0)关于y轴对称，则代数式m-n的值为______.
12.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50∘，则等腰三角形的顶角度数为______.
13.综合与探究：爱思考的小明在学习过程中，发现课本有一道习题，他在思考过程中，对习题做了一定变式，让我们来一起看一下吧.在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P.
(1)如图1，如果∠A=80∘，那么∠BPC=______ ∘；
(2)如图1，请猜想∠A与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，作△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC的数量关系.
14.已知△ABC和△ADE都是以点A为直角顶点的直角三角形且AB=AC，AD=AE，点D是直线BC上的一动点(点D不与B，C重合)，连接CE.
(1)在图1中，当点D在边BC上时，求证：BC=CE+CD；
(2)在图2中，当点D在边BC的延长线上时，结论BC=CE+CD是否还成立？若不成立，请猜想BC，CE，CD之间存在的数量关系，并说明理由；
(3)在图3中，当点D在边BC的反向延长线上且点E在BC下方时，请直接写出BC，CE，CD之间存在的数量关系及直线CE与直线BC的位置关系.
三、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
(1)已知一个多边形的内角和等于1620∘，求这个多边形的边数.
(2)如图所示，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠ACD=∠B.求证：△CDB是直角三角形.
16.(本小题6分)
如图，点B、E、C、F在一条直线上，BC=EF，AB//DE，∠A=∠D.
求证：AC=DF.
17.(本小题6分)
已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图(保留作图痕迹，不写作法).
(1)在图1中，作出该图形的对称轴l.
(2)在图2中，E为OA上一点，在OC上作一点F，使得CF=AE.
18.(本小题6分)
如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE.
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，∠A=70∘，∠ABC=50∘.
(1)求∠C的度数；
(2)若∠BDE=30∘，DE//BC交AB于点E，判断△BDC的形状，并说明理由.
20.(本小题8分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1各顶点的坐标；
(2)将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2；
(3)观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某直线对称？若是，请用粗线条画出对称轴．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A=70∘.
(1)求∠ABD的度数；
(2)若CE平分∠ACB交BD于点E，∠BEC=120∘，求∠ACB的度数．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90∘，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF.
(1)求证：CF=EB.
(2)若AB=12，AF=8，求CF的长．
23.(本小题12分)
【课例改编】
数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，AD是△ABC的高，∠C=2∠B，若CD=2，AC=5，求BC的长.
小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将△ACD沿AD折叠，如图1，则点C刚好落在BC边上的点E处.…
(1)结合小明同学的想法，请直接写出：BC=______.
【改编拓展】
张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答：
(2)如图2，∠ACB=2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD有什么数量关系？请写出你的猜想并证明.
【模型应用】
根据上面探究构造全等模型的规律，请解答：
(3)如图3，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠D=2∠B，AD=8，DC=10，求AB的长.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的文字不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项C的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：由三角形三边关系定理得：5-3即2即选项中符合题意的a的值只有4，
故选：C.
根据三角形三边关系定理得出5-3本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出5-33.【答案】A
【解析】解：如图，
由题可得∠2=180∘-30∘-45∘=105∘，
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2，
∴∠1=105∘，
故选：A.
根据直角三角板的度数及三角形内角和定理求出∠2，再根据对顶角相等可得∠1的度数．
本题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为180∘.
4.【答案】B
【解析】解：在△ABO和△DCO中，
OA=OD∠AOB=∠DOCOB=OC，
∴△ABO≌△DCO(SAS)，
故选：B.
根据全等三角形的判定定理SAS求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：作DE⊥AB，如图所示：
∵∠C=90∘，AD是∠BAC的角平分线，CD=3，
∴DE=CD=3，
∵AB=8，
∴△ABD的面积=12×AB×DE=12，
故选：A.
作DE⊥AB，可得DE=CD=3，据此即可求解．
本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：作点M关于直线a的对称点M'，连接M'N交直线a于O.
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，所需管道最短．
故选：C.
利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
7.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：由题意可知，石城县兴隆大桥斜拉索桥结构稳固所蕴含的数学道理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形的稳定性作答即可．
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性的应用是解题的关键．
8.【答案】1260
【解析】解：正九边形的内角和为180∘×(9-2)=1260∘，
故答案为：1260.
根据正多边形的内角和公式：180∘(n-2)，代入数据即可得出答案．
本题考查了求正多边形内角和问题．解题的关键是掌握多边形内角和定理．
9.【答案】140
【解析】解：在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180∘，
∵∠A=100∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘-100∘=80∘，
即∠1+∠2+∠3+∠4=80∘，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠2+2∠4=80∘，
∴∠2+∠4=40∘，
在△BPC中，∠BPC+∠2+∠4=180∘，
∴∠BPC=140∘，
故答案为：140.
在△ABC中先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据已知∠1=∠2，∠3=∠4得出∠2+∠4=40∘，在△BPC中根据三角形内角和定理求出∠BPC的度数即可．
本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角的和是180∘是解题的关键．
10.【答案】20
【解析】解：∵AB=AC，AB=12，
∴AC=12，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴EB+EC=EA+EC=AC；
∴△BCE的周长=EB+EC+BC=AC+BC=12+8=20；
故答案为：20.
证明EA=EB，EB+EC=AC，即可解决问题．
该题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的内容，并能灵活运用．
11.【答案】4
【解析】解：∵点A(2,-m+1)与点B(n+1,0)关于y轴对称，
∴n+1=-2，-m+1=0，
∴m=1，n=-3，
∴m-n=1-(-3)=4.
故答案为：4.
根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到关于m，n的方程，求解后代入式子即可解答．
本题主要考查关于坐标轴对称的点的坐标特点，解一元一次方程，正确记忆相关知识点是解题关键．
12.【答案】40∘或140∘
【解析】解：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图1，
∵∠ABD=50∘，BD⊥AC，
∴∠A=90∘-50∘=40∘，
∴三角形的顶角为40∘；
②当等腰三角形为钝角三角形时，如图2，
∵∠ABD=50∘，BD⊥AC，
∴∠BAD=90∘-50∘=40∘，
∵∠BAD+∠BAC=180∘，
∴∠BAC=140∘
∴三角形的顶角为140∘，
故答案为40∘或140∘.
本题要分情况讨论：等腰三角形的顶角是钝角或者是锐角两种情况．
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
13.【答案】130
【解析】解：(1)∵∠A=80∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘-∠A=180∘-80∘=100∘，
∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠BPC=180∘-(∠PBC+∠PCB)
=180∘-(12∠ABC+12∠ACB)
=180∘-12(∠ABC+∠ACB)
=180∘-12×100∘
=130∘；
故答案为：130；
(2)∠BPC=90∘+12∠A，理由如下：
∵∠ABC+∠ACB=180∘-∠A，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACB的平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠BPC=180∘-(∠PBC+∠PCB)
=180∘-12(∠ABC+∠ACB)
=180∘-12(180∘-∠A)
=90∘+12∠A；
(3)∵△ABC的外角∠MBC，∠NCB的平分线交于点Q，
∴∠QBC=12∠MBC，∠QCB=12∠NCB.
∴∠Q=180∘-(∠QBC+∠QCB)
=180∘-12(∠MBC+∠NCB)
=180∘-12(180∘-∠ABC+180∘-∠ACB)
=12(∠ABC+∠ACB)
=12(180∘-∠A)
=90∘-12∠A，
∵∠BPC=180∘-(∠PBC+∠PCB)
=180∘-12(∠ABC+∠ACB)
=180∘-12(180∘-∠A)
=90∘+12∠A，
∴∠Q+∠BPC=180∘.
(1)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
(2)运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
(3)根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解．
本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识，灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
14.【答案】(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∴BC=BD+CD=CE+CD；
(2)解：不成立，存在的数量关系为CE=BC+CD.理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，
∵BD=BC+CD，
∴CE=BC+CD；理由如下：
(3)解：存在的数量关系为CD=BC+EC，位置关系为CE⊥BC；
如图3，
∵∠BAC=∠DAE=90∘，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∴CD=BC+BD=BC+CE.
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABC=∠ACB=45∘，
∴∠ABD=∠ACE=135∘，
∴∠DCE=135∘-45∘=90∘，
∴CE⊥BC.
【解析】(1)求出∠BAD=∠CAE，证明△ABD≌△ACE(SAS)，根据全等三角形的性质可得结论；
(2)求出∠BAD=∠CAE，证明△ABD≌△ACE(SAS)，根据全等三角形的性质可得结论；
(3)如图3，求出∠BAD=∠CAE，证明△ABD≌△ACE(SAS)，根据全等三角形的性质可得CD=BC+BD=BC+CE，然后由△ABC是等腰直角三角形可得∠ABC=∠ACB=45∘，∠ABD=∠ACE=135∘，进而求出∠DCE=90∘即可得出结论．
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
15.【答案】(1)解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：(n-2)⋅180∘=1620∘，
解得n=11.
即这个多边形的边数为11.
(2)证明：∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠DCB=90∘，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90∘，
∴△CDB是直角三角形．
【解析】(1)根据多边形内角和公式列方程求解即可；
(2)在△ABC中，已知∠ACB=90∘，∠ACD=∠B，等量代换可证△CDB是直角三角形．
本题考查了多边形内角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式是解题关键．
16.【答案】证明：如右图所示，
∵AB//DE，
∴∠ABC=∠DEF，
又∵∠A=∠D，BC=EF，
∴△ABC≌△DEF，
∴AC=DF.
【解析】先根据AB//DE，利用两直线平行，同位角相等，可得∠ABC=∠DEF，再结合∠A=∠D，BC=EF，利用AAS可证△ABC≌△DEF，从而有AC=DF.
本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明△ABC≌△DEF.
17.【答案】解：(1)如图1，直线l为所求作．
(2)如图2，点F为所求作．

【解析】(1)连接两组对应点，进而交点连接即可；
(2)连接两组对应点，进而交点连接，找到对称轴，再通过对称轴找到相应的对称点即可．
本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】证明：在△ABD与△ACD中，
AB=ACBD=DCAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ABE与△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CADAE=AE，
∴△ABE≌△ACE(SAS)，
∴BE=CE
【解析】先根据SSS证明△ABD与△ACD全等，再利用SAS证明△ABE与△ACE全等，进而得出BE=CE.
本题考查全等三角形的判定和性质，解答本题的关键根据SSS证明△ABD与△ACD全等．
19.【答案】解：(1)∵∠A=70∘，∠ABC=50∘，
∴∠C=180∘-∠A-∠ABC
=180∘-70∘-50∘
=60∘；
(2)△BDC为直角三角形，理由：
∵DE//BC，∠BDE=30∘，
∴∠CBD=∠BDE=30∘，
由(1)得∠C=60∘，
∴∠BDC=180∘-∠CBD-∠C=180∘-30∘-60∘=90∘，
∴△BDC为直角三角形．
【解析】(1)在△ABC中根据三角形三个内角的和是180∘即可求出∠C的度数；
(2)先求出∠CBD=30∘，结合(1)中的结论即可求出∠BDC=90∘，从而判断出△BDC的形状．
本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和是180∘是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)；
(2)如图所示；
(3)由图可知，△A1B1C1和△A2B2C2是关于某直线x=3对称．
【解析】(1)根据关于y轴对称的点的坐标特点画出△A1B1C1，并写出各点坐标即可；
(2)根据图形平移的性质画出平移后的△A2B2C2；
(3)根据两三角形的位置即可得出对称轴．
本题考查的是作图，轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
21.【答案】解：(1)在△ABC中，
∵BD是AC边上的高，
∴∠ADB=∠BDC=90∘，
∵∠A=70∘，
∴∠ABD=180∘-∠BDA-∠A=20∘；
(2)在△EDC中，
∵∠BEC=∠BDC+∠DCE，且∠BEC=120∘，∠BDC=90∘，
∴∠DCE=30∘，
∵CE平分∠ACB，
∴∠DCB=2∠DCE=60∘，
∴∠ACB=60∘.
【解析】(1)根据高的定义求得∠ADB为直角，结合∠A=70∘即可求出∠ABD的度数；
(2)首先根据外角的性质求出∠DCE的度数，再结合角平分线的定义求出∠DBC的度数，进而求出∠ABC的度数．
本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180∘，此题难度不大．
22.【答案】(1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，DE⊥AB于E，
∴DE=DC.
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
DF=DBDC=DE，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴CF=EB.
(2)解：设CF=x，则AE=12-x，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴CD=DE.
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∵AD=ADCD=ED，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，即8+x=12-x，
解得x=2，即CF=2.
【解析】(1)根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离=点D到AC的距离即DE=CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，从而得出CF=EB；
(2)设CF=x，则AE=12-x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．
本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
23.【答案】9
【解析】解：(1)如图1，将△ABC沿AD折叠，则点C刚好落在BC边上的点E处，
由折叠的性质可得：AC=AE=5，DE=CD=2，∠C=∠AED，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，
∵∠AED=∠B+∠BAE，
∴∠B=∠BAE，
∴BE=AE=5，
∴BC=BE+DE+CD=5+2+2=9，
故答案为：9；
(2)AB+AC=CD.
证明：如图2，在AF上截取AG=AC，连接DG，
，
∵AD平分∠CAF，
∴∠CAD=∠GAD，
在△CAD和△GAD中，
AG=AC∠CAD=∠GADAD=AD，
∴△CAD≌△GAD(SAS)，
∴CD=GD，∠ACD=∠AGD，
∵∠ACD+∠ACB=180∘，∠AGD+∠DGF=180∘，
∴∠ACB=∠DGF，
∵∠ACB=2∠B，
∴∠DGF=2∠B，
∵∠DGF=∠B+∠BDG，
∴∠B=∠BDG，
∴BG=DG，
∴BA+AG=BG=DG=CD，
∴AB+AC=CD；
(3)如图3，在AB上截取AH=AD，连接CH，
∵AC平分∠BAD，
∴∠HAC=∠DAC，
在△CAH和△CAD中，
AH=AD∠HAC=DACAC=AC，
∴△CAH≌△CAD(SAS)，
∴∠D=∠CHA，CD=CH，
∴BH=CH=CD=10，
∵AH=AD=8，
∴AB=18.
(1)根据题意画出图形，由折叠的性质可得：AC=AE=5，DE=CD=2，∠C=∠AED，由∠C=2∠B可得∠AED=2∠B，再由三角形外角的定义及性质可得∠AED=∠B+∠BAE，推出∠B=∠BAE，进而得到BE=AE=5，最后进行计算即可得到答案；
(2)在AF上截取AG=AC，连接DG，证明△CAD≌△GAD得到CD=GD，∠ACD=∠AGD，证明∠ACB=∠DGF，再由∠ACB=2∠B得到∠DGF=2∠B，再根据三角形外角的定义及性质得出∠B=∠BDG，进而得到BG=DG，即可得证；
(3)在AB上截取AH=AD，连接CH，证明△CAH≌△CAD(SAS)，得到∠D=∠CHA，CD=CH，进而得到BH=CH=CD=10，AH=AD=8，推导出AB=18.
本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．