数学人教版第四章 三角函数三角函数练习

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A．B．C．D．
【答案】C
【解析】．故选：C．
2．（2023新疆）下列命题：①钝角是第二象限的角；②小于的角是锐角；③第一象限的角一定不是负角；④第二象限的角一定大于第一象限的角；⑤手表时针走过小时，时针转过的角度为；⑥若，则是第四象限角.其中正确的命题的个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】①因为大于小于的角为钝角，所以钝角的终边在第二象限，钝角是第二象限的角对；
②小于的角包含负角，负角不是锐角，所以小于的角是锐角错；
③是第一象限角，所以第一象限角一定不是负角错；
④是第二象限角，是第一象限角，，所以第二象限角一定大于第一象限角错；
⑤因为时针顺时针旋转，所以针转过的角为负角，，⑤错；
⑥，且，即，所以是第四象限角错.
故正确的命题只有①，
故选：A.
3．（2022·天津）已知，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，故可得：.
原式.
故选：B.
4．（2023西藏）已知函数，，，的部分图象如图所示，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【解析】由图象可知，，则
，得，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，
所以，
所以，
故选：B
5．（2023春·江苏宿迁·高一校考期中）已知，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，则，
则，
故选：．
6．（2023春·山东淄博·高一校考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，最后得到函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度后，
得到的图象的解析式为，
再将横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到，
故选：A
7．（2022秋·河南周口 ）函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象的对称轴为直线
D．函数的单调递增区间为
【答案】D
【解析】 由图象可知
，，∴，
则.将点的坐标代入中，整理得，
∴，即；，
∴，∴.
∵将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，
∴.，
∴既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；
∴的最小正周期，故B不正确.
令，解得，
则函数图像的对称轴为直线.故C错误；
由，可得，
∴函数的单调递增区间为.故D正确；故选：D.
8．（2023春·陕西西安 ）已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，所以函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中､是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且.
故选：C.
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2023秋·四川绵阳 ）已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，则下列描述中正确的是（ ）．
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的最小正周期为2
C．函数的单调增区间为，
D．函数的图象没有对称轴
【答案】ABD
【解析】将函数的图象向左平移个单位长度可得函数，
然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数，
令解得，当时，
所以函数的图象关于点成中心对称，A正确；
函数的最小正周期为，B正确；
令解得，
所以函数的单调增区间为，，C错误；
正切函数不是轴对称图形，D正确，
故选:ABD.
10．（2022秋·广东佛山 ）函数的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．对任意的都有
D．在区间上的零点之和为
【答案】AB
【解析】由题图可知函数的最小正周期为，则，
所以，，把代入得，则，得，
，，则AB选项均正确；
，当时，，不满足对任意的都有，C错误；
，，
则共有个零点，不妨设为、、、，且，
则，，
两式相加，整理得，
故的所有零点之和为，D错误，
故选：AB.
11．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知某扇形的圆心角为，半径为5，则（ ）
A．该扇形的弧长为B．该扇形的弧长为
C．该扇形的面积为D．该扇形的面积为
【答案】AD
【解析】由题意得该扇形的弧长为，面积为，
故A，D正确，B，C错误，
故选：AD
12．（2023秋·山东菏泽 ）小夏同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘（图1）产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图2所示，在扇形中，，，则（ ）
A．B．弧长
C．扇形的周长为D．扇形的面积为
【答案】BC
【解析】，所以A错；
弧长，所以B对；
扇形的周长为，所以C对；
面积为，所以D错；
故选：BC
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2023秋·上海静安）设为第二象限角，若，则 .
【答案】/
【解析】为第二象限角，则，，
若，则有，解得，
所以.
故答案为：.
14．（2023秋·广西百色 ）函数在上恰有个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】，
当时，，
在上恰有个零点，，解得：，
即的取值范围为.
故答案为：.
15．（2023秋·四川眉山 ）设函数，有下列结论：
①的图象关于点中心对称；
②的图象关于直线对称；
③在上单调递减；
④在上最小值为，
其中所有正确的结论是 ．
【答案】②③
【解析】
，
当时，，则的图象关于点中心对称，故①错误；
当时，，则的图象关于直线对称，故②正确；
由，得，
当即时，函数单调递减，
则当时，函数单调递减，故③正确；
当时，，可知函数在上单调递增，
∴的最小值为，故④错误．
故答案为：②③．
16．（2023春·四川达州·高一四川省万源中学校考阶段练习）将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），再向左移动个单位得到函数的图象，若，且，则= .
【答案】
【解析】将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍（纵坐标不变），得到，
再向左移动个单位，可得：，
因为，则，且直线为的对称轴，
又因为，则，可得，
所以.
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2023春·广东佛山·高一佛山市三水区三水中学校考阶段练习）已知．
(1)若角的终边过点，求；
(2)若，分别求和的值．
【答案】(1)
(2)3；
【解析】（1），
若角的终边过点，则，
则；
（2）若，可得，所以，
所以，
．
18．（2022·高一课时练习）已知下列三个条件：①函数为奇函数；②当时，；③是函数的一个零点．从这三个条件中任选一个填在下面的横线处，并解答下列问题．
已知函数，______．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在上的单调递增区间．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)，
【解析】（1）选择条件①．
∵为奇函数，
∴，解得，．
∵，∴，∴；
选条件②．
，∴，
∴，或，，
∵，∴，∴
选条件③．
（1）∵是函数的一个零点，
∴，∴，．
∵，∴，∴.
（2）由，，得，，
令，得，令，得，
∴函数在上的单调递增区间为，．
19．（2022秋·河南郑州·高一校考期末）已知函数（其中），若点是函数图象的一个对称中心.
(1)求的解析式，并求距轴最近的一条对称轴的方程；
(2)先列表，再作出函数在区间上的图象.
【答案】(1)，函数的图象距轴最近的一条对称轴的方程为；
(2)答案见解析.
【解析】1）解：
，
点是函数图象的一个对称中心，
则，，，，
，则，，故，
由得，
令，得函数图象距轴最近的一条对称轴方程为.
（2）解：由（1）知，，当时，，列表如下：
则函数在区间上的图象如图所示.
20．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．
(1)根据以上数据，求出函数的表达式；
(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为米，安全条例规定至少要有米的安全间隙(船底与洋底的距离)，该船在一天内何时能进入港口？
【答案】(1)
(2)该船可以在或进入港口
【解析】（1），，，；
的最小正周期，；
，，解得：，
又，，.
（2）由题意知：，即，
，，解得：，
，或，
该船可以在或进入港口.
21．（2023春·山西晋城·高一晋城市第一中学校校考阶段练习）已知函数.
（1）已知，求的值；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）
，
，
.
（2）当时，，可得，
由，不等式可化为
，有.
令，，则，
若不等式恒成立，则等价于，解得：.
故实数的取值范围为.
22．（2022春·甘肃临夏·高一校考期中）已知函数.
（1）求的最小正周期和的单调递减区间；
（2）当时，求函数的最小值及取得最小值时x的值.
【答案】（1）π；；（2）当时，函数取得最小值，最小值为．
【解析】（1），
所以，函数的最小正周期为.
由，可得，
函数的对称中心为；
解不等式，解得.
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，，
当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．
时刻
水深(米)