人教版第一册下册第四章 三角函数三角函数课后复习题

这是一份人教版第一册下册第四章 三角函数三角函数课后复习题，共20页。

A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】因为角终边上一点M的坐标为,所以,
.
故选:B.
2．（2023秋·陕西汉中 ）已知角是第一象限角，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为角是第一象限角，，
所以，
所以.
故选：B
3．（2023秋·江苏盐城·高一校联考期末）要得到函数的图象，只需将的图象上所有的点（ ）
A．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
B．横坐标变为原来的（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移个单位长度
【答案】C
【解析】因为，将的图象上所有的点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到，
再向左平移个单位长度得，即得到函数的图象.
故选：C
4．（2023·云南）已知函数的部分图象如图所示，把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）

A．为偶函数
B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称
D．在区间上单调递减
【答案】B
【解析】观察图象知，，，则，而，于是，
函数的周期满足：，即，解得，
又，即有，而，于是，
因此，所以，
把函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，
则，所以，
显然函数为非奇非偶函数，故A错误；
的最小正周期，故B正确；
因为，所以的图象不关于直线对称，故C错误；
当时，，而正弦函数在上单调递增，在上单调递减，
则的图象不单调，故D错误.
故选：B
5．（2023秋·湖南益阳 ）已知函数，则下列结论成立的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称
C．的最小值与最大值之和为0D．在上单调递增
【答案】B
【解析】对于,的最小正周期为,故错误；
对于，2为最大值，
所以的图象关于直线对称，故正确；
对于依据函数解析式得故错误；
对于令，解得
令，得的一个增区间为，
故在上为减函数，在上为增函数，故错误.
故选：
6．（2023秋·四川成都 ）若函数，的值域为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，解得：或，，
令，解得：，，
当，时，则，，
此时的最小值为；
当，时，则，，
此时的最小值为；
故选：C．
7．（2023春·陕西西安 ）已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】函数，
将函数的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的倍，得的图象；
再把所得图象向上平移个单位，得函数的图象，所以函数的值域为.
若，则且，均为函数的最大值，
由，解得；
其中､是三角函数最高点的横坐标，
的值为函数的最小正周期的整数倍，且.
故选：C.
8．（2023春·重庆沙坪坝）已知函数若把的图象上每个点的横坐标缩短为原来的倍后，再将图象向右平移个单位，可以得到，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的周期为π
C．的一个单调递增区间为
D．在区间上有5个不同的解，则的取值范围为
【答案】ABD
【解析】横向压缩得，；
再右移个单位得，，
∴
又，∴故A选项正确；
∴，
∴周期，故B选项正确；
由得，故C选项错误；
在区间上有5个不同的解，由函数图象可知，区间的长度大于两个周期，小于等于3个周期，故，故D选项正确.
故选：ABD.
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2023秋·湖南长沙 ）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．的图像关于点对称；
B．的图像关于直线对称；
C．将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到余弦函数的图象；
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是.
【答案】BCD
【解析】由函数的图象，可得，
可得，所以，所以，
又由，可得，解得，
因为，所以，所以，
对于A中，当时，可得，所以不是函数的对称中心，所以A错误；
对于B中，当时，可得，所以函数的图像关于直线对称，所以B正确；
对于C中，将函数图象上所有点横坐标伸长为原来的2倍，将纵坐标缩短为原来的一半，
可得，再把的图象向左平移个单位长度，可得函数，所以C正确；
对于D中，当，可得，
当，即时，函数单调递减；
当，即时，函数单调递增，
又由，
所以方程在上有两个不相等的实数根时，的取值范围是，所以D正确.
故选：BCD.
10．（2023秋·江西南昌·高一校考开学考试）函数的部分图像如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．的最小正周期是B．是奇函数.
C．在上单调递增D．直线是曲线的一条对称轴
【答案】BC
【解析】由函数图像可得，，
最小正周期，，，
则，
又由题意可知当时，，
即，则，
故，所以.
的最小正周期是，A选项正确；
，是偶函数，B选项错误；
时，，是正弦函数的单调递减区间，C选项错误；
由，得曲线的对称轴方程为，
当时，得直线是曲线的一条对称轴，D选项正确；
选项中错误的说法是BC.
故选：BC
11．（2023春·浙江温州·高一校联考期中）关于函数，其中，下列命题正确的是（ ）
A．若，则对，若满足，则必有成立；
B．若，在区间上单调递减；
C．若，函数的图象关于点成中心对称；
D．将函数的图象向右平移个单位后与的图象重合，则有最小值1．
【答案】ACD
【解析】若，则
对于A，对，若满足，
则
，故A正确；
对B，，，
而正弦函数在上单调递增，
因此函数在上单调递增，故B错误；
对于C，显然，所以函数的图象关于点成中心对称，故C正确；
对于D，依题意，，将其向右平移个单位得
于是得，，
则，且，则，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】对于A，，而余弦函数在上单调递增，则，A错误；
对于B，，余弦函数随锐角的增大而减小，
则有，即，B正确；
对于C，，，
正弦函数在上单调递减，因此，C正确；
对于D，由，得，D错误.
故选：BC
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2023秋·高一课时练习）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢)．弧田是由圆弧及其所对的弦所围成．公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积最接近的整数是 ．
【答案】9
【解析】设弧田的圆心为，弦为，为中点，连交弧于，如图所示，
由题意可得∠AOB＝，OA＝4，
在Rt△AOC中，易得∠AOC＝，∠CAO＝，
OC＝OA＝，可得矢＝4－2＝2，
由AC＝OA＝，可得弦AB＝2AC＝，
所以弧田面积＝×()＝，
因为，则，从而，
因此，所得弧田面积最接近的整数是9.
故答案为：9.
14．（2023春·上海奉贤·高一上海市奉贤中学校考期中）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着顺时针滚刓，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论：
①一个周期是6；②完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆；③完成一个周期，顶点的轨迹长度是；④完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是；其中说法正确的是 .
【答案】①③
【解析】如下图：
沿着轴顺时针滚动完成一个周期的过程如下：
第一步，绕点顺时针旋转至线段落到轴上位置，
得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，
为半径的一段圆弧，
即顶点由原点沿运动至位置；
第二步，绕点顺时针旋转至线段落在轴上位置，
得到，此时顶点的轨迹是以为圆心，
为半行的一段圆弧，
即顶点由沿运动至位置，落到轴，完成一个周期.
对于①，，
所以一个周期，故①正确：
对于②，完成一个周期，顶点的轨迹是和组成的曲线，
不是半圆，故②错误；
对于③，由已知，
的㧓长，
的弧长，
完成一个周期，顶点的轨迹长度为，
故③正确；
如图④，完成一个周期，顶点的轨迹与软围成的图形为扇形
，扇形与的面积和，
，
，
等边边长为，
完成个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是：
，
故④错误.
故答案为：①③.
15．（2023春·上海松江·高一上海市松江一中校考阶段练习）若，则 .
【答案】
【解析】解：因为，
所以，
因为，所以，所以，因为，所以
所以
故答案为：
16．（2022春·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考期中）已知，点为角终边上的一点，且，则角 ．
【答案】．
【解析】∵，∴，
∴，．
又，∴．
∵，∴，
∴，
∴
．
∵，∴．
故答案为：.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022·高一课时练习）已知函数（，）图象的一条对称轴为直线，这条对称轴与相邻对称中心之间的距离为．
(1)求；
(2)求在上的值域．
【答案】(1)；
(2)
【解析】（1）因为函数图象的对称轴与相邻对称中心之间的距离为，
所以，故，
又的图象的一条对称轴方程为，则，，即，，
又，所以，
故；
（2）因为，所以，
所以，所以，
故在上的值域为
18．（2022秋·河南郑州·高一校考期末）已知函数（其中），若点是函数图象的一个对称中心.
(1)求的解析式，并求距轴最近的一条对称轴的方程；
(2)先列表，再作出函数在区间上的图象.
【答案】(1)，函数的图象距轴最近的一条对称轴的方程为；
(2)答案见解析.
【解析】（1）解：
，
点是函数图象的一个对称中心，
则，，，，
，则，，故，
由得，
令，得函数图象距轴最近的一条对称轴方程为.
（2）解：由（1）知，，当时，，列表如下：
则函数在区间上的图象如图所示.
19．（2023天津）设函数，.
（1）求的最小正周期和对称中心；
（2）若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，求函数在区间上的值域.
【答案】（1）的最小正周期为，对称中心为；（2）.
【解析】（1）
令，解得，
所以的最小正周期为，对称中心为；
（2）函数的图像向左平移个单位得到函数，
令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，
所以函数在区间上的值域为.
20．（2022秋·高一单元测试）一半径为米的水轮如图所示，水轮圆心距离水面米；已知水轮按逆时针做匀速转动，每秒转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间.
（1）以水轮所在平面与水面的交线为轴，以过点且与水面垂直的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点距离水面的高度（单位：米）表示为时间（单位：秒）的函数；
（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点距水面的高度超过米？
【答案】（1）；（2）有时间点距水面的高度超过米.
【解析】（1）设水轮上圆心正右侧点为，轴与水面交点为，如图所示：
设，由，，可得，所以.
，，，
由题意可知，函数的最小正周期为，，
所以点距离水面的高度关于时间的函数为；
（2）由，得，
令，则，
由，解得，又，
所以在水轮转动的任意一圈内，有时间点距水面的高度超过米.
21．（2022·高一课时练习）已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式.
(2)若是的零点，是否存在实数，使得在上单调？若存在，求出的取值集合；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在实数，使得在上单调，且的取值集合为
【解析】（1）因为的最小正周期为，所以.
因为，所以.
因为的图象关于直线对称，所以，，
即，.因为，所以.
故.
（2）因为为的零点，为图象的对称轴，
所以①，②，，.
得，所以.
因为，，所以，即为正奇数.
因为在上单调，所以，即，解得.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递增，在上单调递减，
故在上不单调，不符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
当时，，.
因为，所以，此时.
令，.
在上单调递减，
故在上单调，符合题意.
综上，存在实数，使得在上单调，且的取值集合为.
22．（2023春·全国·高一专题练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.
(1)求的解析式与单调递减区间；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.
【答案】(1)，递减区间为，
(2)
【解析】（1）由题意，
图象的相邻两对称轴间的距离为，
的最小正周期为，即可得，
又为奇函数，则，，
又，，故，
令，得
函数的递减区间为，
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
又，则或，
即或.
令，当时，，
画出的图象如图所示：
有两个根,关于对称，即,
有,
在上有两个不同的根，,；
又的根为，
所以方程在内所有根的和为.