高一上学期期中考测试卷（基础）（原卷版）2024-2025学年高一数学必修第一册（人教版）同步讲练

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A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】解得或，命题“，”为全称命题，所以其否定是“，”，故选：D.
2．（2023·江苏连云港 ）设，则“”是“关于x的方程有实数根”的（ ）
A．充分条件B．必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为关于x的方程有实数根，
所以该方程的判别式，
显然由能推出，但是由不一定能推出，
所以“”是“关于x的方程有实数根”的充分条件，
故选：A
3．（2023秋·四川成都 ）设集合，若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【解析】因为，所以.故选：B
4．（2023秋·全国·高一期中）已知不等式，对任意实数都成立，则的取值范围（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【解析】①当时，不等式成立，∴；
②当时，则有，解得；综上，．故选：B．
5．（2023秋·湖南株洲）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，，且，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以，因为恒成立，所以，
即，解得，所以实数的取值范围是.
故选：C
6．（2022秋·吉林长春 ）若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，解得，
所以实数a的取值范围为.
故选：A.
7．（2022秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）函数的值域为（ ）
A．[0,1）B．C．D．
【答案】D
【解析】令，则，
可得，
且开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，
可知当时，取到最小值2，
所以的值域为，即函数的值域为.
故选：D.
8．（2023·全国·高一随堂练习）向一个圆台形的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度y随时间t变化的函数为，则以下函数图像中，可能是的图像的是（ ）①．①本章导语中向容器中倒水的问题的答案与此题的答案类似．

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，
故函数的图象越来越平缓.
故选：D.
二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。4题共20分）
9．（2023秋·四川成都）若集合，且，则实数的取值为（ ）
A．0B．1
C．3D．
【答案】ABD
【解析】，又，
当，则，
当，则，
当，则．
故选：
10．（2023秋·四川雅安）当时，不等式恒成立，则m的范围可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】因为时，不等式恒成立，
所以时，不等式恒成立，
令，由对勾函数的性质得在上递减，
所以，则，
所以，
所以m的范围可以是，，
故选：AB
11．（2023秋·黑龙江哈尔滨 ）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BD
【解析】A选项，，，故两函数不是同一函数，A错误；
B选项，，，故两函数为同一函数，B正确；
C选项，的定义域为R，的定义域为，故两函数不是同一函数，C错误；
D选项，的定义域为，且，
的定义域为，且，
故两函数是同一函数，D正确.
故选：BD
12．（2022秋·湖北黄冈·高一校考期中）关于函数，正确的说法是（ ）
A．与x轴有一个交点B．的定义域为
C．在单调递增D．的图象关于点对称
【答案】ABD
【解析】，作出函数图象如图：

由图象可知，函数只有一个零点，定义域为，
在上单调递减，图象关于对称，
故C错误，
故选：ABD．
三、填空题(每题5分，4题共20分)
13．（2023秋·海南海口）已知，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为，
所以，
得.
故答案为：
14．（2023秋·上海静安 ）设不等式对一切都成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】时，不等式不满足对一切都成立，则，
不等式对一切都成立，
则有，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：
15．（2023秋·黑龙江哈尔滨· ）已知是奇函数，且其定义域为，则的值为 .
【答案】
【解析】因为该函数是奇函数，
所以，
此时，显然为奇函数，
故答案为：
16．（2023秋·江苏常州 ）已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】若对任意的，总存在，使成立，
只需在区间函数的值域为函数的值域的子集，
因为函数，所以函数在上单调递减，所以函数的值域为．
对函数，．
①当时，为常数，不符合题意，舍去；
②当时，的值域为，此时只需，解得；
③当时，的值域为，不符合题意，舍去．
综上，m的取值范围为．
故答案为：
四、解答题（17题10分，其余每题12分，6题共70分）
17．（2022秋·福建福州）设集合，非空集合．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题意得．
．
即
化简得：
解得：，
检验：当，，满足
当，，满足
，
（2），故
①当为单元素集，则，即，得，
当，，舍；当，符合．
②当为双元素集，则则有，无解
综上：实数的取值范围为
18．（2023·高一课时练习）解下列关于x的不等式
(1)；
(2)；
(3)；
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【解析】（1）解：因为，即，
所以，解得
∴原不等式的解集为.
（2）解：因为，
若，即，解得或，
当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；
当时，原不等式即为，所以原不等式的解集为；
当，即，解得时，所以原不等式的解集为；
当，即，解得或时，方程有两不相等实数根、，由，解得或，所以原不等式的解集为；
（3）解：因为，即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
19．（2023·高一单元测试）某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为米，一堵砖墙长为米.
求：（1）写出与的关系式；
（2）求出仓库面积的最大允许值是多少？为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
【答案】（1）；（2）面积的最大允许值是平方米，此时正面铁棚应设计为米.
【解析】 （1）由于铁栅长为米，一堵砖墙长为米，由题意可得，
即，解得，
由于且，可得，
所以，与的关系式为；
（2），
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，仓库面积的最大允许值是平方米，此时正面铁棚应设计为米.
20．（2022秋·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知函数是定义在R上的增函数，满足
(1)求的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)若，求x的取值范围.
【答案】(1)0；
(2)奇函数，证明见解析；
(3).
【解析】（1）依题意，，，令，则，
所以.
（2）函数是奇函数.
函数的定义域为R，，令，，
即，所以函数为奇函数.
（3）由，得，又，
因此不等式，而函数是R上的增函数，
则有，解得，
所以x的取值范围是.
21．（2023湖北）已知是定义在R上的偶函数，且当时，.
(1)求的解析式；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解析】（1）当时，，
，
所以；
（2）当时，，
因此当时，该函数单调递增，
因为是定义在R上的偶函数，且当时，该函数单调递增，
所以由等价于，
所以，
因此，
即，解得或，
所以实数的取值范围是或.
22．（2023湖南）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围；
（3）若，，为正实数，且的最大值等于，求实数的值.
【答案】(1) 见解析； (2)；(3).
【解析】(1)
当时，的解集为；
当时，的解集为；
当时，无实数解.
(2) 当时，，
对任意，恒成立.
当时，函数图象开口向上，
若对任意，恒成立，只需
，即，.
故当时，对任意，恒成立.
当时，对任意，，，
恒成立.
综上可知，实数的取值范围为.
(3) 若，，为正实数，则由基本不等式得，
，，
两式相加得，，
变形得，当且仅当且时等号成立.
所以，即，.