2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之勾股定理的应用

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A．317B．20C．15D．92
2．（2023秋•槐荫区期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm
3．（2023秋•万州区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
A．10cmB．4cmC．17cmD．5cm
4．（2024春•澄海区期末）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．2B．3C．5D．2
5．（2023秋•陵水县期末）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8mB．10mC．12mD．15m
二．填空题（共5小题）
6．（2024春•永川区期中）如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 cm．
7．（2024•德城区校级开学）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
8．（2024春•绥阳县校级月考）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米．
9．（2024春•西华县校级月考）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为12cm，底面的周长为16cm，点A位于盒外底面的边缘．如果A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是 cm．
10．（2024春•金寨县期末）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝56cm，且与闸机侧立面夹角．∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为 cm．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•新宾县期末）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长55km，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（假设绳子是直的，结果保留根号）
（1）若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少m？
（2）若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
12．（2024春•南丹县期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得CB=13千米，CH＝3千米，HB＝2千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
13．（2024春•瑞金市期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
14．（2024春•平南县期末）如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．
15．（2024春•铁东区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之勾股定理的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024春•梁山县校级月考）华表柱是一种中国传统建筑形式，天安门前耸立着高大的汉白玉华表，每根华表重约20000公斤，如图，在底面周长约为3米带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底向柱顶（从A点到B点）均匀地盘绕3圈，每根华表刻有雕龙部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙至少（ ）米．
A．317B．20C．15D．92
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】C
【分析】在圆柱的展开图中，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成了直角三角形，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘3便是答案．
【解答】解：展开图：
12÷3＝4（米），
42+32=5（米），
5×3＝15（米），
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理在圆柱中的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
2．（2023秋•槐荫区期末）某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为∠BAF时，顶部边缘B处离桌面的高度BC为7cm，此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24cm，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为∠DAF时（D是B的对应点），顶部边缘D处到桌面的距离DE为20cm，则底部边缘A处与E之间的距离AE为（ ）
A．15cmB．18cmC．21cmD．24cm
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】A
【分析】勾股定理解Rt△ABC得出AB＝25cm，勾股定理解Rt△ADE即可求解．
【解答】解：依题意，AC＝24，BC＝7cm，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=25cm，
∵AB＝AD＝25，DE＝20，
在Rt△ADE中，AE=AD2−DE2=252−202=15cm，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
3．（2023秋•万州区期末）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
A．10cmB．4cmC．17cmD．5cm
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】矩形 菱形 正方形；空间观念；运算能力．
【答案】C
【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长，
【解答】解：如图，
它运动的最短路程AB=(2+2)2+(22)2=17（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出答案．
4．（2024春•澄海区期末）如图，一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是（ ）
A．2B．3C．5D．2
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【答案】C
【分析】把此正方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于棱长，另一条直角边长等于两条棱长，利用勾股定理可求得．
【解答】解：∵展开后由勾股定理得：AB2＝12+（1+1）2＝5，
∴AB=5．
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
5．（2023秋•陵水县期末）如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是（ ）
A．8mB．10mC．12mD．15m
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】C
【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．
【解答】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，
根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，
解得，x＝12．
即旗杆的高度为12米．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，正确运用勾股定理是解题关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春•永川区期中）如图，一圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是 10 cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AB，利用勾股定理求出AB的长即可．
【解答】解：如图所示：
连接AB，
∵圆柱高8cm，底面圆周长为12cm，
∴AC=12×12＝6cm，
在Rt△ABC中，
AB=AC2+BC2=62+82=10cm．
故答案为：10
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题的关键是画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理进行解答．
7．（2024•德城区校级开学）如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 2 cm．
【考点】勾股定理的应用；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
【解答】解：Rt△ACD中，AC=12AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD=AC2+CD2=5cm；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．
8．（2024春•绥阳县校级月考）如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 24 米．
【考点】勾股定理的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9＝24米．
【解答】解：因为AB＝9米，AC＝12米，
根据勾股定理得BC=92+122=15米，
于是折断前树的高度是15+9＝24米．
故答案为：24．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．
9．（2024春•西华县校级月考）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为12cm，底面的周长为16cm，点A位于盒外底面的边缘．如果A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，那么蚂蚁需要爬行的最短路程是 10 cm．
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【专题】平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】10．
【分析】把圆柱侧面展开，在Rt△ABD中，根据题意求得AD，BD长，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：把圆柱侧面展开，在Rt△ABD中，根据题意得AD=12×16＝8（cm），BD=12×12＝6（cm），
根据勾股定理，得AB=AD2+BD2=10（cm），
故答案为：10．
【点评】本题考查平面展开﹣最短路径，掌握圆柱侧面展开图是矩形是关键．
10．（2024春•金寨县期末）如图①是某市地铁入口的双闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝56cm，且与闸机侧立面夹角．∠PCA＝∠BDQ＝30°，求当双翼收起时，两机箱之间的宽度为 68 cm．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】68．
【分析】过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出BF与AE的长度，然后求出EF的长度即可得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥PC于点E，过点B作BF⊥QD于点F，如图②，
∵AC＝BD＝56cm，∠PCA＝∠BDQ＝30°，
∴AE=12AC=28cm，
由对称性可知：BF＝AE，
∴通过闸机的物体最大宽度为2AE+AB＝28×2+12＝68cm，
故答案为：68．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•新宾县期末）港珠澳大乔是一座连接香港，广东珠海和澳门的跨海大桥，总长55km，现有一艘游轮即将靠岸，当游轮到达B点后熄灭发动机，在离水面高度为5m的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（假设绳子是直的，结果保留根号）
（1）若工作人员以1.5m/s的速度收绳．4s后船移动到点D的位置，问此时游轮距离岸边还有多少m？
（2）若游轮熄灭发动机后保持0.8m/s的速度匀速靠岸，10s后船移动到E点，工作人员手中的绳子被收上来多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】（1）游轮距离岸边还有26m；
（2）绳子被收上来(13−41)m．
【分析】（1）在Rt△ABC中，运用勾股定理算出AB＝12，根据题意得出CD＝13﹣1.5×4＝7（m），再在Rt△ACD中运用勾股定理即可求解；
（2）根据勾股定理算出CE即可求解．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，
∴AB=132−52=12，
∵此人以1.5m/s的速度收绳，4s后船移动到点D的位置，
∴CD＝13﹣1.5×4＝7（m），
∴Rt△ACD中，AD=CD2−AC2=49−25=26m，
∴游轮距离岸边还有26m；
（2）由题知，AE＝AB﹣BE＝12﹣0.8×10＝4m，
∴CE=AC2+AE2=25+16=41m，
∴绳子被收上来(13−41)m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
12．（2024春•南丹县期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得CB=13千米，CH＝3千米，HB＝2千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，则CH⊥AB，根据垂线段最短可判断CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设AC＝x km，则AB＝x km，AH＝（x﹣1）km，则在Rt△ACH中利用勾股定理得到（x﹣1）2+22＝x2，解方程得到AC的长，然后计算AC﹣CH即可．
【解答】解：（1）CH是从村庄C到河边的最近路．
理由如下：
∵CB=13千米，CH＝3千米，HB＝2千米，
∴CB2＝CH2+HB2，
∴△BCH为直角三角形，∠BHC＝90°，
∴CH⊥AB，
∴CH为C点到AB的最短路线；
（2）设AC＝x km，则AB＝x km，AH＝（x﹣2）km，
在Rt△ACH中，（x﹣2）2+32＝x2，解得x=134，
即AC=134km，
∵AC﹣CH=134−3＝0.25（km），
答：新路CH比原路CA少0.25千米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，
13．（2024春•瑞金市期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD2＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+1.6＝21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）由题意得，CM＝12，
∴DM＝8，
∴BM=DM2+BD2=82+152=17（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝8（米），
∴他应该往回收线8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
14．（2024春•平南县期末）如图，车高4m（AC＝4m），货车卸货时后面支架AB弯折落在地面A1处，经过测量A1C＝2m，求弯折点B与地面的距离．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，在Rt△A1BC中利用勾股定理列出方程22+x2＝（4﹣x）2即可求解．
【解答】解：由题意得，AB＝A1B，∠BCA1＝90°，
设BC＝xm，则AB＝A1B＝（4﹣x）m，
在Rt△A1BC中，A1C2+BC2＝A1B2，
即：22+x2＝（4﹣x）2，
解得：x=32，
答：弯折点B与地面的距离为32米．
【点评】此题考查了勾股定理在实际生活中的应用，正确应用勾股定理是解题关键．
15．（2024春•铁东区期末）如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度．于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面（如图为示意图）．请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设AB＝x，则AC＝x+1，依据勾股定理即可得到方程x2+52＝（x+1）2，进而得出风筝距离地面的高度AB．
【解答】解：设AB＝x，则AC＝x+1，
由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5，
∴Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
即x2+52＝（x+1）2，
解得x＝12，
答：风筝距离地面的高度AB为12米．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．