2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之一次函数的应用

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之一次函数的应用，共24页。试卷主要包含了的关系图象，，满足∠BPQ＝∠BAO等内容，欢迎下载使用。

1．（2024•右玉县四模）一列动车从A地开往B地，一列普通列车从B地开往A地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列叙述错误的是（ ）
A．AB两地相距1000千米
B．两车出发后3小时相遇
C．动车的速度为10003千米/时
D．普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶20003千米到达A地
2．（2024•晋江市模拟）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（ ）
A．k2＜0＜k1B．k1＜0＜k2C．k1＜k2＜0D．k2＜k1＜0
3．（2023秋•和平县期末）如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，t=154或256．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2024春•福山区期末）甲乙两人同时登山，甲、乙两人距离地面的高度y（米）与时间x（分）之间的函数图象如图所示．根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲登山的速度是10米/分
B．乙距离地面高度为30米时开始提速
C．乙提速后速度是原来的2倍
D．乙追上甲时，距离地面185米
5．（2024•仪征市一模）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要（ ）
A．10分钟B．15分钟C．18分钟D．20分钟
二．填空题（共5小题）
6．（2024•什邡市模拟）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是 ．
7．（2024春•新宾县期末）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B两人离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的关系图象．则两人相遇时，是在B出发后 小时．
8．（2024春•松北区期末）在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表：
加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为 ℃．
9．（2024春•南关区校级期末）某地海拔高度h（km）与温度T（℃）的关系可用T＝20﹣6h来表示，则该地区某海拔高度为3000m的山顶上的温度为 ．
10．（2023秋•凤城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•天桥区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
12．（2023秋•江北区期末）现有一段20千米长，可供长跑爱好者跑步的笔直跑道MN，已知甲、乙两人都从M点出发，甲跑到途中的P点后原地休息了20分钟，之后继续跑到N点，共用时间2小时；乙虽然比甲晚出发半小时，但和甲同时到达N点．假设两人跑步时均为匀速，在甲出发后的2小时内两人离开M点的距离y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）图中B点的坐标为
（2）甲从点P跑到点N的速度为 千米/时；
（3）求图中线段CD的表达式．并写出定义域．
13．（2024春•荷塘区期末）如图，一次函数y1＝﹣3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx﹣6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，﹣3）．
（1）求y1，y2的解析式；
（2）若直线y2＝mx﹣6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标；
（3）若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2024•天山区校级一模）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min；小东骑自行车以250m/min的速度直接回家．两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为 m，小玲步行的速度为 m/min．
（2）求两人相遇的时间．
15．（2024•田阳区二模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示，
（1）求a的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
2024-2025学年上学期初中数学北师大版八年级期中必刷常考题之一次函数的应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024•右玉县四模）一列动车从A地开往B地，一列普通列车从B地开往A地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示y与x之间的函数关系．下列叙述错误的是（ ）
A．AB两地相距1000千米
B．两车出发后3小时相遇
C．动车的速度为10003千米/时
D．普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶20003千米到达A地
【考点】一次函数的应用．
【专题】应用题．
【答案】C
【分析】根据函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
AB两地相距1000千米，故选项A正确，不符合题意；
两车出发3小时相遇，故选项B正确，不符合题意；
动车的速度为：1000÷3﹣1000÷12＝250千米/时，故选项C错误，符合题意；
普通列车行驶t小时后，动车到达终点B地，此时普通列车还需行驶100012×（12−1000250）=20003千米到达A地，故选项D正确，不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2024•晋江市模拟）如图表示光从空气进入水中前、后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是（ ）
A．k2＜0＜k1B．k1＜0＜k2C．k1＜k2＜0D．k2＜k1＜0
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】利用两个函数图象的位置关系取横坐标相同的点利用纵坐标的大小列出不等式，即可求解．
【解答】解：如图，在两个图象上分别取横坐标为m（m＜0）的两个点A和B，
则A（m，k1m），B（m，k2m），
∵k1m＜k2m，
∴k1＞k2，
当取横坐标为正数时，同理可得k1＞k2，
综上所述，k2＜k1＜0，
故选：D．
【点评】本题考查了正比例函数的图象与性质，解题关键是取横坐标相同的点，利用纵坐标的大小关系得到比例系数的关系．
3．（2023秋•和平县期末）如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后1.5小时追上甲车；
④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，t=154或256．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．
【解答】解：图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得m+n=04m+n=300，
解得m=100n=−100，
∴y乙＝100t﹣100，
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，
解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③正确；
当乙追上甲后，令y乙﹣y甲＝50，100t﹣100﹣60t＝50
解得t=154，
当乙到达目的地，甲自己行走时，y甲＝60t＝250，
解得y=256，
∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，t=154或256．故④正确；
综上可知正确的有①②③④，共4个．
故选：D．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型．
4．（2024春•福山区期末）甲乙两人同时登山，甲、乙两人距离地面的高度y（米）与时间x（分）之间的函数图象如图所示．根据图象提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．甲登山的速度是10米/分
B．乙距离地面高度为30米时开始提速
C．乙提速后速度是原来的2倍
D．乙追上甲时，距离地面185米
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】D
【分析】由路程÷时间可得甲登山的速度，乙提速前登山的速度和乙提速后速度，从而可判定A，C，由乙提速前登山的速度可判定B，设出发x分钟乙追上甲，列方程可解得乙追上甲时，距地面165米，从而判断D．
【解答】解：由图象可得，甲登山的速度是（300﹣100）÷20＝10（米/分），故A正确，不符合题意；
乙提速前登山的速度是15÷1＝15（米/分钟），
∴乙距离地面高度为15×2＝30（米）时开始提速，故B正确，不符合题意；
乙提速后速度是（300﹣30）÷（11﹣2）＝30（米/分钟），
∴乙提速后速度是原来的2倍，故C正确，不符合题意；
设出发x分钟乙追上甲，则30+30（x﹣2）＝100+10x，
解得x=132，
∴乙追上甲时，距地面100+10×132=165（米），故D错误，符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从图象获取有用的信息．
5．（2024•仪征市一模）图中反映某网约车平台收费y（元）与所行驶的路程x（千米）的函数关系，根据图中的信息，当小明通过该网约车从家到机场共收费64元，若车速始终保持60千米/时不变，不考虑其它因素（红绿灯、堵车等），他从家到机场需要（ ）
A．10分钟B．15分钟C．18分钟D．20分钟
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意可得当x＞3时，y与x的函数关系式，再把y＝64代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的速度可得答案．
【解答】解：根据图象可知，收费64元，行程已超过3千米，
设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意，得：3k+b=1310k+b=34，
解得k=3b=4，
∴y＝3x+4（x＞3），
当y＝64时，3x+4＝64，
解得x＝20，
20÷60×60＝20（分钟）．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024•什邡市模拟）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从A处匀速跑向B处，乙同学从B处匀速跑往A处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为x（秒），甲、乙两人之间的距离为y（米），y与x之间的函数关系如图所示，则图中t的值是 403 ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】403．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲20秒跑完80米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑8秒钟跑的路程之和为80米，从而可以求得乙的速度，然后用80除以乙的速度，即可得到t的值．
【解答】解：由图象可得，
甲的速度为80÷20＝4（米/秒），
乙的速度为：80÷8﹣4＝10﹣4＝6（米/秒），
则t=806=403，
故答案为：403．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是求出甲、乙的速度．
7．（2024春•新宾县期末）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B两人离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的关系图象．则两人相遇时，是在B出发后 1.8 小时．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】1.8．
【分析】根据函数图象中的数据，可以得到A和B的速度，然后设两人相遇时，是在B出发后m小时，即可得到方程20m＝45（m﹣1），再求解即可．
【解答】解：由图象可得，
A的速度为：90÷（3﹣1）＝45（km/h），
B的速度为：60÷3＝20（km/h），
设两人相遇时，是在B出发后m小时，
由题意可得：20m＝45（m﹣1），
解得m＝1.8，
即两人相遇时，是在B出发后1.8小时，
故答案为：1.8．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．（2024春•松北区期末）在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表：
加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为 230 ℃．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据表格中的数据，可以得到y与x的函数关系式，然后即可得到当t＝110时对应的y的值，从而可以解答本题．
【解答】解：由表格中的数据可得，每20秒钟，油温升高40℃，
则y＝10+（40÷20）t＝10+2t，
当t＝110时，y＝10+2×110＝10+220＝230，
故答案为：230．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
9．（2024春•南关区校级期末）某地海拔高度h（km）与温度T（℃）的关系可用T＝20﹣6h来表示，则该地区某海拔高度为3000m的山顶上的温度为 2℃ ．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】2℃．
【分析】根据题意，把h＝3代入T＝20﹣6h计算即可．
【解答】解：∵3000m＝3km，
∴把h＝3代入T＝20﹣6h，得：T＝20﹣6×3＝20﹣18＝2，
∴该地区某海拔高度为3000m的山顶上的温度为2℃，
故答案为：2℃．
【点评】本题考查了一次函数的应用，正确计算是解题的关键．
10．（2023秋•凤城市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=34x+6交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 （2，0）或（−74，0） ．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（2，0）或（−74，0）．
【分析】把x＝0和y＝0分别代入一次函数的解析式，求出B、A的坐标，分为三种情况：①PQ＝BP，②BQ＝QP，③BQ＝BP，分别求解即可．
【解答】解：∵y=34x+6，
∴当x＝0时，y＝6，
当y＝0时，x＝﹣8，
即点A的坐标是（﹣8，0），点B的坐标是（0，6），
∵C点与A点关于y轴对称，
∴C的坐标是（8，0），
分为三种情况：
①当PB＝PQ时，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
∵∠BPQ＝∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ＝180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC＝180°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∵A和C关于y轴对称，
∴∠BAO＝∠BCP，
在△APQ和△CBP中，
∠AQP=∠BPC∠BAO=∠BCPPB=PQ，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴AP＝CB，
∵B（0，6），C（8，0），
∴BC=62+82=10，
∴AP＝10，
∴点P的坐标是（2，0）；
②当BQ＝BP时，则∠BPQ＝∠BQP，
∵∠BAO＝∠BPQ，
∴∠BAO＝∠BQP，
而根据三角形的外角性质得：∠BQP＞∠BAO，
∴此种情况不存在；
③当QB＝QP时，则∠BPQ＝∠QBP＝∠BAO，
即BP＝AP，
设此时P的坐标是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2＝OP2+OB2，
∴（x+8）2＝x2+62，
解得：x=−74，
即此时P的坐标是（−74，0）．
∴当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是（2，0）或（−74，0）．
故答案为：（2，0）或（−74，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•天桥区期末）随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，其中，甲为按照次数收费，乙为收取办卡费用以后每次打折收费．设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题．
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式；
（2）求出入游乐场多少次时，两者花费一样？费用是多少？
（3）洋洋爸准备了240元，请问选择哪种划算？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）y甲＝20x；
y乙＝10x+80；
（2）出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）选择乙种更合算．
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）分别令（1）中的y＝240，求出对应的x的值，再比较即可．
【解答】解：（1）设y甲＝k1x，
根据题意得4k1＝80，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+80，
根据题意得：12k2+80＝200，
解得k2＝10，
∴y乙＝10x+80；
（2）解方程组y=20xy=10x+80
解得：x=8y=160，
∴出入园8次时，两者花费一样，费用是160元；
（3）当y＝240时，y甲＝20x＝240，
∴x＝12；
当y＝240时，y乙＝10x+80＝240，
解得x＝16；
∵12＜16，
∴选择乙种更合算．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键．
12．（2023秋•江北区期末）现有一段20千米长，可供长跑爱好者跑步的笔直跑道MN，已知甲、乙两人都从M点出发，甲跑到途中的P点后原地休息了20分钟，之后继续跑到N点，共用时间2小时；乙虽然比甲晚出发半小时，但和甲同时到达N点．假设两人跑步时均为匀速，在甲出发后的2小时内两人离开M点的距离y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．请回答下列问题：
（1）图中B点的坐标为 （43，15）
（2）甲从点P跑到点N的速度为 7.5 千米/时；
（3）求图中线段CD的表达式．并写出定义域．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意可以写出点B的坐标，本题得以解决；
（2）根据函数图象中的数据可以求得甲从点P跑到点N的速度；
（3）根据题意和函数图象中的数据可以写出点D和点C的坐标，从而可得到线段CD的表达式，并写出定义域．
【解答】解：（1）由题意可得，
点B的横坐标为：1+2060=43，纵坐标为：15，
∴点B的坐标为（43，15），
故答案为：（43，15）；
（2）甲从点P跑到点N的速度为：20−152−43=7.5千米/时，
故答案为：7.5；
（3）由题意可得，点D的坐标为（0.5，0），点C的坐标为（2，20），
设线段CD的函数函数表达式为y＝kx+b，
0.5k+b=02k+b=20，得k=403b=−203，
即线段CD的表达式是y=403x−203（0.5≤x≤2）．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
13．（2024春•荷塘区期末）如图，一次函数y1＝﹣3x+b的图象分别交y轴，x轴于点A，B，一次函数y2＝mx﹣6的图象分别交y轴，x轴于点C，D，两个一次函数的图象相交于点E（2，﹣3）．
（1）求y1，y2的解析式；
（2）若直线y2＝mx﹣6上存在一点P，使S△ACP＝4S△BDE，求符合条件的点P的坐标；
（3）若点M为平面直角坐标系内任意一点，是否存在这样的点M，使以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y1＝﹣3x+3，y2=32x−6；
（2）点P的坐标为（4，0）或（﹣4，﹣12）；
（3）M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣6），点D的坐标为（4，0），得到BD＝3，AC＝9，然后根据S△ACP＝4S△BDE列方程求解即可；
（3）首先得到A（0，3），D（4，0），E（2，﹣3），然后分3种情况讨论：①当AD为对角线时；②当AE为对角线时；③当ED为对角线时，分别利用平行四边形的性质求解即可．
【解答】解：（1）将E（2，﹣3）代入y1＝﹣3x+b，得﹣3＝﹣3×2+b，
解得b＝3．
将E（2，﹣3）代入y2＝mx﹣6，得﹣3＝2m﹣6，
解得m=32．
∴y1，y2的解析式分别为y1＝﹣3x+3，y2=32x−6；
（2）对于y1＝﹣3x+3，当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1，
∴点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（1，0），
对于y2=32x−6，当x＝0时，y＝﹣6；当y＝0时，x＝4，
∴点C的坐标为（0，﹣6），点D的坐标为（4，0），
∴BD＝3，AC＝9，
∴S△BDE=12BD×|yE|=92，
设点P的坐标为(n，32n−6)，
则S△ACP=12AC×|xp|=92×|n|，
∵S△ACP＝4S△BDE，
∴92×|n|=4×92，
解得n＝4或n＝﹣4，
∴符合条件的点P的坐标为（4，0）或（﹣4，﹣12）；
（3）存在，点M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）．
如图，由（1）（2）可知A（0，3），D（4，0），E（2，﹣3），
设点M的坐标为（m，n）．
①当AD为对角线时，0+42=2+m2，3+02=−3+n2，
解得m＝2，n＝6．
∴点M的坐标为（2，6）；
②当AE为对角线时，0+22=4+m2，3−32=0+n2，
解得m＝﹣2，n＝0．
∴点M的坐标为（﹣2，0）；
③当ED为对角线时，2+42=0+m2，−3+02=3+n2，
解得m＝6，n＝﹣6．
∴点M的坐标为（6，﹣6）．
综上所述，当点M的坐标为（2，6）或（﹣2，0）或（6，﹣6）时，以A，D，E，M为顶点的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、解含绝对值符号的一元一次方程以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用三角形的面积公式，找出关于x的含绝对值符号的一元一次方程；（3）利用平行四边形的性质求解．
14．（2024•天山区校级一模）小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行．小玲开始跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用30min；小东骑自行车以250m/min的速度直接回家．两人离家的路程y（m）与各自离开出发地的时间x（min）之间的函数图象如图所示．
（1）家与图书馆之间的路程为 4000 m，小玲步行的速度为 100 m/min．
（2）求两人相遇的时间．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】（1）4000；100；
（2）两人相遇时用时间809min．
【分析】（1）由图看出家与图书馆之间的路程为4000m，用小玲步行的路程4000﹣2000＝2000m，除以小玲步行的时间30﹣10＝10分钟，据此可得到小玲步行的速度；
（2）先求出小东到家的函数关系式，再求得小玲跑步的函数关系式，联立，求解即可．
【解答】解：（1）由图看出家与图书馆之间的路程为4000m，
小玲步行的速度为4000−200030−10=100(m/min)，
故答案为：4000；100；
（2）∵4000÷250＝16，∴D（16，0），
设y东＝kx+4000，
把D（16，0）代入，得0＝16k+4000，
解得k＝﹣250，
∴y东＝﹣250x+4000（0≤x≤16）；
设y玲＝ax，把A（10，2000）代入，
求得：a＝200，
∴y玲＝200x，
联立y=−250x+4000y=200x，
解得x=809y=160009，
答：两人相遇时用时间809min．
【点评】本题考查了一次函数应用的行程问题，解决问题的关键是熟练运用速度，时间，路程之间的关系，结合一次函数的图象和性质解答．
15．（2024•田阳区二模）食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐．经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前a分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数y（人）与开餐时间x（分钟）的关系如图所示，
（1）求a的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）a分钟新增40a人，由图象可得400+40a﹣15×4a＝320，据此可得答案；
（2）运用待定系数法求直线BC的解析式，再把x＝7代入计算即可；
（3）根据题意列不等式求解．
【解答】解：（1）根据“等候购餐的人数＝开餐时排队人数+前a分钟新增排队人数﹣购餐后离开的人数”，得400+40a﹣15×4a＝320，
解得a＝4，
∴a的值是4．
（2）当4≤x≤10时，设排队等候购餐的人数y与开餐时间x的关系为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标B（4，320）和C（10，0）代入y＝kx+b，
得4k+b=32010k+b=0，
解得k=−1603b=16003，
∴y=−1603x+16003（4≤x≤10）．
当x＝7时，y=−1603×7+16003=160，
∴开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人；
（3）设同时开放x个窗口，则7×15x≥400+4×40+[60×6﹣320]×36，解得x≥51121，
所以至少需同时开放6个售票窗口．
【点评】本题考查了一次函数的应用：建立一次函数函数模型，应用一次函数的性质解决问题．时间x（秒）
0
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40
60
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油温y（℃）
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时间x（秒）
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油温y（℃）
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