2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的根与系数的关系

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的根与系数的关系，共12页。试卷主要包含了的值为 　 　等内容，欢迎下载使用。
1．（2023秋•历城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．﹣3B．2C．3D．﹣4
2．（2023秋•绥棱县期末）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
3．（2024•化德县校级模拟）若a，b是方程x2+2x﹣2016＝0的两根，则a2+3a+b＝（ ）
A．2016B．2015C．2014D．2012
4．（2024春•威海期末）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
5．（2024•惠城区校级一模）设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
二．填空题（共5小题）
6．（2024•绥化模拟）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
7．（2024•电白区一模）关于x的方程x2﹣8x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 ．
8．（2024•东兴区校级三模）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝9，则m的值为 ．
9．（2023秋•崇仁县期末）若m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则（m+1）（n+1）的值为 ．
10．（2024•东港区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，则m的值为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•平谷区期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
12．（2024•秦安县校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=16，求a的值．
13．（2024•南充三模）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=14．求x12+4x2﹣10的值．
14．（2023秋•涵江区期末）已知关于x的方程x2﹣3ax﹣3a﹣6＝0，
（1）求证：方程恒有两不等实根；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，求a的值．
15．（2023秋•武威期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=15，求实数m的值．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的根与系数的关系
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•历城区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则方程的另一个根是（ ）
A．﹣3B．2C．3D．﹣4
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】设方程的一个根x1＝1，另一个根为x2，再根据根与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：设方程的一个根x1＝1，另一个根为x2，根据题意得：
x1×x2＝3，
将x1＝1代入，得x2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系的相关知识是解题的关键．
2．（2023秋•绥棱县期末）设方程x2+x﹣2＝0的两个根为α，β，那么α+β﹣αβ的值等于（ ）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据根与系数的关系，可得出α+β和αβ的值，再代入α+β﹣αβ求值即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，
∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，
∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
3．（2024•化德县校级模拟）若a，b是方程x2+2x﹣2016＝0的两根，则a2+3a+b＝（ ）
A．2016B．2015C．2014D．2012
【考点】根与系数的关系．
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2+2a﹣2016＝0，即a2＝﹣2a+2016，则a2+3a+b可化简为a+b+2016，再根据根与系数的关系得a+b＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+2x﹣2016＝0的实数根，
∴a2+2a﹣2016＝0，
∴a2＝﹣2a+2016，
∴a2+3a+b＝﹣2a+2016+3a+b＝a+b+2016，
∵a、b是方程x2+2x﹣2016＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣2，
∴a2+3a+b＝﹣2+2016＝2014．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1•x2=ca．也考查了一元二次方程的解．
4．（2024春•威海期末）已知m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（ ）
A．2020B．2021C．2022D．2023
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出m+n＝﹣1，m2+m﹣2023＝0，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，m2+m﹣2023＝0，
∴m2+m＝2023，
∴m2+2m+n
＝m2+m+（m+n）
＝2023﹣1
＝2022．
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．
5．（2024•惠城区校级一模）设一元二次方程x2﹣3x+2＝0的两根为x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值为（ ）
A．1B．﹣1C．0D．3
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先利用根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝2，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
二．填空题（共5小题）
6．（2024•绥化模拟）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 2024 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2024．
【分析】根据根与系数的关系得到α+β＝﹣2，根据一元二次方程解的定义得到α2+2α＝2026，再由α2+3α+β＝（α2+2α）+（α+β），利用整体代入法求解即可．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，α2+2α﹣2026＝0，
∴α2+2α＝2026，
∴α2+3α+β
＝（α2+2α）+（α+β）
＝2026+（﹣2）
＝2024，
故答案为：2024．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．也考查了一元二次方程的解的定义．
7．（2024•电白区一模）关于x的方程x2﹣8x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是 16 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】16．
【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣8）2﹣4c＝0，然后解关于c的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣8）2﹣4c＝0，
解得c＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2024•东兴区校级三模）设x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝9，则m的值为 ﹣2 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用根与系数关系，构建方程求解．
【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m﹣1）x+m2﹣2＝0的两个实数根，
∴x1+x1＝2（m﹣1），x1x2＝m2﹣2，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝9，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝9，
∴m2﹣2﹣2（m﹣1）﹣8＝0，
∴m2﹣2m﹣8＝0，
解得m＝4或﹣2．
∵Δ≥0，
∴4（m﹣1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
∴4m2﹣8m+4﹣4m2+8≥0，
∴m≤32，
∴m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是学会利用转化的思想解决问题．
9．（2023秋•崇仁县期末）若m，n为一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，则（m+1）（n+1）的值为 1 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据根与系数的关系即可得出m+n＝2、mn＝﹣2，将代数式（m+1）（n+1）展开，再将m+n＝2、mn＝﹣2代入其中即可得出结论．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝2，mn＝﹣2，
∴（m+1）（n+1）
＝mn+（m+n）+1
＝﹣2+2+1
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握两根之和为−ba、两根之积为ca是解题的关键．
10．（2024•东港区校级一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0，若该方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β＝5，则m的值为 3 ．
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣m，再根据α+2β＝5，求出α，β的值即可得到答案．
【解答】解：由根与系数的关系得到α+β＝2，αβ＝﹣m，
∵α+2β＝5，
∴α＝﹣1，β＝3，
∴﹣m＝3×（﹣1）＝﹣3，
∴m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024春•平谷区期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根．
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据Δ＝b2﹣4ac进行判断；
（2）把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0即可求得k，然后解这个方程即可；
【解答】（1）证明：由于x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0是一元二次方程，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣1）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4，
无论k取何实数，总有（k﹣2）2≥0，（k﹣2）2+4＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把x＝3代入方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0，有32﹣3（k+2）+2k﹣1＝0，
整理，得 2﹣k＝0．
解得 k＝2，
此时方程可化为 x2﹣4x+3＝0．
解此方程，得 x1＝1，x2＝3．
所以方程的另一根为x＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根；还有方程根的意义等；
12．（2024•秦安县校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求a的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22−x1x2=16，求a的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22−x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3．
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22−x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，
∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值范围，再由根与系数的关系得出方程是解答此题的关键．
13．（2024•南充三模）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=14．求x12+4x2﹣10的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）m≤12；
（2）5．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2，结合x12+x22=14，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出实数m的值，即可求出x1+x2＝4，x12−4x1+1=0，代入x12+4x2﹣10即可得答案．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≤12，
∴实数m的取值范围为m≤12．
（2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根，
∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2．
∵x12+x22=14，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14，
∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14，
∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14，
∴m＝5或﹣1，
当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去，
当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0，
∴x1+x2＝4，x12−4x1+1=0，
∴x12=4x1﹣1，
∴x12+4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1+x2）2＝18+4x1x2，找出关于m的一元一次方程．
14．（2023秋•涵江区期末）已知关于x的方程x2﹣3ax﹣3a﹣6＝0，
（1）求证：方程恒有两不等实根；
（2）若x1，x2是该方程的两个实数根，且（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，求a的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）﹣1．
【分析】（1）先计算根的判别式的值，再利用非负数的性质判断Δ＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝3a，x1x2＝﹣3a﹣6，则由（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝1，然后解关于a的方程即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3a）2﹣4×（﹣3a﹣6）＝9a2+12a+24＝（3a+2）2+20＞0，
∴方程恒有二不等实根；
（2）解：由根与系数的关系得x1+x2＝3a，x1x2＝﹣3a﹣6，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝1，
∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝1，
∴﹣3a﹣6﹣3a+1＝1，
解得a＝﹣1．
故a的值是﹣1．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca．也考查了根的判别式．
15．（2023秋•武威期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=15，求实数m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】（1）m≥34；
（2）m＝2．
【分析】（1）根据根的判别式得出b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2+1）≥0，求出不等式的解集即可；
（2）将x12+x22转化为2m2+4m﹣1＝15，再代入计算即可解答．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2+1）＝4m﹣3≥0，
解得：m≥34，
即m的取值范围是m≥34；
（2）∵x1+x2＝﹣（2m+1），x1x2=m2+1，
∴x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(2m+1)2−2(m2+1)=2m2+4m−1，
∵x12+x22=15，
∴2m2+4m﹣1＝15，即m2+2m﹣8＝0，
解得m＝2或m＝﹣4．
∵m≥34，
∴m＝2．
故m的值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1+x2=−ba、x1x2=ca，找出关于m的一元二次方程．