2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的解法

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A．（x+8）2＝54B．（x﹣8）2＝54C．（x+4）2＝6D．（x﹣4）2＝6
2．（2024•昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝6B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝1，x2＝﹣3
3．（2023秋•天津期末）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
4．（2023秋•衡山县期末）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2024B．2021C．2023D．2022
5．（2024•张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
二．填空题（共5小题）
6．（2024•瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 ．
7．（2024•椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n=m2+m+n，当m≥n时n2+m+n，当m＜n时，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 ．
8．（2024•东港区二模）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是 ．
9．（2024春•和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．
10．（2024•灌云县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
12．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2．
综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．
13．（2024•石家庄一模）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
2x2﹣3x﹣5＝0
解：x2−32x=52第一步
x2−32x+(34)2=52+(34)2第二步
(x−34)2=4916第三步
x−34=±74第四步
x1=52，x2＝﹣1第五步
（1）任务一：①小颖解方程的方法是 ．
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是 ；
（2）任务二：请你按要求解下列方程：
①x2+2x﹣3＝0；（公式法）②3（x﹣2）2＝x2﹣4．（因式分解法）
14．（2024春•淮阴区校级月考）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣25＝0；
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）；
（3）x2﹣4x﹣3＝0；
（4）3x2+5x+1＝0．
15．（2024•汶上县二模）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的解法
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024•阳泉三模）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+10＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+8）2＝54B．（x﹣8）2＝54C．（x+4）2＝6D．（x﹣4）2＝6
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【解答】解：x2﹣8x+10＝0，
移项得：x2﹣8x＝﹣10，
配方得：x2﹣8x+16＝﹣10+16，
整理得：（x﹣4）2＝6，
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．
2．（2024•昌吉州模拟）已知方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则另一个方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0的解是（ ）
A．x1＝2，x2＝6B．x1＝﹣2，x2＝﹣6
C．x1＝﹣1，x2＝3D．x1＝1，x2＝﹣3
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；换元法解一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据已知方程的解得出x+3＝1，x+3＝﹣3，求出两个方程的解即可．
【解答】解：∵方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，
∴方程（x+3）2+2（x+3）﹣3＝0中x+3＝1或x+3＝﹣3，
解得：x＝﹣2或﹣6，
即x1＝﹣2，x2＝﹣6，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据方程的解得出x+3＝1和x+3＝﹣3是解此题的关键．
3．（2023秋•天津期末）一元二次方程x2+x﹣3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】A
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×（﹣3）＝13＞0，
∴方程有两个不相等的两个实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．（2023秋•衡山县期末）设a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2024B．2021C．2023D．2022
【考点】根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2＝﹣a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣2023＝0的实数根，
∴a2+a﹣2023＝0，
∴a2＝﹣a+2023，
∴a2+2a+b＝﹣a+2023+2a+b＝2023+a+b，
∵a，b是方程x2+x﹣2023＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝2023+（﹣1）＝2022．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca．也考查了一元二次方程的解．
5．（2024•张家口一模）已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【答案】A
【分析】由根与系数的关系求得方程，再把方程右边分解因式即可．
【解答】解：∵方程两根分别为x1＝3，x2＝﹣4，
∴x1+x2＝3﹣4＝﹣1，x1x2＝﹣12，
∴方程为x2+x﹣12＝0．
把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0，
故选：A．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及分解因式法解一元二次方程，关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．两根之和是−ba，两根之积为−ca．
二．填空题（共5小题）
6．（2024•瑶海区校级三模）关于x的一元二次方程x2+x﹣k＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜−14 ．
【考点】根的判别式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝12+4k＜0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝12+4k＞0，
解得：k＜−14．
故答案为：k＜−14．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（2024•椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：m⊗n=m2+m+n，当m≥n时n2+m+n，当m＜n时，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 3 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；实数的运算．
【专题】新定义；运算能力．
【答案】3．
【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当x≥﹣2时，
∵x⊗（﹣2）＝10，
∴x2+x﹣2＝10，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
x1＝﹣4（舍去），x2＝3，
当x＜﹣2时，
∵x⊗（﹣2）＝10，
∴（﹣2）2+x﹣2＝10，
x＝8（舍去），
综上所述：x＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键．
8．（2024•东港区二模）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是 10或6或12 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】由等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，解此一元二次方程即可求得等腰三角形的腰与底边的长，注意需要分当2是等腰三角形的腰时与当4是等腰三角形的腰时讨论，然后根据三角形周长的求解方法求解即可．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x＝2或x＝4，
∵等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2＝4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4＝10．
当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2＝6．
当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4＝12．
∴这个三角形的周长为10或6或12．
故答案为：10或6或12．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的解法．解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转换成一元一次方程是解此题的关键．
9．（2024春•和平区校级月考）一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 183 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；菱形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】183．
【分析】先解方程得出x1＝6，x2＝3，结合一条对角线长为6得出菱形的边长为6，利用勾股定理得出菱形的另一条对角线为262−32=63，再由面积公式计算即可．
【解答】解：∵x2﹣9x+18＝0，
∴（x﹣6）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝6，x2＝3，
∵菱形一条对角线长为6，
∴菱形的边长为6，
∴菱形的另一条对角线为262−32=63，
∴菱形的面积为12×6×63=183，
故答案为：183．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程、菱形的性质、勾股定理，通过解方程得到菱形的边长，再利用菱形的面积等于12对角线的乘积得出结果．
10．（2024•灌云县二模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0没有实数根，则实数m取值范围是 m＞1 ．
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围．
【解答】解：根据方程没有实数根，得到Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4m＜0，
解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程没有实数根．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•新会区期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【考点】根的判别式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设方程的另一个根为x，则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，求出即可；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．
【解答】解：（1）设方程的另一个根为x，
则由根与系数的关系得：x+1＝﹣a，x•1＝a﹣2，
解得：x=−32，a=12，
即a=12，方程的另一个根为−32；
（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2=−ba，x1•x2=ca，要记牢公式，灵活运用．
12．（2023秋•东辽县期末）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．
解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；
②当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，
解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2．
综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；绝对值；一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】原方程的根是x3＝﹣3，x4＝2．
【分析】仿照题干所给例题分类讨论：当x≥3时，去绝对值得到x2﹣x＝0，利用因式分解求解；当x＜3时，原方程化为x2+x﹣6＝0，利用因式分解法求解．
【解答】解：①当x≥3时，
原方程可化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，
解得x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝1（不符合题意，舍去）；
②当x＜3时，原方程可化为x2+x﹣3﹣3＝0，
解得x3＝﹣3，x4＝2．
综上所述，原方程的根是x3＝﹣3，x4＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
13．（2024•石家庄一模）下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程，请认真阅读并完成任务．
2x2﹣3x﹣5＝0
解：x2−32x=52第一步
x2−32x+(34)2=52+(34)2第二步
(x−34)2=4916第三步
x−34=±74第四步
x1=52，x2＝﹣1第五步
（1）任务一：①小颖解方程的方法是 B ．
A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法
②第二步变形的依据是 等式的基本性质 ；
（2）任务二：请你按要求解下列方程：
①x2+2x﹣3＝0；（公式法）②3（x﹣2）2＝x2﹣4．（因式分解法）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）①B；
②等式的基本性质；
（2）①x1＝1，x2＝﹣3；
②x1＝2，x2＝4．
【分析】（1）①利用配方法解方程的方法可以判断；
②根据等边的基本性质求解；
（2）①先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；
②先把方程变形为3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）①小颖解方程的方法为配方法；
故答案为：B；
②第二步变形的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
（2）①x2+2x﹣3＝0，
a＝1，b＝2，c＝﹣3，
Δ＝22﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，
x=−b±b2−4ac2a=−2±42×1=−1±2，
所以x1＝1，x2＝﹣3；
②3（x﹣2）2＝x2﹣4，
3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣6﹣x﹣2＝0，
所以x1＝2，x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．
14．（2024春•淮阴区校级月考）解下列方程：
（1）（x﹣1）2﹣25＝0；
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）；
（3）x2﹣4x﹣3＝0；
（4）3x2+5x+1＝0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣直接开平方法；解一元二次方程﹣配方法；解一元二次方程﹣公式法．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）x1＝6，x2＝﹣4；
（2）x1=45，x2=15；
（3）x1=2+7，x2=2−7；
（4）x1=−5+136，x2=−5−136．
【分析】（1）根据直接开平方法解一元二次方程；
（2）根据因式分解法解一元二次方程；
（3）根据配方法解一元二次方程；
（4）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣25＝0，
∴（x﹣1）2＝25，
∴x﹣1＝±5，
解得x1＝6，x2＝﹣4；
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1），
∴（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0，
∴（5x﹣1）（5x﹣1﹣3）＝0，
∴5x﹣1＝0或5x﹣4＝0，
解得x1=45，x2=15；
（3）x2﹣4x﹣3＝0，
x2﹣4x＝3，
x2﹣4x+4＝3+4，
（x﹣2）2＝7，
x﹣2＝±7，
解得x1=2+7，x2=2−7；
（4）3x2+5x+1＝0，
∴a＝3，b＝5，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝25﹣12＝13，
∴x=−b±b2−4ac2a=−5±136，
解得x1=−5+136，x2=−5−136．
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法，公式法及配方法是解题的关键．
15．（2024•汶上县二模）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．
【考点】根的判别式；解一元二次方程﹣公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0；
（2）在m的范围内，找到最小奇数，然后把m的值代入一元二次方程 （m+1）x2+2mx+m﹣3＝0中，再解出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程（m+1）x2+2mx+m﹣3＝0 有两个不相等的实数根，
∴m+1≠0且Δ＞0．
∵Δ＝（2m）2﹣4（m+1）（m﹣3）＝4（2m+3），
∴2m+3＞0．
解得 m＞−32．
∴m的取值范围是 m＞−32且m≠﹣1．
（2）在m＞−32且m≠﹣1的范围内，最小奇数m为1．
此时，方程化为x2+x﹣1＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，
∴x=−1±52×1=−1±52．
∴方程的根为 x1=−1+52，x2=−1−52．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根