2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的有关概念

这是一份2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的有关概念，共12页。
A．3（x+1）2＝2（x+1）B．1x2+1x−2=0
C．ax2+bx+c＝0D．x2+2x＝x2﹣1
2．（2023秋•龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．x2+3=2xC．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
3．（2024春•淮北期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3B．9，﹣3C．﹣9，﹣3D．﹣9，3
4．（2024春•大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1B．3或﹣1C．3D．﹣3或1
5．（2023秋•新化县期末）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•新会区期末）写出以x1＝4为一个根的一个一元二次方程 ．
7．（2023秋•哈密市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是 ．
8．（2023秋•浦东新区期末）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝ ．
9．（2024春•肇源县月考）方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．
10．（2024春•扶沟县期末）将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
12．（2023秋•樊城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝﹣1，且a，b满足b=a−3+3−a−2，求a，b，c的值．
13．（2022秋•同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
14．（2023春•鄞州区期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
15．（2023秋•呈贡区期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之一元二次方程的有关概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•阿荣旗期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．3（x+1）2＝2（x+1）B．1x2+1x−2=0
C．ax2+bx+c＝0D．x2+2x＝x2﹣1
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；符号意识．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：A．该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
B．该方程是分式方程，故本选项不符合题意；
C．ax2+bx+c＝0，a＝0，b≠0时是一元一次方程，故本选项不符合题意，；
D．该方程整理可得2x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．（2023秋•龙泉驿区期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2y＝1B．x2+3=2xC．x2﹣2y+4＝0D．x2﹣2x+1＝0
【考点】一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，选项A不符合题意；
B．方程x2+3=2x是分式方程，选项B不符合题意；
C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，选项C不符合题意；
D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．
3．（2024春•淮北期末）将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3B．9，﹣3C．﹣9，﹣3D．﹣9，3
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
【解答】解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
4．（2024春•大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．﹣1B．3或﹣1C．3D．﹣3或1
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】首先把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0解方程可得m1＝3，m2＝﹣1，再结合一元二次方程定义可得m的值．
【解答】解：把x＝1代入（2m+2）x2+x﹣m2＝0得，
2m+2+1﹣m2＝0，
m2﹣2m﹣3＝0，
解得：m1＝3，m2＝﹣1，
∵（2m+2）x2+x﹣m2＝0，
∴2m+2≠0，
∴m≠﹣1，
∴m＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解及定义和解一元二次方程，正确理解定义及熟练掌握解方程是解题的关键．
5．（2023秋•新化县期末）若一元二次方程x2﹣3x+a＝0的一个根为x＝2，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】转化成解a的一元一次方程求解．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣3x+a＝0可得4﹣6+a＝0，
解得a＝2，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义．
二．填空题（共5小题）
6．（2023秋•新会区期末）写出以x1＝4为一个根的一个一元二次方程 x2﹣4x＝0（答案不唯一） ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2﹣4x＝0（答案不唯一）．
【分析】根据一元二次方程解的定义，以及一元二次方程的定义即可求解．
【解答】解：依题意得x2﹣4x＝0，
解得x1＝4，x2＝0，
故答案为：x2﹣4x＝0（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
7．（2023秋•哈密市期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0的一根为0，则m的值是 ﹣1 ．
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．
【答案】见试题解答内容
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0得到m2﹣1＝0，
解得：m＝±1，
∵m﹣1≠0
∴m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，解题的关键是正确的代入求解，属于基础题型．
8．（2023秋•浦东新区期末）已知x＝3是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，那么m＝ ﹣3 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】将x＝3代入原方程即可求出m的值．
【解答】解：将x＝3代入x2﹣2x+m＝0，
∴9﹣6+m＝0，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的概念，本题属于基础题型．
9．（2024春•肇源县月考）方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 2 ．
【考点】一元二次方程的定义；绝对值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m+2≠0且|m|＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0且|m|＝2，
解得：m＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m+2≠0和|m|＝2是解此题的关键．
10．（2024春•扶沟县期末）将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 x2﹣3x+2＝0 ．
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】x2﹣3x+2＝0．
【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再根据一元二次方程的一般形式解答即可．
【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4，
则2x2﹣4x+x﹣2＝x2﹣4，
整理得：x2﹣3x+2＝0，
故答案为：x2﹣3x+2＝0．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
三．解答题（共5小题）
11．（2023秋•凉州区期末）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
12．（2023秋•樊城区校级月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝﹣1，且a，b满足b=a−3+3−a−2，求a，b，c的值．
【考点】一元二次方程的解；二次根式有意义的条件；一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】a＝3，b＝﹣2，c＝﹣5．
【分析】由二次根式有意义的条件可得a，进而可求b；将x＝﹣1代入方程即可求c．
【解答】解：由题意得：a﹣3≥0，3﹣a≥0，
∴a＝3，
∴b=0+0−2=−2，
故方程为：3x2﹣2x+c＝0，
将x＝﹣1代入方程得：3+2+c＝0，
∴c＝﹣5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解．确定a的值是解题关键．
13．（2022秋•同心县期末）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．
（1）求m的值；
（2）求此时一元二次方程的解．
【考点】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）直接利用常数项为0，进而得出关于m的等式进而得出答案；
（2）利用（1）中所求得出方程的解．
【解答】解：（1）由题意，得：m2﹣3m+2＝0
解之，得m＝2或m＝1①，
由m﹣1≠0，得：m≠1②，
由①，②得：m＝2；
（2）当m＝2时，代入（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0，
得x2+5x＝0，
x（x+5）＝0
解得：x1＝0，x2＝﹣5．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式以及一元二次方程的解法，正确解方程是解题关键．
14．（2023春•鄞州区期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点】一元二次方程的定义；等边三角形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）等腰三角形；
（2）x1＝0，x2＝1．
【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键．
15．（2023秋•呈贡区期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有一个根是1，那么我们称这个方程为“方正方程”．
（1）判断一元二次方程3x2﹣5x+2＝0是否为“方正方程”，请说明理由；
（2）已知关于x的一元二次方程5x2﹣bx+c＝0是“方正方程”，求b2﹣2c的最小值．
【考点】一元二次方程的解；非负数的性质：偶次方．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）9．
【分析】（1）先把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0，判断是否是方程3x2﹣5x+2＝0的根，然后根据已知条件中的定义进行判断即可；
（2）根据定义，把x＝1代入5x2﹣bx+c＝0，从而得出b＝5+c，然后等式两边同时平方，把b的平方用含有c的式子表示出来，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）该方程是“方正方程”，理由如下：
把x＝1代入3x2﹣5x+2＝0得，
左边＝3×12﹣5×1+2＝3×1﹣5+2＝0，右边＝0，
∵左边＝右边，
∴x＝1是3x2﹣5x+2＝0的根，
∴方程3x2﹣5x+2＝0是“方正方程”；
（2）由题意得：5﹣b+c＝0，b＝5+c，
b2﹣2c＝（5+c）2﹣2c，
＝c2+8c+25
＝（c+4）2+9
∵（c+4）2≥0，
∴（c+4）2+9≥9
∴b2﹣2c的最小值为9．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是理解已知条件中的新定义并解决问题．
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．
①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；
③当a是零时，a的绝对值是零．
即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）
2．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
3．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
4．一元二次方程的定义
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
5．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
6．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
7．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．