2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之应用一元二次方程

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A．12x（x+1）＝90B．x（x+1）＝90
C．12x（x﹣1）＝90D．x（x﹣1）＝90
2．（2024•武威二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2D．（x﹣4）2+102＝x2
3．（2024•武威一模）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
4．（2024•右玉县四模）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x−1)2=1980B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980D．x（x﹣1）＝1980
5．（2023秋•宁津县期末）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．1+（1+x）2＝73B．1+x2＝73
C．1+x+x2＝73D．x+（1+x）2＝73
二．填空题（共5小题）
6．（2024春•奉贤区期末）“六一”儿童节时，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 ．
7．（2024•重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
8．（2024•大荔县一模）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 ．
9．（2023秋•集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人．
10．（2023秋•思明区校级期中）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为 7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为 ．
三．解答题（共5小题）
11．（2024•西山区校级开学）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
12．（2023秋•建平县期末）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
13．（2024•扶沟县一模）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
14．（2024•大连一模）于2023年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．从7月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
15．（2024•长清区校级开学）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
2024-2025学年上学期初中数学北师大版九年级期中必刷常考题之应用一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2023秋•潮州期末）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A．12x（x+1）＝90B．x（x+1）＝90
C．12x（x﹣1）＝90D．x（x﹣1）＝90
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】D
【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．
【解答】解：设有x个队参赛，则
x（x﹣1）＝90．
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解．
2．（2024•武威二模）《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步＝10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．x2+102＝（x+1）2B．（x+1）2+102＝x2
C．x2+102＝（x﹣4）2D．（x﹣4）2+102＝x2
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可得 AB＝（ x﹣4）尺，利用勾股定理可得x2＝102+（ x﹣4）2．
【解答】解：设秋千的绳索长为 x 尺，根据题意可列方程为：x2＝102+（ x﹣4）2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了考差了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 AB、AC 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
3．（2024•武威一模）如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（ ）
A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570
B．32x+2×20x＝32×20﹣570
C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570
D．32x+2×20x﹣2x2＝570
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形．
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
4．（2024•右玉县四模）某校九年级（1）班学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1980张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A．x(x−1)2=1980B．x（x+1）＝1980
C．2x（x+1）＝1980D．x（x﹣1）＝1980
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】D
【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，然后根据题意可列出方程．
【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人，
∴全班共送：（x﹣1）x＝1980，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送（x﹣1）张相片，有x个人是解决问题的关键．
5．（2023秋•宁津县期末）学校“自然之美”研究小组在野外考查时了发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为73，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．1+（1+x）2＝73B．1+x2＝73
C．1+x+x2＝73D．x+（1+x）2＝73
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据在1个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是73个，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝73，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程．
二．填空题（共5小题）
6．（2024春•奉贤区期末）“六一”儿童节时，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为 x（x﹣1）＝210 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】x（x﹣1）＝210．
【分析】由每位同学向其他同学赠送1句祝福语及小队共有x人，可得出每人赠送（x﹣1）句祝福语，再利用小队内共收到的祝福语＝人数×每人赠送祝福语数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵小队共有x人，且每位同学向其他同学赠送1句祝福语，
∴每人赠送（x﹣1）句祝福语，
又∵小队内共收到210句祝福语，
∴可列方程x（x﹣1）＝210．
故答案为：x（x﹣1）＝210．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．（2024•重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 10% ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】10%．
【分析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，利用该公司2023年缴税金额＝该公司2021年缴税金额×（1+该公司这两年缴税的年平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x，
根据题意得：40（1+x）2＝48.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去），
∴该公司这两年缴税的年平均增长率是10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2024•大荔县一模）我国南宋数学家杨辉在1275年提出了一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）．问阔及长各几步？若设阔（宽）为x步，则所列方程为 x（x+12）＝864 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用长乘以宽＝864，进而得出答案．
【解答】解：设阔（宽）为x步，则所列方程为：x（x+12）＝864．
故答案为：x（x+12）＝864．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出矩形的长是解题关键．
9．（2023秋•集贤县期末）近期，我国多地出现了因肺部感染支原体病毒爆发的支原体肺炎流感．现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 12 人．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】12．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据“现有一个人因感染了支原体病毒，感冒发烧，经过两轮传染后共有169人被感染”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，则第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝169，
整理得：（1+x）2＝169，
解得：x1＝12，x2＝﹣14（不符合题意，舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染的人数是12人．
故答案为：12．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2023秋•思明区校级期中）《代数学》中记载，形如x2+8x＝33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16＝49，则该方程的正数解为 7﹣4＝3．”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x＝m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为 4 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；模型思想．
【答案】4．
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积＝阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【解答】解：x2+12x＝m，
∵阴影部分的面积为64，
∴x2+12x＝64，
设4a＝12，
则a＝3，
同理：先构造一个面积为x2的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，
得到大正方形的面积为64+32×4＝64+36＝100，
则该方程的正数解为10﹣6＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
11．（2024•西山区校级开学）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
【分析】根据BC＝栅栏总长﹣2AB+EF，再利用矩形面积公式即可求出．
【解答】解：设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m；
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得x2﹣36x+320＝0，
解得：x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40；
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32．
故当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2的羊圈．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程．
12．（2023秋•建平县期末）2022年11月29日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已知该模型平均每天可售出20个，每个盈利40元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于25元的前提下，要使“中国空间站”模型每天获利1200元，每个模型应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用；有理数的混合运算．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝20+2×每个模型降低的价格，可求出平均每天的销售量；利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可求出此时每天获得的总利润；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，利用总利润＝每个的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）20+2×4
＝20+8
＝28（个）；
（40﹣4）×28
＝36×28
＝1008（元）．
答：若每个模型降价4元，平均每天可以售出28个模型，此时每天获利1008元；
（2）设每个模型应降价x元，则每个模型可盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）个，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
又∵每个模型盈利不少于25元，
∴x＝10．
答：每个模型应降价10元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．（2024•扶沟县一模）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量＝4月份的销售量×（1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，利用月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为（y﹣35）元，月销售量为400+20（58﹣y）＝（1560﹣20y）件，
根据题意得：（y﹣35）（1560﹣20y）＝8400，
整理得：y2﹣113y+3150＝0，
解得：y1＝50，y2＝63（不符合题意，舍去）．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2024•大连一模）于2023年举办的杭州亚运会的吉祥物一经开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．从7月份起，商店决定采用降价促销的方式回馈顾客，试销了一段时间后，发现该款吉祥物的月销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，且部分数据如表所示．
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）若商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元．则售价应定为多少元？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】（1）y＝﹣20x+1560；
（2）商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元．
【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）根据单件的利润乘以销售量等于8400，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【解答】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b，
把x＝55，y＝460；x＝52，y＝520代入可得460=55k+b520=52k+b，
解得k=−20b=1560，
即y关于x的函数解析式为y＝﹣20x+1560；
（2）依题意得，（x﹣35）（﹣20x+1560）＝8400，
解得x1＝50，x2＝63（不合题意，舍去）
答：商店希望每月销售这款吉祥物所获得的利润是8400元，则售价应定为50元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2024•长清区校级开学）大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润＝销售价﹣进货价）
（1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数；
（2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
（3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）购进A款纪念币12个，B款纪念币20个；
（2）购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元．
【分析】（1）设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个，由题意：网店第一次用580元购进A、B两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进（80﹣m）个B款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的A、B款纪念币全部售出后获得的总利润为w元，则w＝（25﹣15）m+（32﹣20）（80﹣m）＝﹣2m+960，然后由一次函数的性质即可求解；
（3）设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出（5﹣2a）个，使A款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设购进A款纪念币x个，B款纪念币y个，
15x+20y=580x+y=32，
解得x=12y=20，
答：购进A款纪念币12个，B款纪念币20个；
（2）设购进m个A款纪念币，则购进（80﹣m）个B款纪念币，
依题意得：15m+20（80﹣m）≤1350，
解得：m≥50．
设再次购进的A、B两款保温杯全部售出后获得的总利润为w元，
则w＝（25﹣15）m+（32﹣20）（80﹣m）＝﹣2m+960．
∵﹣2＜0，
∴w随m的增大而增小，
∴当m＝50时，w取得最大值，最大值＝﹣2×50+960＝860（元），
此时80﹣m＝80﹣50＝30（个）．
即购买50个A款，30个B款，网店可获得的最大利润是860元；
（3）设A款纪念币的售价定为a元，则每个的销售利润为（a﹣15）元，平均每天可售出6+2（25﹣a）＝（56﹣2a）个，
依题意得：（a﹣15）（56﹣2a）＝84，
解得：a1＝21，a2＝22．
答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
考点卡片
1．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
2．二元一次方程组的应用
（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．
（4）求解．
（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．
（二）设元的方法：直接设元与间接设元．
当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
3．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
4．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
5．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．
6．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
7．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．x/元
55
52
y/件
460
520
类别价格
A款纪念币
B款纪念币
进货价（元/枚）
15
20
销售价（元/枚）
25
32
x/元
55
52
y/件
460
520
类别价格
A款纪念币
B款纪念币
进货价（元/枚）
15
20
销售价（元/枚）
25
32