江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试卷(解析版)

这是一份江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期期中数学试卷(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分.
1. 已知向量则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】.
故选：D
2. A同学准备五一假期从淮安到南京旅游，目前有两种方案可供选择，淮安东站到南京南站有8列高铁可供选择，淮安汽车站到南京汽车站有6辆大巴可供选择，请问该生有多少种方法去南京（ ）
A. 14种B. 48种C. 196种D. 2304种
【答案】A
【解析】根据分类加法计数原理可得，该生有种方法.
故选：A
3. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，
所以，所以.
故选：C
4. 可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，
故选：D
5. 的展开式中的系数为（ ）
A. 12B. 16C. 20D. 24
【答案】B
【解析】由二项式的展开式的通项为，
则展开式中项为，
所以展开式中的系数为.
故选：B.
6. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（ ）
A. 360种B. 120种C. 60种D. 30种
【答案】A
【解析】依题意从6同学中选出1人安排到一个场馆有，再从剩余5人安排2人到一个场馆是，最后剩余3人安排到一个馆，
根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种．
故选：A．
7. 平行六面体 中，，， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为六面体是平行六面体，
所以，所以
，
所以.
故选：B
8. 已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】将四面体放在如图所示的长方体中，
因为，，
设长方体的长，宽，高分别为，，，
则，可得，，
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以的中点，所以，，
所以，，，
所以．
设直线，所成的角为，,，所以,．
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 各项系数和为2187
B. 第4项与第5项的系数相等
C. 二项式系数最大为35
D. 的项的系数为21
【答案】AC
【解析】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，
所以A正确；
对于B中，二项式展开式的通项为，
可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为，
所以展开式第4项和第5项的系数不相等，所以B不正确；
对于C中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大，
二项式系数的最大值为，所以C正确；
对于D中，由二项式展开式的通项为，
可得的项的系数为，所以D错误.
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事
B. 从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是35
C. 能被100整除
D. 已知，则，
【答案】ACD
【解析】对于A中，由分类计数原理的概念知，在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，所以A正确；
对于B中，从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，可得分为两类：
①当1男2女时，有种；②当2男1女时，有种，
由分类计数原理得，共有种不同的选法，所以B错误；
对于C中，由
，
所以能被整除，所以C正确；
对于D中，由，可得，所以D正确.
故选：ACD.
11. 在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ）
A. 与共面
B. 与夹角为
C. 平面与平面夹角的正弦值为
D. 若正方体棱长为2，则到直线的距离
【答案】ACD
【解析】对于A，由于，而与显然是共面向量，
所以与共面，故A正确；
对于B，
因为，
所以异面直线与所成的角就是，
而在三角形中，由正方体和各面对角线长相等，可知它是等边三角形，
所以，
即与夹角为，故B错误；
对于C，
如图建系：设正方体的边长为，可知：，，，
则设平面的法向量为
则，令，则，
即
而平面的法向量可以取轴方向上的单位向量
则，
即，
所以平面与平面夹角的正弦值为，故C正确；
对于D，
过点作的垂线，垂足为，由点为中心，可知为的中点，
由正方体可知平面，因为平面，
所以，因为正方体棱长为，所以，，
则由勾股定理得：，
解等腰三角形得：底边边上的高为，所以三角形面积为，
即点到直线的距离等于，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，，则向量与的夹角为_____
【答案】
【解析】设向量与的夹角为，
则，
故.故答案为：
13. 已知随机事件A.B满足，则_____
【答案】
【解析】因为，所以，
所以，故答案为：
14. 某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示）
（1）有________种不同的安排方法；
（2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同的安排方法．
【答案】①540 ②100
【解析】（1）6位同学分为3组可以分三类.
第一类：1人，1人，4人分组，有种；
第二类：1人，2人，3人分组，有种；
第三类：2人，2人，2人分组，有种.
根据分类加法计数原理，共种.
再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.
根据分步乘法计数原理，共种.
（2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆.
按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类.
第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种.
第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种.
第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆.
第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种.
根据分类加法计数原理，共种.
故答案为：540；100.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 求值（用数字表示）
（1）
（2）
（3）
解：（1）；
（2）；
（3）依题意可得，又，解得或，
当时；
当时.
16. 已知点
（1）表示出，并求
（2）证明：与四点共面
解：（1）,
所以，故，
（2）设，
解的，
，则共面，又因为为公共点，所以这四个点共面
17. 4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示）
（1）.4人均来之不同学校有多少种安排；
（2）.4人中有男有女有多少种安排；
（3）.若4人已经选出请分别解答下列两个问题
①4名同学不相邻；
②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧.
解：（1）根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有种安排方法；
（2）根据题意，在12人中选出4人，有种排法，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种,
则4人中有男有女有种，
（3）根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，
则有种安排方法；
②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可，
有种排法.
18. 已知三棱锥中和所在平面互相垂直，，求
（1）与所成角的余弦值；
（2）与平面所成角的正弦值；
（3）直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由.
解：（1）在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直，
且平面平面，所以平面，
因为平面，
所以，
又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系
则
，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为;
（2）平面BCD的法向量，
所以，
则与平面所成角的正弦值为；
（3）假设存，设，
设平面CDP的法向量，
，取，则，，
则，
所以或，则点P存在，
所以或.
19. 有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球.
（1）从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率；
（2）从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件
①求
②求
解：（1）；
（2）①，
，
，
；
②，
.