陕西省榆林市定边县第四中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

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考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两事分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0，5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3考生作答时，请将答蒙答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第二章~第三章第1节.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则（ ）
A. B.0 C.1 D.2
3.已知圆与圆，则与的位置关系为（ ）
A.内切 B.相交 C.外切 D.外离
4.在长方体中，为棱的中点.若，则（ ）
A. B.
C. D.
5.两平行直线与之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
6.已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
7.过作与圆相切的两条直线，切点分别为，，且，则（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
8.如图，圆柱的母线长和底面直径相等，分别是下底面圆和上底面圆的直径，且，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A.长轴长为6
B.两个焦点的坐标分别为
C.的最大值是5
D.的周长为12
10.设，直线的方程为，则
A.直线过定点
B.若直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为
C.直线与圆相交
D.点到直线的最大距离为
11.在四面体中，，若四面体的体积为，则（ ）
A.二面角的大小可能为
B.二面角的大小可能为
C.的长可能为2
D.的长可能为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则__________.
13.若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是__________.
14.设分别为椭圆的左､右焦点，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知直线经过点，直线的方程为.
（1）若，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程.
16.（本小题满分15分）
已知三点，记的外接圆为.
（1）求的标准方程；
（2）若直线与交于两点，求的面积.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，，，点为棱上一点.
（1）证明：；
（2）当点为棱的中点时，求直线与平面所成角的正弦值.
18.（本小题满分17分）
已知椭圆经过点与点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于异于的两点，且.
①证明：直线过定点；
②求的面积的最大值.
19.（本小题满分17分）
在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中.
（1）求经过的直线的点方向式方程；
（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；
（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小.
定边四中2024~2025学年第一学期高二期中考试数学试卷
参考答案､提示及评分细则
1.A 直线可化为，所以直线的斜率.故选A.
2.B 因为，所以，解得.故选B.
3.D 易知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，所以，所以与外离.故选D.
4.D .故选D.
5.B 由题意知，所以，则化为，所以两平行直线与之间的距离为.故选B.
6.C 设，则题意可知即将点代入，得，即.故选C.
7.A 圆化为标准方程，则圆心，半径，由题意知，解得，负值舍去，在中，，且，所以，解得.故选A.
8.A 以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，在底面圆中，过点且垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，设异面直线与所成的角为，则.故选A.
9.AC 椭圆，于是，所以长轴长为正确；由方程可知，椭圆的两个焦点在轴上，又，所以两个焦点的坐标分别为，B错误；由椭圆的性质知的最大值为，C正确；根据椭圆的定义知的周长错误.故选AC.
10.BCD 对于A项，直线的方程为化为，由解得所以直线恒过定点错误；对于B项，当直线在轴上的截距为时，令，则，解得，此时直线的方程为，则在轴上的截距
为，B正确；对于C项，由A项可知直线过，因为，所以点在圆的内部，故直线与圆相交，C正确；对于D项，当点与点的连线与垂直时，点到直线的距离最大，且为正确.故选BCD.
11.BCD 因为，所以体积，其中为点到平面的距离，所以，又是二面角的平面角，所以，即二面角的大小为或，故A错误，B正确；因为，所以.当时，；当时，，故C，D均正确.故选BCD.
12. 因为，所以，则，解得.
13. 由题意知圆心到直线的距离.又因为，所以，解得或.
14. 设，由，得，由椭圆的定义知，在中，，整理得①，在中，，整理得②，由②-①，得，则，故椭圆的离心率为.
15.解：（1）由，可设直线的方程为.
将点带入方程，得，解得.
所以直线的方程为.
（2）由，可设直线的方程为.
将点代入方程，得，解得.
所以直线的方程为.
16.解：（1）设的一般方程为，
由题意可知，
解得，
所以，
故的标准方程为.
（2）由（1）可知，，半径.
则圆心到直线的距离为，
所以，
故的面积为.
17.（1）证明：因为，所以，
所以，
又，且平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：因为，所以，则.
由（1）可知两两垂直，以为原点，以所在直
线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
当点为棱的中点时，
.
设平面的一个法向量，
则即令，解得，故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
18.（1）解：设椭圆的方程为，
由题意可得解得，
故椭圆的方程为.
（2）①证明：易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，则，
联立与直线的方程，得消去并整理，得，
则，所以，
设，则.
因为，所以，
即，所以，
则，
整理，得，解得（舍去）.
所以直线的方程为，故直线过定点.
②解：由①知，则，
直线过定点，设为，则，
所以的面积为.设，则，所以，
由函数在上单调递增知，所以，当且仅当，即时等号成立，
故的面积的最大值为.
19.（1）解：由得，直线的方向向量为，
故直线的点方向式方程为（若答案写为：也正确）.
（2）证明：由平面可知，平面的法向量为，
由平面可知，平面的法向量为，
设交线的方向向量为，则，
即令，解得，故，
又平面的法向量为，
，
因为，所以.
（3）解：设侧面所在平面的法向量，
因平面经过三点，则，
所以即令，解得，
故平面的法向量，
平面的法向量为，
由（2）可求得平面与平面的交线的方向向量为，
平面的法向量为，
由，
解得，则，
所以，
故平面与平面夹角的大小为.