湖南省常德市芷兰实验学校等多校2024—-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷

这是一份湖南省常德市芷兰实验学校等多校2024—-2025学年上学期九年级第一次月考数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知反比例函数的图象经过点，那么该反比例函数图象也一定经过点（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．B．
C．D．
3．在函数（k是常数，且）的图象上有三点，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．关于x的一元二次方程中，它的一个根为，则（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数随x的增大而减小，另有函数，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．某机械厂一月份生产零件50万个，第一季度生产零件200万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．若一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是方程的两根，则该直角三角形的面积为（ ）
A．12B．10C．7.5D．6
8．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．I与R的函数关系式是
C．当时，
D．当时，I的取值范围是
9．如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，点C在x轴上，且．的面积为10，则k的值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ）
A．4B．6C．8D．10
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．若函数是反比例函数，则m的值等于______．
12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为______．
13．在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点，则k的值为______．
14．如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，若的面积为3，则k的值为______．
15．已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则代数式的值为______．
16．已知a，b，c分别是的三边，其中且关于x的方程有两个相等的实数根，则的形状为______．
17．若关于x的方程有实数解，则k的取值范围是______．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数与AB相交于点D，与BC相交于点E，若，且的面积是12，则k的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（本小题6分）
用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
20．（本小题6分）
先化简，再求值：，其中x满足．
21．（本小题8分）
关于x的一元二次方程．
（1）如果方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果是这个方程的两个根，且，求k的值．
22．（本小题8分）
如图，已知是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求三角形AOB的面积．
23．（本小题9分）
学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至时自动停止加热，进入冷却期，水温降至时自动加热，水温升至又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作，如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间x（分）与对应的水温为函数图象关系，已知AB段为线段，BC段为双曲线一部分，点A为，点B为，点C为．
（1）求出AB段加热过程的y与x的函数关系式和a的值．
（2）若水温在时为不适饮水温度，在内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？
24．（本小题9分）
已知关于x的一元二次方程
（1）若方程有一个解为0，求k的值；
（2）求证：方程有两个不相等的实数根；
（3）若的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当是直角三角形时，求k的值．
25．（本小题10分）
将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．我们定义：一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，所以5是“完美数”．
（1）数52______“完美数”（填“是”或“不是”）；
（2）已知（是整数，k是常数）要使s为“完美数”，试求出符合条件的k值，并说明理由；
（3）如图，在中，，点P在边AC上，从点A向点C以的速度移动，点Q在CB边上以的速度从点C向点B移动．若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设的面积为，运动时间为t秒，求S的最大值．
26．（本小题10分）
如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数的第一象限内的图象上，，动点P在x轴的上方，且满足．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
答案和解析
1．【答案】C
【解析】解：由题知，
因为反比例函数的图象经过点，
所以．
若两个点在同一个反比例函数图象上，
则它们的横、纵坐标的积（即k的值）相等．
因为，
故A选项不符合题意．
因为，
故B选项不符合题意．
因为，
所以C选项符合题意．
因为，
所以D选项不符合题意．
故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征可知，同一个反比例函数图象上点的横、纵坐标的积（即k的值）相等，据此可解决问题．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知同一个反比例函数图象上点的横、纵坐标的积（即k的值）相等是解题的关键．
2．【答案】C
【解析】解：直接因式分解得，
解得．
故选：C．
在方程左边两项中都含有公因式x，所以可用提公因式法．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
3．【答案】C
【解析】解：∵函数（为常数，且）中，
∴函数图象的两个分支分别在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减少，
，
，
，
，
．
故选：C．
根据反比例函数的图象与性质结合三点的横坐标进行判断即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
4．【答案】C
【解析】解：把代入方程得．
故选：C．
直接把代入方程得到a、b、c的关系，从而可对各选项进行判断．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．【答案】B
【解析】解：∵函数中y随x的增大而减小，
，且函数的图象经过第二、四象限，
∴函数的反比例系数大于零，
∴反比例函数图象经过第一、三象限，
故选：B．
先由函数中y随x的增大而减小得到，且函数的图象经过第二、四象限，然后可知函数的反比例系数大于零，从而得知反比例函数图象经过第一、三象限，即可得到结果．
本题考查了一次函数和反比例函数的图象与系数间的关系，解题的关键是熟练掌握函数的性质．
6．【答案】C
【解析】解：依题意得二、三月份的产量为，
．
故选：C．
主要考查增长率问题，一般增长后的量=增长前的量增长率），如果该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么可以用x分别表示二、三月份的产量，然后根据题意可得出方程．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识．
7．【答案】D
【解析】解：，
，
或，
所以，
即三角形的两条边长分别3、5，
所以第三边长为，
所以该三角形的面积．
故选：D．
先利用因式分解法解方程得到三角形的两条边长分别3、5，再利用勾股定理计算出第三边长为4，然后根据三角形面积公式计算该三角形的面积．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，勾股定理，掌握因式分解法解一元二次方程的方法是解题的关键．
8．【答案】D
【解析】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
，
，
与R的函数关系式是，故B不符合题意；
当时，，
，
随R增大而减小，
∴当时，，当时，，当时，I的取值范围是，故A、C不符合题意，D符合题意．
故选：D．
设I与R的函数关系式是，利用待定系数法求出，然后求出当时，，再由，得到I随R增大而减小，由此对各选项逐一判断即可．
本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键．
9．【答案】C
【解析】解：如图，连接OA，
∵反比例函数图象在第一象限，
，
∵点A在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
的面积为10，
，即，
解得：．
故选：C．
在反比例图象上任意一点，从这一点分别向x、y轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数k的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．
本题考查反比例函数k的几何意义，正确得出是解题关键．
10．【答案】A
【解析】解：∵阴影部分的面积为64，
，
设，则，
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，
故选：A．
由题意得出，设，则，再根据题意先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为3x的矩形，得到大正方形的面积为，即可得解．
本题考查了一元二次方程的应用，准确进行计算是解此题的关键．
11．【答案】
【解析】解：是反比例函数，
，
．
故答案为．
根据反比例函数的定义先求出m的值，再根据系数不为0进行取舍．
本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
12．【答案】
【解析】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是．
故答案为：．
如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程．
本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
13．【答案】2
【解析】解：∵反比例函数的图象经过点，
，
解得：，
，
，
故答案为：2．
利用反比例函数图象上点的坐标特征得到，然后解关于m的方程即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数是（为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即是解题的关键．
14．【答案】
【解析】解：轴，
，
而，
．
故答案为：．
利用反比例函数比例系数k的几何意义得到，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
15．【答案】
【解析】解：把代入，得
，
所以，
所以
故答案为：．
把代入方程即可求得的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．
本题考查了一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
16．【答案】等腰三角形
【解析】解：根据题意得，解得，
，
，
为等腰三角形．
故答案为等腰三角形．
利用判别式的意义得到，解得，然后根据三角形的分类进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
17．【答案】
【解析】解：当时，方程为，显然有实数根；
当，即时，，
解得且；
综上，．
故答案为：．
分和两种情况，其中时根据题意列出关于k的不等式求解可得．
本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
18．【答案】5
【解析】解：∵四边形OCBA是矩形，
，
设B点的坐标为，
，
，
∵点D，E在反比例函数的图象上，
，
，
，
．
故答案为5．
设B点的坐标为，根据矩形的性质以及，表示出E、D两点的坐标，根据，求出B的横纵坐标的积，进而求出反比例函数的比例系数．
此题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数比例系数k的几何意义，设B点的坐标为，根据，求出ab的值是解题的关键．
19．【答案】解：（1），
，
，
，
，
，
，；
（2），
，
，
．
【解析】（1）用配方法求解；
（2）用公式法求解；
本题考查了一元二次方程的解法，根据方程的特点、灵活选用解方程的方法是关键．
20．【答案】解：
；
满足，
，
或，
，
且，
∴当时，原式．
【解析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后解一元二次方程，求出x的值，再代入求值即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的加减乘除混合运算法则及运算顺序是解答此题的关键．
21．【答案】解：（1）∵方程有实数根，
，
解得：；
（2）是这个方程的两个根，
，
，
，
，
解得：．
【解析】（1）利用根的判别式进行求解即可；
（2）由根与系数的关系可得，再整理所求的式子，代入相应的值运算即可．
本题主要考查根的判别式，根与系数的关系，明确是一元二次方程的两根时，是解答的关键．
22．【答案】解：（1）把点代入得，
，
即；
将代入，得，
∴点A的坐标为，
∴将点A，B的坐标代入一次函数中，
得，
解得，
；
（2）当时，，
，
∴点C的坐标为，
即，
．
【解析】（1）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据待定系数法，可得一次函数的解析式；
（2）根据三角形的面积公式，三角形面积的和差，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，三角形面积公式及三角形面积的和差，熟练的求解函数解析式是解本题的关键．
23．【答案】解：（1）设直线AB的表达式为，
则，即，
将点B的坐标代入上式得：，解得，
故直线AB的表达式为，
设反比例函数的表达式为，
将点B的坐标代入上式得：，解得，
则反比例函数的表达式为，
当时，即，解得，
即；
（2）当时，，解得，
当时，，解得，
则，
即不适饮水温度的持续时间为分．
【解析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当时，，解得，当时，，解得，则，即可求解．
本题考查的是一次函数和反比例函数综合运用，正确得出函数解析是解题关键．
24．【答案】解：（1）把代入原方程得，
解得；
（2）在中，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根；
（3），即，
解得，
当BC为直角边时，，
解得，
当BC为斜边时，，
解得：（不合题意，舍），
综上：k的值为12或3；
【解析】（1）把代入原方程求解即可；
（2）根据方程的系数结合根的判别式，可得出进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（3）利用因式分解法可求出AB，AC的长，分BC为直角边及BC为斜边两种情况，利用勾股定理可得出关于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值，取其正值（利用三角形的三边关系判定其是否构成三角形）即可得出结论．
本题考查一元二次方程综合，涉及一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与直角三角形结合等，熟练掌握一元二次方程相关定义与性质是解决问题的关键．
25．【答案】是
【解析】解：（1）由可知5是“完美数”，
故答案为：是；
（2）当时，s为完美数，理由：
是完美数，
是完全平方数，；
（3）根据条件可知：．
的面积为，运动时间为t秒，
．
∴当时，S有最大值．
（1）根据“完美数”的定义得出52可以得出两个数平方和，即可得出结论；
（2）先将代数式配方，再根据新定义求解即可；
（3）根据的面积为，运动时间为t秒，利用三角形的面积公式列出方程，利用配方求出最大值即可．
本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．
26．【答案】解：（1）∵四边形OABC是矩形，，
∴点B的坐标为，
∵点B在反比例函数的第一象限内的图象上
，
∴反比例函数为，
设点P的纵坐标为，
．
，
，
在这个反比例函数图象上则，
∴点P的坐标为．
（2）过点，作直线轴．
由（1）知，点P的纵坐标为2，
∴点P在直线l上
作点O关于直线l的对称点，则，
连接交直线l于点P，此时的值最小，
则的最小值．
（3）
①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知，
，
．
②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，易知，
，
．
综上所述，点Q的坐标为．
【解析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为，根据，构建方程即可解决问题；
（2）过点，作直线轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点，则，连接交直线l于点P，此时的值最小；
（3）利用菱形的性质和勾股定理分四种情形分别求解即可解决问题；
本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、菱形的判定和性质、三角形的面积、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题．