湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份湖北省鄂北六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)，共15页。试卷主要包含了 已知在处取极小值，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数，当自变量x由1增加到时，函数的平均变化率为（ ）
A. 2B.
C. D.
【答案】C
【解析】，
，
，
故选：C
2. 下列导数运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误；
故选：B.
3. 14名同学合影，站成前排5人后排9人，现摄影师要从后排9人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意，从后排9人中抽2人调整到前排，有中不同的取法，
将前排5人和后来两人看成七个位置，
把两个人在七个位置中选两个位置进行排列，完成调整，有中不同的排法，
所以不同调整方法的总数是种.
故选：D.
4. 的展开式中奇数项的二项式系数之和为32，则展开式的一次项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由展开式中奇数项的二项式系数之和为32可得，解得；
所以二项式的展开式的通项为，
令，可得；
所以展开式的一次项为.
故选：A
5. 已知在处取极小值，则（ ）
A. 3或1B. 3C. 1D. 或
【答案】C
【解析】对函数求导可得；
易知，
解得或；
当时，令，可得，
即在上单调递减，在和上单调递增，
此时处取得极小值，满足题意；
当时，令，可得，
即在上单调递减，在和上单调递增，此时处取得极大值，不符合题意，舍去；
故选：C
6. 已知圆锥的母线长为定值R，当圆锥的体积最大时，圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，
可得，
则圆锥的体积，
则，
当时，；当时，；
则在上单调递增，在内单调递减，
可知当，即时，圆锥的体积取到最大值.
故选：B.
7. 对于数列，把它连续两项与的差记为，得到一个新数列，称数列为原数列的一阶差数列．若，则数列是的二阶差数列，以此类推，可得数列的p阶差数列．如果某数列的p阶差数列是一个非零的常数列，则称此数列为p阶等差数列，如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4的前后两项之差再组成新数列1，1，1，新数列1，1，1为非零常数列，则数列1，3，6，10称为二阶等差数列．已知数列满足，且，则下列结论中错误的有（ ）
A. 为二阶等差数列B. 为三阶等差数列
C. D.
【答案】A
【解析】由得，，
所以，即，
当时，，故C正确；
所以，即，
因为，所以，故D正确；
，
，不为常数，故A错误；
为非零常数，故为3阶等差数列，故B正确；
故选：A．
8. 已知是函数的导函数，对于任意实数x都有，，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以令，
，
所以为常数.
又因为，
所以，所以，
所以.
原不等式等价于，
即，解得或，
所以解集为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题意得：，
以上个式子累加可得，
其中时，满足上式，
所以，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，由，所以C正确；
对于D中，由，
可得，所以D正确.
故选：ACD.
10. 过抛物线上一点作两条直线，，与E的另一个交点为A，与E的另一个交点为B，抛物线的焦点为F，则（ ）
A. E的准线方程为
B. 过点M与E相切的直线方程为
C. 以为直径的圆与y轴相切
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为点在抛物线上，
所以，则，抛物线方程为，则其准线方程为，故A错误；
对于B，联立，消元得，则，
故直线与抛物线相切，又点在直线上，
则过点M与E相切的直线方程为，故B正确；
对于C，由抛物线定义知，线段中点的横坐标，即线段的中点到轴的距离为，
所以以为直径的圆与y轴相切，故C正确；
对D，设，
则，
即，
所以，即，
所以，故D正确.
故选：BCD
11. 已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ）
A. 当时，恒成立
B. 若有3个零点，则a的取值范围为
C. 当时.有唯一零点且
D. 当时，是的极值点
【答案】BCD
【解析】对于A中，当时，可得fx=e2x-x2，则f-1=e-2-1<0，
所以A错误；
对于B中，若函数有3个零点，即有三个解，
其中时，显然不是方程的根，
当时，转化为gx=e2xx2与的图象有3个交点，
又由g'x=2e2xx2-2e2xxx4=2e2x(x-1)x3，
令，解得或；
令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，函数取得极小值，极小值为gx=e2，
又由时，，所以，
即实数的取值范围为，
所以B正确；
对于C中，当时，f'x=2e2x-x=2(e2x-12x)，
设hx=e2x-12x，可得h'x=2e2x-12，
当时，，在-∞,ln12单调递减；
当时，，在ln12,+∞单调递增，
所以当时，hxmin=h(ln12)=e2ln12-14=0，所以，
所以，所以函数在上单调递增，
又因为，即，
所以有唯一零点且，所以C正确；
对于D中，当时，fx=e2x-e2x2，可得f'x=2e2x-2e2x=2(e2x-e2x)，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增，
所以是的极小值点，所以D正确.故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. ，则在处切线方程为____________.
【答案】
【解析】因为，
则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
所以在处的切线方程为，
即.
故答案为：.
13. 暑假期间，有4名教师对5名学生进行家访活动，若这4名教师每位至少到一名学生家中，又这5名学生都能且只能得到一名教师的家访，则不同的家访方案种数是____________.
【答案】240
【解析】由题意可知：有2名学生得到同一名教师的家访，
先从5名学生中选择2名作为一个整体，再与剩余的3名学生一起全排列即可，
所以不同的家访方案种数是.
故答案：240.
14. 已知当，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_________.
【答案】
【解析】由，得，
即，
设，则，
因为函数在上都单调递增，
所以函数在上单调递增，则，
所以，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，则，
所以实数的取值范围为．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求的展开式中含的项；
（2）若，求：
①；
②.
解：（1）因为的展开式的通项为，
的展开式的通项为，
所以展开式中含的项为：
；
（2）①令得：①；
令得：②；
得：，
所以；
②等式两边分别求导得：
令得：
即：
16. 如图，在三棱柱中，底面侧面，，，.
（1）证明：；
（2）若三棱锥的体积为，为锐角，求平面与平面的夹角.
解：（1）∵平面平面，平面，
平面平面，，
∴平面，
∵平面，∴，
∵，∴，
∵，∴四边形为菱形，
∴，
∵，，平面，
∴平面.
又平面 ∴.
（2）设为点到平面的距离，
，
由（1）知∴∴，
∴∴，
∵为锐角∴，
取中点，则，
以C为原点，以、、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.如图所示：
则，， ，
，设平面的法向量为，
则取，则，
由（1）知，为平面的法向量，
，
所以，平面与平面的夹角为.
17. 已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式，的正整数k的个数，求数列的前n项和．
解：（1）∵，∴，
即，∴，又，
∴为等差数列，其首项为1，公差为，
∴，
∴．
（2）由得，，，
∵，
∴满足不等式正整数k的个数为，
∴，
，
①，
②，
得：
，
∴．
18. 已知动点M到点的距离与到直线的距离之比为.
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）过点的直线与轨迹C交于P，Q两点，点P关于x轴对称的点为R，求面积的取值范围.
解：（1）设，由题意得：，
两边平方得：，化简得，
即动点M轨迹C的方程为；
（2）由题意直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，
联立，
，，
则，
化简得：，且，
若Q在直线的右侧，
则，
若Q在直线的左侧，
则，
∴，
∵，
∴
，
∵，有双勾函数的性质可得函数在上单调递减，
∴，
∴，
所以面积的取值范围.
19. 已知函数，.
（1）记，讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求a的取值范围.
解：（1）根据已知条件，有其定义域为，
，
当即时，若，则；若，则，
所以的增区间为，减区间为.
当即时在为增函数
当即时在为增函数
综上，时，的增区间，减区间；
时，的增区间.
（2）因为恒成立，，
令，则，
所以当时，等价于恒成立.
由于，，
（ⅰ）当时，，函数在上单调递增，
所以，在区间上恒成立，符合题意；
（ⅱ）当时，在上单调递增，.
①当，即时，，
函数在上单调递增，
所以在上恒成立，符合题意；
②当，即时，，，
若，即时，在上恒小于0，
则在上单调递减，，不符合题意；
若，即时，存在，使得，
所以当时，，则在上单调递减，则，不符合题意.
综上所述，a的取值范围是.