江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)

这是一份江苏省无锡市江阴市四校2023-2024学年高二下学期期中联考数学试卷(解析版)，共11页。试卷主要包含了 在的展开式中，的系数为， 展开式中的系数为等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.客观题请用2B铅笔填涂在答题卡上，主观题用黑色的水笔书写在答题卷上.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每题5分，共40分.）
1. 已知，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B
2. 函数的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设，
由图可得，
而，
故，
故选：C.
3. 已知在上单调递增，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由在上单调递增，
得在上恒成立，
即，恒成立，而在上单调递增，即，
故，
故选：A
4. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 21C. D. 15
【答案】A
【解析】含的项是由的6个括号中的5个括号取x，1个括号取常数，所以展开式含的项的系数为：.
故选：A.
5. 将数字“322469”重新排列后得到不同的偶数个数为（ ）
A. 240B. 192C. 120D. 72
【答案】A
【解析】依题意，因这个六位数中有两个“2”，故不能直接将其与其他数字全排，否则会出现重复.可将这样的偶数分成三类：
第一类，个位排4，在前面五位数位中，只需选三个排上数字3，6，9即可（剩下两个数位即排2），有种方法；
第二类，个位排6，与第一类相同，有种方法；
第三类个位排2，则前面五个数位只需将另外5个数字全排即可，有种方法.
由分类加法计数原理，不同的偶数个数为.
故选：A.
6. 展开式中的系数为（ ）
A. 60B. C. 30D.
【答案】B
【解析】，要找到展开式中含有的项，
需从中找到含有的项，即，
故的系数为.
故选：B.
7. 在一个具有五个行政区域的地图上（如图），用5种颜色给这五个行政区着色，若相邻的区域不能用同一颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A. 420种B. 360种C. 540种D. 300种
【答案】A
【解析】选用三种颜色时，必须1,5同色，2，4同色，此时有种；
选用四种颜色时，必须1,5同色或2，4同色，此时有种；
选用五种颜色时，有种，
所以一共有种，
故选：A.
8. 若函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数的定义域为R，
由，得，
令函数，
依题意，直线与函数的图象有两个公共点，
而，
显然函数在R上单调递减，
当时，，
则当时，，当时，，
即函数在上递增，在上递减，
当时，，，
而当时，恒成立，
于是当且仅当时，直线与函数的图象有两个公共点，
所以函数有两个零点，的取值范围为.
故选：A
二、多项选择题（本大题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分或4分，有选错的得0分.）
9. 已知的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则（ ）
A. B. 第3项的二项式系数最大
C. 常数项为60D. 所有系数之和为
【答案】AC
【解析】对于A，由的展开式各项的二项式系数之和为64，得，
解得，A正确；
对于B，的展开式共7项，则第4项的二项式系数最大，B错误；
对于C，展开式的常数项为，C正确；
对于D，取，得展开式的所有项系数之和为1，D错误.
故选：AC
10. 甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》，《飞驰人生2》，《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部.记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生2》”，则（ ）
A. 四名同学看电影情况共有种
B. “每部电影都有人看”的情况共有72种
C.
D. “四名同学最终只看了两部电影”的概率是
【答案】ACD
【解析】对于A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，
故四名同学的报名情况共有种，A正确；
对于B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，
再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到种，
故“每个项目都有人报名”报名情况共有36种，B错误；
对于C，由已知有：，，
所以， C正确；
对于D， “四名同学最终只报了两个项目”的概率是，D正确.
故选：ACD.
11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A. 在上单调递增
B. 恰有一个极大值
C. 当时，无实数解
D. 当时，有三个实数解
【答案】BCD
【解析】对于A，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．当时，，在上单调递增，A错误；
对于B，由以上讨论知是极大值点，B正确；
对于C，当时，，当时，，所以当时，无实数解，C正确；
对于D，当时，，由以上讨论知当时，．而，作出的大致图象如图所示．如图可知，有三个实数解，所以有三个实数解，D正确．
故选：BCD．
三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分.）
12. 已知，则正整数=____.
【答案】4
【解析】因为，
即，解得，满足题意.
故答案为：4
13. 已知在点处的切线与只有一个公共点，则的值____.
【答案】4或0
【解析】的导数为，
曲线在点处的切线斜率为，
则曲线在点处的切线方程为，
即，
由于切线与曲线只有一个公共点，
联立与，得有且只有一解，
则，即，解得或.
故答案为：或.
14. 已知函数有两个极值点，则的取值范围为________；若函数有两个极值点，则的取值范围是________．
【答案】① ②
【解析】由可得，
则是方程的两个正实数根，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
又，时，，时，，
故，即的取值范围为；
由可得，
则是方程即的两个实数根，
因为是方程的两个实数根，是方程的两个实数根，
且，所以，
则，所以，
又，由对勾函数性质可知在上单调递增，
故，即的取值范围为.
故答案为：；.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语、化学共7节课．
（1）如果物理和历史不能排在一起，则有多少种不同的排法？
（2）如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法？
（3）如果历史，语文，数学必须相邻，体育排在物理后面（不一定相邻），共有多少种排法？
解：（1）先排除物理、历史外的将其他5科，有种排法；
将物理，历史插入上述的每种排法形成的6个间隙中，有种排法，
所以物理，历史不能排在一起共有种排法.
（2）不考虑条件限制，7节课共有种排法，
第一节排体育有种排法；最后一节排数学有种排法，
而第一节排体育，且最后一节排数学有种排法，
所以第一节不排体育，最后一节不排数学，有种排法.
（3）数学、语文、历史视为一个整体，与其它4门课一起排列，有种排法，
其中体育排在物理后面的占，
数学、语文、历史的排列有种，
所以满足条件的排法有种.
16. 已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中有理项的系数之和．
解：（1）依题意，展开式的通项公式
显然第三项系数为，第四项系数为，
因此，解得，
所以的值为6.
（2）知，当时，对应的项是有理项，
当时，展开式中对应的有理项为：.
当时，展开式中对应的有理项为.
当时，展开式中对应的有理项为.
所以展开式中有理项的系数之和为．
17. 一个不透明的袋子中，放有大小相同的5个球，其中3个黑球，2个白球，不放回的依次取出2个球，求：
（1）求第次抽到黑球且第次也抽到黑球概率；
（2）已知第次抽到黑球，则第次抽到黑球的概率；
（3）判断事件“第次抽到黑球”与“第次抽到黑球”是否互相独立．
解：（1）设“第1次抽到黑球”，“第2次抽到黑球”，
第1次抽到黑球且第2次也抽到黑球的概率为
.
（2）依题意知，又，
则在第1次抽到黑球的条件下第2次抽到黑球的概率为
（3）第1次抽到黑球的概率，
第2次抽到黑球的概率.
所以，
由（1）知，
所以，
则事件“第1次抽到黑球”与“第2次抽到黑球”不相互独立.
18. 函数.
（1）求的单调区间；
（2）求在上最小值.
解：（1）由题意可知：的定义域，其导函数，
当，则在内恒成立，
可知的单调递增区间为，无单调递减区间；
当，令，解得；令，解得；
则的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）因为，由（1）可知：
当，在上单调递增，则在上最小值为；
当，在上单调递减，在上单调递增，
所以在上最小值为；
当时，在上单调递减，
所以在上最小值为.
19. 已知函数的图象在处的切线经过点.
（1）求的值及函数的单调区间；
（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
解：（1）因为，所以，
又，则，
又函数的图象在处的切线经过点，
所以，解得，
所以，函数的定义域为，又，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时恒成立，即恒成立，
所以在，上单调递增.
即的单调递增区间为，，无单调递减区间.
（2）因为不等式在区间上恒成立，
因为，则，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
又，所以，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由（1）可知上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即区间上恒成立，
所以时在区间上恒成立，
即对任意关于的不等式在区间上恒成立.