广东省珠海市六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)

这是一份广东省珠海市六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了 在数列中，若，，则， 已知函数，则的大小关系为等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色字造的钢笔或签字笔将自已的址名和考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.并用B铅笔将时应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答寒无效.
2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再进涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内相应位里上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4，考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】对A，，正确；
对B，，错误；
对C，，错误；
对D，，错误.
故选：A.
2. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ）
A. 5B. 7C. 9D. 10
【答案】B
【解析】设在等差数列的公差为，
，
解得，故，
故选B．
3. 在数列中，若，，则（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】A
【解析】在数列中，由，，得，，，
因此数列周期性数列，周期为3，
所以.
故选：A
4. 函数的导函数的图象如图所示，则下面说法正确的是（ ）
A. 函数在区间上单调递减B. 函数在区间上单调递增
C. 为函数的极小值点D. 为函数的极大值点
【答案】D
【解析】由图象知，不妨设导函数与x轴负半轴的交点横坐标为，
当或时，，当或时，，
故函数在单调递减，在单调递增，
故为极小值点，2为极大值点，对照选项，故A,B,C错误,D正确.故选：D．
5. 已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. －36或36B. －36C. 36D. 18
【答案】C
【解析】数列为等比数列，设公比为q，且，，
则，则，
则，
则，
故选：C.
6. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
7. 已知函数，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
8. 函数的导数仍是x的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作，类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地，阶导数的导数叫做n阶导数，函数的n阶导数记为，例如的n阶导数．若，则（ ）
A. B. 50C. 49D.
【答案】A
【解析】由，，
，，
依此类推，，
所以.
故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 可能是奇函数
B. 在区间上单调递减
C. 当的极大值为17时，
D. 当时，函数的值域是
【答案】ABC
【解析】因对，，显然当时，为奇函数，
即A正确；
因为，则函数的单调递增区间为和，函数的单调递减区间为，故B正确；
由得，结合选项B可知，是函数的极大值点，此时函数的极大值为，所以，故C正确；
由B可知，函数在和上单调递增，函数在上单调递减，所以无最大值，无最小值，故D错误.
故选:ABC.
10. 已知数列满足，其中，为数列的前n项和，则下列四个结论中，正确的是（ ）
A.
B. 数列的通项公式为：
C. 数列的前n项和为：
D. 数列为递减数列
【答案】ACD
【解析】因为，
所以当时，，
两式相减得，所以，
又因为当时，满足上式，
所以数列的通项公式为：，故A正确，B错误，
，
所以
，
故C正确；
因为，随着的增大，在减小，所以数列为递减数列，
故D正确.
故选:ACD.
11. 已知函数的导函数为，则（ ）
A. 若为奇函数，则为偶函数
B. 若，则为奇函数
C. 若的最小值为0，则
D. 若为偶函数，则为奇函数
【答案】ACD
【解析】由题意得：
对于选项A：若为奇函数，，则，故，又， 是偶函数，故A正确；
对于选项B：若，又，则，故，，当时，，是奇函数，当时，，不是奇函数，所以不一定是奇函数，故B错误；
对于选项C：若的最小值为0，，，则，故C正确；
对于选项D：若为偶函数，，，，解得，故，，所以为奇函数，故D正确.
故选：ACD
12. 已知n∈N*，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n＋1，则该数列的通项公式为an＝2n＋1
B. 设Tn 是数列{an}的前n项的乘积，且Tn＝n2，则该数列的通项公式an＝
C. 数列2，5，11，20，x，47，…中的x可以等于32
D. 若Sn是等比数列{an}的前n项和，则S2，S4－S2，S6－S4也成等比数列
【答案】BC
【解析】A选项的结果为an＝所以A选项不正确；B选项用退位作商法an＝C选项满足n≥2时，an－an－1＝3（n－1），然后用累加法得结果；D选项，首项为1，公比为－1的等比数列就不满足，所以D选项不正确．故选BC.
三、填空题
13. 在等差数列中，，公差为d，且成等比数列，则d=_______．
【答案】2
【解析】等差数列中，，公差为d，且成等比数列，
可得，
即为，化为，解得或，
若，即有4，6，9成等比数列，满足要求；
若，即有1，0，0不成等比数列．则成立．
故答案为：2
14. 函数的导函数为，满足关系式，则的值为_______．
【答案】
【解析】由进行求导得：，
可得：，解得．
故答案为：
15. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,….记大衍数列的通项公式为 ，若，则数列的前30项和为________.
【答案】240
【解析】由题意知，，
故数列的前30项和为
，
故答案为：240
16. 定义在上的偶函数的导函数满足，且，若，则不等式的解集为___________.
【答案】
【解析】因为，
所以
所以，
所以函数为周期函数，周期为4，
因为，
所以，
因为是定义在上的偶函数，
所以.
不等式，可化为，
令，
则，又，
所以，即在上单调递减，
因为，
，
不等式的解集为；
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知函数在时取得极大值4.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的最值.
解：（1），由题意得，
解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增.
又因为，，，，
所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0.
18. 记为等差数列的前项和，已知，.
（1）求通项公式；
（2）数列满足，，求数列的前21项和.
解：（1）设公差为，由题设有，解得，，
所以.
（2）由题设，
.
所以数列的前21项和为211.
19. 记为数列的前n项和．已知．
（1）证明：是等差数列；
（2）若成等比数列，求的最小值．
解：（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，
所以，
所以，当或时，．
[方法二]：最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，
所以，
即，
解得，
所以，即有.
则当或时，．
20. 某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）

（1）求函数的解析式；
（2）在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意，因为在曲线上，即，，
所以，．
又因为，，所以线段方程为，
所以，．
所以函数的解析式为：．
（2）由题意及（1）得，在中，
设点坐标为，则．
又，，点坐标为，
所以直角梯形的面积，
即，
所以．
令，解得．
当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以时，函数取得最大值．
故在线段上存在点，使体育馆平面图形面积最大，且到距离（百米）．
21. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
解：（1）∵，∴,∴,
又∵是公差为的等差数列，
∴,∴,
∴当时，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
显然对于也成立，
∴的通项公式；
（2）
∴
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
解：（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.