河北省保定市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

这是一份河北省保定市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在空间直角坐标系中,点关于平面的对称点( )
A.B.C.D.
2．直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．已知在空间直角坐标系中,点,,则点A到BC的中点D的距离为( )
A.B.C.7D.6
4．若直线与直线垂直,且直线与直线垂直,则( )
A.1B.-1C.2D.-2
5．若直线与直线的交点在第一象限,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6．一条光线从点射出,经过直线反射后与y轴相交于点,则入射光线所在直线的方程为( )
A.B.C.D.
7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，D，E，F分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
8．已知过点的直线l与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,O为坐标原点,则的最小值为( )
A.12B.8C.6D.4
二、多项选择题
9．已知四边形ABCD是平行四边形,,,则( )
A.B.
C.D.点B到直线AC的距离为
10．已知,,若直线与线段相交,则m的值可能为( )
A.-2B.4C.10D.-10
11．已知四棱柱的底面是边长为6的菱形,平面,,,点P满足,其中,,,则( )
A.当P为底面的中心时,
B.当时,长度的最小值为
C.当时,长度的最大值为6
D.当时,为定值
三、填空题
12．若直线与直线平行,则_____________.
13．已知在正四棱台中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为______________.
14．在平面直角坐标系中,定义为,两点之间的“折线距离”.已知,,,,点M在矩形内（含边界）且到点O,B的“折线距离”相等,则点M的轨迹长度为___________.
四、解答题
15．已知直线l经过点.
(1)若直线l与直线平行,求直线l的方程;
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程.
16．如图,在正六棱柱中,M为的中点.设,,.
(1)用,,表示向量,;
(2)若求的值.
17．如图，在几何体中，平面，，，，E，F分别为棱，的中点.
（1）证明：平面.
（2）证明：.
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图,已知四点均在直径为6的球B的球面上,,,,,,直线PO与平面AOC所成的角为,点D在线段PC上运动.
(1)证明：
(2)设平面BOC与平面KHD的夹角为,求的最大值.
19．过点作斜率分别为,的直线,,若,则称直线,是定积直线或定积直线.
(1)已知直线直线试问是否存在点A,使得直线a,b是定积直线？请说明理由.
(2)在中,O为坐标原点,点P与点M均在第一象限,且点在二次函数的图象上.若直线与直线是定积直线,直线与直线是定积直线,直线与直线是定积直线,求点P的坐标.
(3)已知直线m与n是定积直线,设点到直线m,n的距离分别为,,求的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：根据空间直角坐标系的性质,都可点关于平面的对称点是.
故选：A.
2．答案：D
解析：设直线l的倾斜角为,则,
因为,所以.
故选：D.
3．答案：C
解析：由,,则BC的中点,
则.
故选：C.
4．答案：B
解析：由题意知：直线与直线垂直,则,
直线与直线垂直,则,
即得.
故选：B.
5．答案：B
解析：由得,
因为两直线的交点在第一象限,所以,
解得：.
故选：B.
6．答案：C
解析：根据题意可得反射光线经过点,易得入射光线所在直线经过点,
因为入射光线经过点,所以入射光线所在直线的方程为,
即.
故选：C.
7．答案：B
解析：在从左往右第一个图中，因为，所以，
因为侧棱垂直于底面，所以面，
如图，以B为原点建立空间直角坐标系，设，
因为D，E，F分别是所在棱中点，所以，，，，
所以，，故，
即得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，
此时，，，，所以，，
故，所以，不垂直，
在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，
此时，，，，
故，，即，所以，不垂直，
则下列3个直观图中满足的有1个，故B正确.
故选：B
8．答案：B
解析：由题意知直线l的斜率存在.设直线的斜率为,
直线l的方程为,则,,
所以
,
当且仅当,,即时,取等号.
所以的最小值为8.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：易得,A错误.
因为四边形是平行四边形,所以,
设,,得,
所以,解得,则,B正确.
,,C正确.
点B到直线的距离为,D正确.
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：由,得,
令得
则直线l过定点.
直线l的斜率,
因为直线的斜率,直线的斜率,
所以或,
解得或.
故选：BC.
11．答案：BCD
解析：对于A,当P为底面的中心时,由,则,,故,故A错误;
对于B,当时,
当且仅当,,取最小值为,故B正确;
对于C,当时,,则点P在及内部,
而是以A为球心,以为半径的球面被平面所截图形在四棱柱及内的部分,
当,时,,当,,时,,可得最大值为6,故C正确;
对于D,, ,
而,所以
,则为定值,故D正确.
故答案选：BCD.
12．答案：4
解析：由于两条直线y的系数均不为零,即两条直线都有斜率,
则,则,直线,则,
由直线与直线平行,
所以,解得：,经检验两直线平行不重合.
故答案为：4.
13．答案：
解析：,
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：设,因为点M在矩形内（含边界）,
则,,
因为点M到点O,B的“折线距离”相等,
所以,即,
则,
当时,,
当时,,
设,,则点M的轨迹为线段,
故点M的轨迹长度为.
故答案为：.
15．答案：(1)
(2)或
解析：(1)依题意设直线l的方程为,则,解得,
故直线l的方程为.
(2)当直线l过原点时,设直线l的方程为,则,解得,
此时直线l的方程为.
当直线l不过原点时,设直线l的方程为,则,解得,
此时直线l的方程为,即.
故直线l的方程为或.
16．答案：(1),
(2)2
解析：(1),
;
(2)由题意易知,
则,,
则
.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）
解析：（1）如图，连接.
在中，E，F分别为棱，的中点，所以，，
又平面，平面.
所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，
又，平面，且，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，所以.
（3）因为，所以直线与平面所成角与直线与平面所成角相等，设为.不妨设，则.设C到平面的距离为h.则.
又.
在中，，，所以.
所以.
所以.
故直线与平面所成角的正弦为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：由题意可知为球B的直径,所以,.
又因为,所以,
,所以平面,
平面,所以,
,所以平面.
(2)如图,以O为坐标原点,,所在直线分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系,
根据题意可得,,,
则,,
所以,,,,,,
则,,,
设平面的法向量为,
则,取.
设,则.
设平面的法向量为,
则取,
.
令,,,
则,
当,即,,时,取得最大值,最大值为.
19．答案：(1)存在,,理由见解析
(2)
(3)
解析：(1)由题意可得,
由得
故存在点,使得a,b是定积直线,且.
(2)设直线的斜率为,则直线的斜率为,直线的斜率为.
依题意得得,即或-1.
直线的方程为,因为点在直线上,所以.
因为点M在第一象限,所以,解得或-2（舍去）,,,
所以直线的方程为,直线的方程为,
由得即点P的坐标为.
(3)设直线,直线,其中,
则
,
,当且仅当,即时,等号成立,
所以,即,故的取值范围为.