山西省名校2024-2025学年高一上学期10月联合考试数学试卷(含答案)

这是一份山西省名校2024-2025学年高一上学期10月联合考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.C.D.
3．金钱豹是猫科豹属中的一种猫科动物.根据以上信息，可知“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图,书架宽,在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书,已知每本英语书厚,每本语文书厚,语文书和英语书共84本恰好摆满该书架,则书架上英语书的本数为( )

A.38B.39C.41D.42
5．若,则的最小值是( )
A.2B.4C.6D.8
6．已知,,则的最大值是( )
A.1B.2C.4D.8
7．已知p是q的充分不必要条件,q是s的充要条件,s是的充分不必要条件,是q的必要不充分条件,则p是s的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．学校统计某班45名学生参加音乐、科学、体育3个兴趣小组的情况，其中有20名学生参加了音乐小组，有21名学生参加了科学小组，有22名学生参加了体育小组，有24名学生只参加了1个兴趣小组，有12名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没参加的学生有( )
A．5名B．4名C．3名D．2名
二、多项选择题
9．已知命题有些三角形是轴对称图形,命题梯形的对角线相等,则( )
A.p是存在量词命题B.q是全称量词命题
C.p是假命题D.是真命题
10．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪.直到1872年,德国数学家戴德金从连续性的定义出发,用有理数的“分割”来定义无理数,并把实数理论建立在严格的科学基础上,才结束了无理数被认为“无理”的时代.所谓戴德金分割,是指将有理数集Q划分为两个非空的子集E与F,且满足,, E中的每个元素都小于F中的每个元素,称为戴德金分割.下列结论正确的是( )
A.是一个戴德金分割
B.存在一个戴德金分割,使得E有一个最大元素,F没有最小元素
C.存在一个戴德金分割,使得E有一个最大元素,F有一个最小元素
D.存在一个戴德金分割,使得E没有最大元素,F也没有最小元素
11．已知,,且,则( )
A.的最大值为2B.的最小值为
C.的最小值为4D.的最小值为
三、填空题
12．命题“,”的否定是__________.
13．已知,,且,则的最小值是___________.
14．某班班主任为了解某组学生对羽毛球、篮球和乒乓球的喜爱情况,经调查发现喜欢羽毛球的人数多于喜欢篮球的人数,喜欢篮球的人数多于喜欢乒乓球的人数,喜欢乒乓球的人数的3倍减去4多于喜欢羽毛球的人数,且每位学生只喜欢一种球类运动项目,则该组学生喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为___________.
四、解答题
15．已知集合,.
(1)当时,求;
(2)若,求a的取值范围.
16．已知,,且.
(1)证明：.
(2)求的最小值.
17．已知关于x的方程有实根,关于x的方程的解在内.
(1)若是真命题,求a的取值范围;
(2)若p和q中恰有一个是真命题,求a的取值范围.
18．某企业要建造一个形如长方体的体育馆,其地面面积为540平方米,高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元,由于利用现成的水泥地面,因此地面不需要花钱,体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元,左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米.
(1)当前墙的长度为多少时,甲工程队报价最低？
(2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标,其给出的整体报价为（）元,且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围.
19．已知集合,若对任意的整数s,,和中至少有一个是集合A的元素,则称集合A具有性质M.
(1)判断集合是否具有性质M,并说明理由.
(2)若集合具有性质M,证明：,且.
(3)当时,若集合A具有性质M,且,,求集合A.
参考答案
1．答案：A
解析：由题设.
故选：A.
2．答案：D
解析：由,得,
对于AB,当时,,当时,,AB错误;
对于CD,由,,得,则C错误,D正确.
故选：D.
3．答案：B
解析：由“甲是金钱豹”可推出“甲是猫科动物”，由“甲是猫科动物”不能推出“甲是金钱豹”，
所以“甲是猫科动物”是“甲是金钱豹”的必要不充分条件.
故选：B
4．答案：D
解析：设书架上有x本英语书,则语文书有本,
由题意,,解得,
故选：D.
5．答案：D
解析：,当且仅当,即时,等号成立.
故选：D.
6．答案：B
解析：因为,所以,
又,
所以由不等式的可加性可得,
故的最大值是2.
故选：B.
7．答案：A
解析：由题意知,,,
所以可得,而s推不出p,
则p是s的充分不必要条件,
故选：A.
8．答案：B
解析：设三个小组都参加的人数为x，只参加音乐科学的人数为，只参加音乐体育的人数为，只参加体育科学的人数为，作出韦恩图，如图，
由题意，，
即，
因为有12名学生只参加了2个兴趣小组，所以，
代入解得，即三个兴趣小组都参加的有5人，
所以参加兴趣小组的一共有人，
所以不参加所有兴趣小组的有人.
故选：B
9．答案：ABD
解析：由题意得是存在量词命题,q是全称量词命题,A,B正确.
因为等腰三角形是轴对称图形,所以p是真命题,C错误.
因为有些梯形（例如直角梯形）的对角线不相等,所以q是假命题,是真命题,D正确.
故选：ABD.
10．答案：BD
解析：对于A,因为,所以A错误.
对于B,设,,满足戴德金分割,则E有一个最大元素1,F没有最小元素,所以B正确.
对于C,若E有一个最大元素,F有一个最小元素,则不能同时满足,,所以C错误.
对于D,设,满足戴德金分割,此时E中没有最大元素,F中也没有最小元素,所以D正确.
故选：BD.
11．答案：BD
解析：对于A：因为,,且,
所以,即,当且仅当,即时,等号成立,故A错误.
对于B：因为,,且,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,故B正确.
对于C：因为,所以,当且仅当时,等号成立.
因为,当且仅当时,等号成立,所,故C错误.
对于D：因为,所以,
所以,当且仅当,时,等号成立,故D正确.
故选：BD.
12．答案：,
解析：命题“,”的否定是“,”.
故答案为：,.
13．答案：9
解析：因为,所以,
则,当且仅当,
即,时,等号成立.
故答案为：9.
14．答案：15
解析：设该组学生中喜欢羽毛球、篮球、乒乓球的人数分别为a,b,c,则,
且根据已知条件有,结合知,即.
由于每位学生只喜欢一种球类运动项目,故喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数为.
再由,知,从而.
故.
当,,时,有,且.
所以喜欢羽毛球、篮球和乒乓球这三种球类运动项目的总人数至少为15.
故答案为：15.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为,
所以,
又,故,
所以.
(2)因为,所以,
当时,可得,即,
当时,由可得,解得.
综上,a的取值范围为.
16．答案：(1)证明见解析
(2)14
解析：(1)证明：因为,,所以,,所以.
因为,所以,即,
当且仅当,即,时,等号成立,
故.
(2)因为,所以,
所以.
因为,,所以
当且仅当,即,即或时,等号成立,
则,即的最小值是14.
17．答案：(1);
(2).
解析：(1)由解得,
当,解得,
因为命题是真命题,则命题q是假命题,
所以或.
所以实数a的取值范围是.
(2)由(1)知,命题q是真命题,即,
若p为真命题,即关于x的方程有实数根,
因此,解得,
则p为假命题时,.
当p真q假时,则,解得;
当p假q真时,则,解得.
综上,p和q中恰有一个是真命题时,a的取值范围为.
18．答案：(1)30米
(2)
解析：(1)因为体育馆前墙长为x米,地面面积为540平方米,
所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为米,
设甲工程队报价为y元,
则,
因为,
当且仅当,即时,等号成立,
所以当前墙的长度为30米时,甲工程队报价最低为元.
(2)根据题意可知对任意的恒成立,
即对任意的恒成立,
所以对任意的恒成立,
因为,,
当且仅当,即时,等号成立,
所以,
故当时,无论前墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,
19．答案：(1)集合具有性质M,理由见解析
(2)证明见解析
(3).
解析：(1)因为,,,,,都是集合A的元素,
且时,也是集合A的元素,
所以集合具有性质M.
(2)令
因为集合B具有性质M,所以和中至少有一个是集合B的元素.
因为,所以,所以不是集合B的元素,
所以是集合B的元素,即0是集合B的元素.
因为.
因为,所以,
所以,显然有,得证.
(3)由(2)可知,则,,,,
即,,,,
所以,所以.
因为,所以,且,
则或.
当时,,,,,
故集合;
当时,,,,,
故集合,此时,,不符合题意.
综上,集合.