乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)

这是一份乌兰浩特第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若直线l的方程为,,,则此直线必不经过( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．在x轴与y轴上截距分别为-2,2的直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
3．设a，b为两条直线，，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，，则D.若，，，则
4．若向量是空间中的一个基底,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得:,我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为,则向量在基底下的斜坐标为( )
A.B.C.D.
5．已知直线l经过点，且法向量，则的方程为( )
A.B.C.D.
6．已知两条直线,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7．如图，正三棱柱的棱长都是1，M是的中点，（），且，则( )
A.B.C.D.
8．如图，在棱长为的正方体中，点M是左侧面上的一个动点，满足，则与的夹角的最大值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知直线，直线，则下列结论正确的是( )
A.在x轴上的截距为B.恒过定点
C.若，则或D.若，则
10．若平面，的法向量分别是，，直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则( )
A.B.
C.l与m为相交直线D.在上的投影向量为
11．如图，球O与棱长为2的正方体的六个面都相切，P，Q，R分别为棱，，的中点，G为正方形的中心，则( )
A.球O与该正方体的体积之比为
B.球O与该正方体的表面积之比为
C.直线被球O截得的线段的长度为
D.过A，R，G三点的正方体的截面与球O的球面的交线长为
三、填空题
12．已知直线l的倾斜角为,,且这条直线l经过点,则直线l的一般式方程为________.
13．在空间直角坐标系中，已知三点，，，则点C到直线的距离为__________.
14．直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线，分别恒过定点A，B，则的最大值为________.
四、解答题
15．求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点，且斜率为；
(2)直线过点，且横截距为纵截距的两倍.
16．如图，四面体的所有棱长都是1，D，E分别是边，的中点，连接.
（1）计算的长；
（2）求点O到平面的距离.
17．如图，在四棱锥中平面，E为的中点，，，，.
(1)求证：平面平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．如图，在四棱柱中，平面，底面为梯形，，，，Q为的中点.
(1)在上是否存在点P，使直线平面，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明理由；
(2)若（1）中点P存在，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
19．在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线l以为方向向量且经过点，则直线l的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
(1)已知直线l的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线l与平面所成角的余弦值；
(2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点P到平面的距离；
(3)若集合，记集合M中所有点构成的几何体为S，求几何体S的体积.
参考答案
1．答案：A
解析：由,可得,，,
即直线l的斜率为负数,在y轴上的截距为负数,
故直线经过第二、三、四象限,即不经过第一象限.
故选:A.
2．答案：D
解析：依题意,直线经过点,,
则直线的斜率为,
故直线的倾斜角为.
故选:D.
3．答案：D
解析：对于A，，，则a，b可以异面，也可以平行，故A错误；
对于B，，，，则a，b可以平行，可以相交，也可以异面，故B错误；
对于C，若，，，则，可能平行，也可能相交，故C错误；
选项D：由于，，故在a上取向量作为的法向量，
在b上取作为的法向量，因为，故，故D正确.
故选：D.
4．答案：D
解析：由题意可得,
设,
即有
即可得,解得,即
即向量在基底下的斜坐标为.
故选:D.
5．答案：C
解析：由题意知直线的法向量是，可得其斜率为，
所以直线l的方程为，即.
故选：C
6．答案：A
解析：当时,,则,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:A
7．答案：C
解析：建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，
设，由，得，
所以，，，
所有，，
因为，，
所以，得.
故选：C.
8．答案：B
解析：以D为坐标原点，以所在直线为x轴，以所在直线为y轴，以所在直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
M是左侧面上的一个动点，设，其中，
，，，
又，
设，，
设，，
在上单调递减，在上单调递增，
且，，
，，
又且在上单调递减，时取最大值，
与的夹角的最大值为
故选：B
9．答案：ABD
解析：直线中，令，得，故A正确；
直线中，令，得，故B正确；
若两直线平行，则有，且，可得，故C错误；
若两直线垂直，则有，得，故D正确.故选ABD.
10．答案：AD
解析：，，故A正确；
，或，故B错误；
设，则，此方程组无解，则l与m为相交直线或异面直线，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD
11．答案：BC
解析：因为球O与棱长为2的正方体的六个面都相切，
对于A中，可得正方体的体积为，
球的半径为，体积为，
球O与该正方体的体积之比为，所以A不正确；
对于B中，正方体的表面积为，球的表面积为，
所以球O与该正方体的表面积之比为，所以B正确；
对于C中，连接，，可得，
再连接，在直角中，可得，
取中点M，连接，则，可得，
即点M到的距离为，
所以直线被球O截得的线段的长度为，
所以C正确；
对于D中，以D为原点，以，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，，所以，
所以点O到平面的距离为，
可得过A，R，G三点的正方体的截面恰好过球O的球心，
所以截面交线的周长为，所以D错误.
故选：BC.
12．答案：或
解析：因为,且,则,
所以直线l的斜率为,
又因为直线l经过点,则直线l的方程为,
所以直线l的一般式方程为或.
故答案为:或.
13．答案：
解析：因为，，，所以，，
所以，得到，
所以点C到直线的距离为，
故答案为：.
14．答案：4
解析：直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
直线化为，
当，得，即直线恒过点，即点，
且两条直线满足，
，即，
，
，当且仅当时，等号成立，
的最大值为4.
故答案为：4.
15．答案：(1)；
(2)或.
解析：（1）因为直线过点，且斜率为，
所以，化简可得：.
（2）当横、纵截距都是0时，设直线的方程为.
直线过点，，即直线的方程为.
当截距均不为0时，设直线的方程为.
直线过点，，解得，即直线方程为.
综上，所求直线方程为或.
16．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）因为四面体的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，
，
而且，所以，即，所以的长为.
（2）因为四面体为正四面体，所以点O在平面的射影为的中心，的外接圆半径为，所以点O到平面的距离为.
17．答案：(1)证明见详解；
(2).
解析：（1）因为平面，平面，所以，
由题知，，，所以，又
由余弦定理得，
所以，，
即，因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为，故直线与平面所成角即为.
因为，，所以，
所以，又因为E为的中点，所以，
所以，所以.
18．答案：(1)存在，P是中点，证明见解析；
(2).
解析：（1）存在，证明如下：
在四棱柱中，因为平面平面，
所以可在平面内作，
由平面几何知识可证，所以，可知P是中点，
因为平面，所以平面.
即存在线段的中点，满足题设条件.
满足条件的点只有一个，证明如下：
当平面时，因为平面，
所以过作平行于的直线既在平面内，也在平面内，
而在平面内过只能作一条直线，
故满足条件的点P只有唯一一个.
所以，有且只有的中点为满足条件的点P，使直线平面.
（2）过点D作，垂足为F，又因为平面，
所以，，两两互相垂直，
以D为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则有即
令，得，，所以.
设平面的法向量为.
则有即
令，得，，所以.
所以.
故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
19．答案：(1)；
(2)；
(3)16
解析：（1）由题可知，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，
设直线l与平面所成角为，则有，
所以，直线l与平面所成角的余弦值为.
（2）由题可知平面的法向量为，且过点，
因为，所以，所以点P到平面的距离为.
（3）建立空间直角坐标系，分别画平面，
然后得到几何体S为
几何体S是底面边长为的正方形，高为2的长方体，故几何体S的体积为.