北京市丰台区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)

这是一份北京市丰台区2022-2023学年高一下学期期末考试数学试卷(解析版)，共16页。

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】向量，，若，则有，则.
故选：C.
2. 若为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选：C.
3. 在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】角与角终边关于原点对称，
且若角的终边与单位圆⊙交于点，
所以角的终边与单位圆⊙交于点，故.
故选：B.
4. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，
则.
故选：A.
5. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，在该书的第五卷“三斜求积”中，提出了由三角形的三边直接求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”把以上这段文字写成公式，就是（其中为三角形面积，为小斜，为中斜，为大斜）.在中，若，，，则的面积等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，若，，，
则的面积．
故选：B．
6. 已知是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若∥，∥，则∥
B. 若，∥，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则∥
【答案】D
【解析】对于A，如图在长方体中，∥，∥，此时，所以A错误；
对于B，如图在长方体中，，∥，此时∥，所以B错误；
对于C，如图在长方体中，，，，此时∥，所以C错误；
对于D，如图，设，在平面作直线于点，因为，所以，
因为，所以∥，因为，，所以∥，所以D正确.
故选：D.
7. 将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图象上，则（ ）
A. ，的最小值为B. ，的最小值为
C. ，的最小值为D. ，的最小值为
【答案】A
【解析】点在函数上，所以，则，，
将，代入中可得，
，可得或，
由于，所以的最小值为．
故选：A.
8. 如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】以为原点，，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设，其中，
则，，
，
当时，有最大值6．
故选：C．
9. 如图，在正方形中，分别为边，的中点.现沿线段，及把这个正方形折成一个四面体，使三点重合，重合后的点记为.在该四面体中，作平面，垂足为，则是的（ ）
A. 垂心B. 内心C. 外心D. 重心
【答案】A
【解析】如下图所示，在四面体中，连接，
由题意知，，，
又因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
同理，，，
则是的垂心.
故选：A.
10. 如图，已知直线，为之间一定点，并且点到的距离为2，到的距离为1.为直线上一动点，作，且使与直线交于点，则△面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解法一：不妨将图形顺时针旋转，然后以点为坐标原点，
建立如图所示的平面直角坐标系，
直线的斜率存在，设方程为：，，
则直线的方程为：，
，，
的面积，
当且仅当时取等号，
的面积最小值为2．
解法二：设角则，故
所以的面积
由于，所以，故当时，面积取最小值2.
故选：C.
二、填空题. 共5小题，每小题5分，共25分.
11. 已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为______________.
【答案】
【解析】由题意，圆柱的底面半径为1，母线长为2，
根据圆柱的侧面积公式，可得其侧面积为.
故答案为：.
12. 某运动员射击一次，命中环的概率为，命中环的概率为，则他射击一次命中的环数不超过的概率为___________.
【答案】
【解析】由题意，射击一次命中的环数不超过8的概率为．
故答案为：0.4.
13. 在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是.若，则___________.
【答案】
【解析】因为向量对应的复数是，向量对应的复数是，
所以，，
因为，所以，得.
故答案为：.
14. 若函数在区间上单调递增，则常数的一个取值为___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】由函数的图象与性质，可得函数在区间上单调递增，
当时，
可得，
此时函数满足在区间上单调递增，
当时，，所以常数的一个取值可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为线段上的动点，给出下列四个结论：
①当为线段的中点时，两点之间距离的最小值为；②当为线段的中点时，三棱锥的体积为定值；③存在点，，使得平面；④当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为.
其中所有正确结论的序号是___________.
【答案】②③
【解析】对于①，当为线段的中点时，连接，如图所示，
则为线段的中点，是边长为的正三角形，
两点之间距离的最小值为到的垂线段长度，
此时，故①错误；
对于②，当为线段的中点时，连接，如图所示，
显然，到平面的距离为定值，面积为定值，
结合三棱锥体积公式可知，三棱锥的体积为定值，故②正确；
对于③，当与重合，与重合时，如图所示，
由正方体可知平面，，
因为平面，所以，
又因为平面，，
所以平面，
因为平面，所以，
同理，，
又因为平面，，
所以平面，即平面，
所以存在点，，使得平面，故③正确；
对于④，当为靠近点的三等分点时，延长交于点，
取中点，连接，如图所示，
由得四边形是平行四边形，所以，
由可知，即，
所以是中点，又因为是中点，
所以，，
所以平面截该正方体所得截面为等腰梯形，
在直角中，，同理，
所以截面的周长为，
即当为靠近点的三等分点时，平面截该正方体所得截面的周长为，
故④错误.
故答案为：②③.
三、解答题. 共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在△中，.
（1）求；
（2）若，且△的面积为，求的值.
解：（1）因为，所以由正弦定理得，
因为、，所以，
所以，即，即，
所以.
（2）由（1）知，，
因为，的面积为，
所以由，解得，
由余弦定理，所以.
17. 如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求证：平面平面.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
解：（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是平行四边形，
因为分别为棱的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，于是，
又平面平面，
所以平面.
（2）选①：
由（1）知，，且，所以，
因为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
选②：
因为，且为棱的中点，所以，
因为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
18. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）设函数，求在区间上的最大值以及取得最大值时的值.
解：（1）由图可得，且，
所以，即，所以，
又，所以，
即，所以，
又，所以，故.
（2）因为，
所以，
因为，所以，
所以当，即时，有最大值为2.
19. 在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：
其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.
（1）从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；
（2）从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；
（3）该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”人数发生了变化？说明理由.
解：（1）依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有人，
即该随机试验的样本空间有78个样本点，
设事件“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，
则事件包含个样本点，
所以.
（2）依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为；
高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为，
该随机试验的样本空间可以表示为：
{}，即，
设事件“这2人均来自高一（2）班”，则，
所以，故.
（3）设事件“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，
事件“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，
事件“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”，
假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，
则由模拟选科数据可知，，
所以，
答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：
比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.
答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化，理由如下：
事件是随机事件，虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.
20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，平面与棱交于点.
（1）求证：为棱的中点；
（2）若平面平面，，△为等边三角形，求四棱锥的体积.
解：（1）因为四边形是矩形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，
所以，即，
又为棱的中点，所以为棱的中点.
（2）因为四边形是矩形，所以，
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，平面，
所以，
因为为等边三角形，为棱的中点，所以，
因为平面，，所以平面，
即点到平面的距离为，因为，所以，
等边三角形中，，
则直角梯形的面积，
所以四棱锥的体积.
21. 设非零向量，，并定义
（1）若，求；
（2）写出之间的等量关系，并证明；
（3）若，求证：集合是有限集.
解：（1）因，所以.
依题意得，
所以，
即，所以.
（2）的等量关系是，
证明如下：
依题意得，
所以，
因为，所以
即，
所以，
故.
（3）由（2）及得.依此类推得，可设，
则，
依题意得，
，
，
所以，
同理得，
，
，
，
所以，
综上，集合是有限集.物理+化学
物理+生物
物理+思想政治
物理+历史
物理+地理
高一（1）班
10
6
2
1
7
高一（2）班.
15
9
3
1
6