高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考地区高2025届高一(上)第一次月考模拟试题三(原卷版+解析)

这是一份高一数学上学期阶段考试全真模拟卷(新教材地区使用)新高考地区高2025届高一(上)第一次月考模拟试题三(原卷版+解析)，共21页。

1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知集合，，则（ ）
A．SB．TC．RD．
2．（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断错误的是（ ）
A．B．
C．D．若，则整数a，b属同一类
3．（2022·河南省叶县高级中学高一阶段练习）若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022·湖北·宜都二中高三开学考试）已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3B．-15．（2022·全国·高一单元测试）设，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
6．（2022·全国·高三专题练习）若，，定义且,则（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022·四川绵阳·高一期末）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
8．（2022·全国·高二课时练习）设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．16B．9C．8D．4
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2022·广东·珠海市第一中学高三阶段练习）已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
10．（2022·全国·高一课时练习）下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，，则B．若，且，则
C．若，，则D．若，则
11．（2022·江苏南通·高一开学考试）已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）.
A．
B．若不等式的解集为，则
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
12．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））已知集合，，若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
14．（2022·全国·高一课时练习）已知实数，，满足则的取值范围是________．
15. 已知不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为________
16．（2022·湖南·长沙市雅礼洋湖实验中学高二开学考试），，且恒成立，则的最大值为__．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（2022·福建·泉州市第六中学高二期中）在；② ““是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若 ，求实数的取值范围.
18．（2022·辽宁·同泽高中高一开学考试）已知集合，集合，集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若，，求实数a的值．
19．（2022·四川省高县中学校高二阶段练习）设函数.
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若时，，求的最小值；
(3)若，求不等式的解集.
20．（2022·四川省开江中学高三开学考试（理））已知​，且​.
(1)求证： ​；
(2)求证： ​.
21．（2022·全国·高一专题练习）北京、张家港年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
22.（2021·江苏·高一单元测试）已知二次函数.
(1)若的解集为，求不等式的解集；
(2)若对任意，恒成立，求的最大值；
(3)若对任意，恒成立，求的最大值
新高考地区高2025届高一（上）第一次月考模拟（三）
数学试卷
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效.
3.考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则（ ）
A．SB．TC．RD．
【答案】A
【分析】对n分奇、偶讨论，判断出，即可得到.
【详解】集合，.
当时，有；
当时，有.
所以，所以.
故选：A
2．整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断错误的是（ ）
A．B．
C．D．若，则整数a，b属同一类
【答案】B
【分析】由“类”的定义对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对A，，即余数为2，正确；
对B，，即余数为1，错误；
对C，易知全体整数被4除的余数只能是0，1，2，3，正确；
对D，由题意能被4整除，则a，b分别被4除的余数相同，正确．
故选：B．
3．若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由“，”为假命题，可得“”， ，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案.
【详解】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题，
所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D．
故选：C．
4．已知命题，若命题是假命题，则的取值范围为（ ）
A．1≤a≤3B．-1【答案】C
【分析】先写出命题的否定，然后结合一元二次不等式恒成立列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】命题是假命题，
命题的否定是：，且为真命题，
所以，
解得.
故选：C
5．设，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法解出的结果，然后与0进行比较，即可得到答案
【详解】解：因为，，
所以，
∴，
故选：A
6．若，，定义且,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题抓住新定义且中x满足的条件，解不等式得到集合，进而求得，，最后求出即为所求.
【详解】
，
或
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解绝对值不等式和分式不等式，理解题目中且中x满足的条件是解题的关键，考查学生的分析试题能力与转化与化归能力，属于较难题.
7．若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】C
【分析】先由结合基本不等式求出的最小值，进而得，再解一元二次不等式即可.
【详解】由题意知，，
当且仅当，即时取等，又不等式恒成立，则不等式，
即 ，解得.
故选：C.
8．设，与是的子集，若，则称为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”（规定与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．16B．9C．8D．4
【答案】B
【分析】根据题意，子集和不可以互换，从子集分类讨论，结合计数原理，即可求解.
【详解】由题意，对子集分类讨论：
当集合，集合可以是，共4种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共2种结果；
当集合，集合可以是，共1种结果，
根据计数原理，可得共有种结果.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合新定义及其应用，其中解答正确理解题意，结合集合子集的概念和计数原理进行解答值解答额关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知关于的方程，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，方程的两个实数根之和为0
B．方程无实数根的一个必要条件是
C．方程有两个正根的充要条件是
D．方程有一个正根和一个负根的充要条件是
【答案】BD
【分析】对于A，直接解方程判断，对于B，根据必要条件的定义判断，对于CD，根据根的分布和充要条件的定义判断.
【详解】对于选项，方程为，方程没有实数根，所以选项错误；
对于选项B，如果方程没有实数根，则，所以是的必要条件，所以选项B正确；
对于选项C，如果方程有两个正根，则，所以，所以方程有两个正根的充要条件是，所以选项错误；
对于选项D，如果方程有一个正根和一个负根，则，所以，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是，所以选项D正确.
故选：BD
10．下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，，则B．若，且，则
C．若，，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】利用赋值法、作差比较法及不等式的性质即可求解.
【详解】对A：取，，则，故选项A错误；
对B：因为，，所以，故选项B正确；
对C：因为，，所以，故选项C正确；
对D：因为，所以，，所以，故选项D正确.
故选：BCD.
11．已知不等式的解集是，则下列四个结论中正确的是（ ）.
A．
B．若不等式的解集为，则
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，且，则
【答案】ABD
【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解.
【详解】由题意，不等式的解集是，
所以，，所以A正确；
对于B：变形为，其解集为，
所以，得，故成立，所以B正确；
对于C：若不等式的解集为，由韦达定理知：
，所以C错误；
对于D：若不等式的解集为，
即的解集为，由韦达定理知：
，
则，解得，
所以D正确.
故选：D.
12．下列说法正确的有（ ）
A．若，则的最大值是 -1
B．若，，都是正数，且，则的最小值是3
C．若，，，则的最小值是2
D．若实数，满足，则的最大值是
【答案】ABD
【分析】对于A，凑分母，结合基本不等式，可得答案；
对于B，根据基本不等式，结合“1”的妙用，可得答案；
对于C，根据基本不等式的变式，整理出关于所求整式的二次不等式，可得答案；
对于D，采用整体思想进行换元，分离常数，结合基本不等式，可得答案.
【详解】对于A，因为，所以，所以，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为-1，故A正确；
对于B，因为，，都是正数，且，所以，
所以
，
当且仅当，即即时等号成立，
所以的最小值为3，故B正确；
对于C，因为，，所以，
即（当且仅当时等号成立），
因为，所以，
所以，所以，
解得(舍去)或，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4，故C错误；
对于D，令，，则，，
因为，所以，同号，则，同号，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是，故D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知集合，，若，则的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】由，知，因为，，
若，则方程无解，所以满足题意；
若，则，
因为，所以，则满足题意；
故实数取值的集合为.
故选：D.
14．已知实数，，满足则的取值范围是________．
【答案】
【分析】直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．
【详解】,
则解得，则，
又，
∴，
即，
故答案为：．
15. 已知不等式的解集为或，则关于x的不等式的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解集求得参数的关系，再代入后解不等式．
【详解】由题意，所以，
不等式为，所以，，
，
故答案为：．
16．，，且恒成立，则的最大值为__．
【答案】4
【分析】将不等式变形分离出，不等式恒成立即大于等于右边的最小值；由于，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．
【详解】解：由于恒成立，且
即恒成立
只要的最小值即可
，，故，因此
故答案为：4．
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在；② ““是“”的充分不必要条件；③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合，．
(1)当时，求；
(2)若 ，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)选择①，的取值范围为；选择②，的取值范围为；选择条件③，的取值范围为
【分析】（1）解分式不等式求得集合，由参数得集合，由并集定义计算；
（2）选①，由题意有，再根据子集定义列不等式组求解；选②，由题意有，再由真子集定义求解；选③，根据交集定义与空集定义列不等式求解．
（1）
当时，集合，，
所以；
（2）
若选择①，则，则，因为，所以，
又，所以，解得，
所以实数的取值范围是；
若选择②，“ “是“”的充分不必要条件，则，
因为，所以，又，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
若选择③，，因为，，
所以或，解得或，
所以实数的取值范围是．
18．已知集合，集合，集合．
(1)若，求实数a的值；
(2)若，，求实数a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出集合，由，得到，由此能求出a的值，再注意检验即可；
（2）求出集合，由，，得，由此能求出a，最后同样要注意检验．
（1）
因为集合，
集合，且，
所以，所以，即，
解得或．
当时，，，符合题意；
当时，，，不符合题意．
综上，实数a的值为．
（2）
因为，，
，且，，
所以，
所以，即，解得或．
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意．
综上，实数a的值为．
19．设函数.
(1)若不等式的解集为，求a，b的值；
(2)若时，，求的最小值；
(3)若，求不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)
(3)详见解析.
【分析】（1）根据方程的两个根，代入原方程即可求和；
（2）利用“”与基本不等式即可求得最小值；
（3）对分类讨论，再根据一元二次不等式的性质求解即可.
（1）
由题知：的两个根分别是，
代入方程得：，解得：.
（2）
时，，即，所以有：，
那么=
=，
此时，且，
即时，有最小值.
（3）
若，则，
，即，
①当时，即，解得：，
不等式解集为：
当时，令，解得：，
②当时， 若，不等式解集为：；
若，不等式解集为：
若，不等式解集为：
③当时，不等式解集为：
20．已知​，且​.
(1)求证： ​；
(2)求证： ​.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】(1)用巧用“1”进行代入化简，再用基本不等式即可得证.
(2)将代入“”中，再进行化简，即可使用基本不等式求证.
（1）
证明：由 , 所以 . 所以
，
当且仅当 时取等号, 即 .由此得证.
（2）
证明：由 .
当且仅当 时取等号.由此得证.
21．北京、张家港年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．
(1)据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
【答案】(1)元
(2)当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元．
【分析】根据条件列出不等式，解不等式即可；
将问题转化为不等式有解问题有解，然后分离参数有解，利用基本不等式求最值．
（1）
设每件定价为元，依题意得，
整理得，解得．
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元．
（2）
依题意知，当时，不等式有解，
等价于当时，有解，
由于，当且仅当，即时等号成立，
所以．
答：当该商品改革后的销售量至少达到万件时，才可能使改革后的销售收入
不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元
22.已知二次函数.
(1)若的解集为，求不等式的解集；
(2)若对任意，恒成立，求的最大值；
(3)若对任意，恒成立，求的最大值.
【答案】(1)
(2)1
(3)
【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得的关系，化简不等式后，求解即得;
（2）利用不等式恒成立的条件，得到，进而得到，从而得到结合基本不等式求得的最大值；
（3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得的最大值,并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立.
(1)
因为的解集（1，2），
所有的根为1和2，且.
所以，，故，，
所以，即，，
所以，即不等式的解集为.
(2)
因为对任意，恒成立，所以，即，
又，所以，故，
所以，
当，时取“=”，
所以的最大值为1.
(3)
令，则，所以，
对任意，，恒成立，
所以恒成立，
所以，
所以，此时，
，
当，，时取“=”，
此时成立；
故的最大值为