(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第10讲平面的基本性质及空间两条直线的位置关系(原卷版+解析)

这是一份(苏教版2019必修第二册)高一数学寒假精品课第10讲平面的基本性质及空间两条直线的位置关系(原卷版+解析)，共33页。
1．了解平面的基本性质。
2．掌握异面直线的定义。
3．掌握异面直线所成的角。
【基础知识】
1.平面的基本性质
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的
叫做异面直线a与b所成的角.
(2)范围:0,π2.
4.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
【考点剖析】
考点一：平面的基本性质
例1-1．下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
例1-2．如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则（ ）
A．点必在直线上B．点必在直线上
C．点必在平面内D．点必在平面内

例1-3．如图，在长方体中，P为棱的中点．
（1）画出平面PAC与平面ABCD的交线；
（2）画出平面与平面ABCD的交线．

变1-1．以下说法中，正确的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3

变1-2．（多选）设P表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则

考点二：空间两条直线的位置关系的判定
例2-1．在正方体中，，分别为棱、的中点，则（ ）
A．B．C．D．

例2-2．如图是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，则在正方体中，直线与直线的位置关系为（ ）
A．相交B．平行C．异面D．重合


变2-1．若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．一定与垂直
B．一定与平行
C．一定与共面
D．与的位置关系可能是平行，相交，或异面


变2-2．己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考点三：异面直线的判定
例3．如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______对异面直线．


变3．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面

考点四：异面直线所成的角
例4-1．如图所示，在正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线与MN所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°

例4-2．在三棱锥中，，分别是的中点，若，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．

变4-1．如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是棱和的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
变4-2．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直且相等，E是AB的中点，则异面直线AC和PE所成角为（ ）
A．B．C．D．

【真题演练】
1．（2022·上海·高考真题）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次
A．B．C．D．

2．（2018·全国·高考真题（文））在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．C．D．

3．（2012·全国·高考真题（文））已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________.

【过关检测】
1．如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，

2．下列命题正确的是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆上三点确定一个平面；
③圆心与圆上的两点确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面
A．①②B．②③C．②④D．③④

3．在四棱锥中，底面是矩形，平面，E为中点，，则直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．

4.如图所示，在正三棱柱中，是的中点，.则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．1B．C．D．

5.已知定直线，定点，则直线与点A确定的平面有___________个（请填写个数）.

6．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________．

7．在正方体中，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为___________.

8.如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
③直线与直线平行；
④直线与直线异面；

9.已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.

10．如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.

11．如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
12.如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ）
A．三角形B．平面四边形
C．平面五边形D．平面六边形图形
文字语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A∈lB∈lA∈αB∈α⇒l⊂α
公理2
过不在 ,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 过该点的公共直线
若P∈α且P∈β,则α∩β=a,且P∈a
公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行
若直线a∥b,c∥b,则a∥c
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行
关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b=A
a∩α=A
α∩β=l
独有关系
图形语言
或
符号语言
a,b是异面直线
a⊂α
1.公理2的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
3.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
第10讲 平面的基本性质及空间两条直线的位置关系
【学习目标】
1．了解平面的基本性质。
2．掌握异面直线的定义。
3．掌握异面直线所成的角。
【基础知识】
1.平面的基本性质
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
3.异面直线所成的角
(1)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的锐角(或直角) 叫做异面直线a与b所成的角.
(2)范围:0,π2.
4.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
【考点剖析】
考点一：平面的基本性质
例1-1．下列说法中正确的是（ ）
A．空间三点可以确定一个平面
B．梯形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面内，又在平面内，则平面和平面重合
D．两组对边都相等的四边形是平面图形
【答案】B
【分析】
利用平面的基本性质逐一判断即可.
【详解】
对于A，当三个点在同一直线上时，不能确定一个平面，故A不正确；
对于B，梯形是一组对边平行且不相等，因此一定是平面图形，故B正确；
对于C，当在一条直线上时，平面和平面也可能相交，故C不正确；
对于D，当四边形的对边所在直线是异面直线时，四边形不是平面图形，故D不正确，
故选：B．
例1-2．如图，在空间四边形各边上分别取点，若直线、相交于点，则（ ）
A．点必在直线上B．点必在直线上
C．点必在平面内D．点必在平面内
【答案】B
【分析】
由题意连接EH、FG、BD，则P∈EH且P∈FG，再根据两直线分别在平面ABD和BCD内，根据公理3则点P一定在两个平面的交线BD上．
【详解】
如图：
连接EH、FG、BD，
∵EH、FG所在直线相交于点P，
∴P∈EH且P∈FG，
∵EH⊂平面ABD，FG⊂平面BCD，
∴P∈平面ABD，且P∈平面BCD，
由∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD，
故选：B
例1-3．如图，在长方体中，P为棱的中点．
（1）画出平面PAC与平面ABCD的交线；
（2）画出平面与平面ABCD的交线．
【答案】
（1）答案见解析；
（2）答案见解析.
【分析】
(1)平面PAC与平面ABCD的交线为AC；
(2)延长交于点E，连接CE，则CE为平面与平面ABCD的交线.
（1）
平面PAC与平面ABCD的交线为AC，如图(1).
（2）
延长交于点E，连接CE，
则CE为平面与平面ABCD的交线，如图(2).
变1-1．以下说法中，正确的个数是（ ）
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
③首尾依次相接的四条线段必共面．
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
根据平面的基本性质知①中若有三点共线则必四点共面，②中只能得到两个平面有交线，不能得到两面重合③可由空间四边形知结论错误.
【详解】
①正确，若四点中有三点共线，则可以推出四点共面，这与四点不共面矛盾；
②不正确，共面不具有传递性；
③不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面内,
故选：B
变1-2．（多选）设P表示一个点，表示两条直线，表示两个平面，下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
【答案】AB
【分析】
根据公理及直线在面内的定义，逐一对四个结论进行分析，即可求解．
【详解】
当时，P∈a，，但α，A错；
当a∩β=P时，,B错；
∵，P∈b，∴，∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又，由a与b确定唯一平面，该平面经过直线a与点P，∴该平面与α重合，
∴，故C正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故D正确.
故选：AB.
考点二：空间两条直线的位置关系的判定
例2-1．在正方体中，，分别为棱、的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根据图形，排除ABD，结合正方体性质，可证明四边形是平行四边形即可求解.
【详解】
如图，
由图形可知，选项A,B,D错误，
因为,，
所以四边形是平行四边形，
所以，
故选：C
例2-2．如图是一正方体的表面展开图，和是两条面对角线，则在正方体中，直线与直线的位置关系为（ ）
A．相交B．平行C．异面D．重合
【答案】C
【分析】
把正方体的表面展开图还原成正方体，由此能求出直线MN与直线PQ的位置关系．
【详解】
如图所示,把正方体的表面展开图还原成正方体，
由图可知直线和在正方体中是两条异面直线.
故选：C.

变2-1．若空间中四条两两不同的直线，，，，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ）
A．一定与垂直
B．一定与平行
C．一定与共面
D．与的位置关系可能是平行，相交，或异面
【答案】D
【分析】
可画出正方体，在图中标注出满足提议条件的，通过观察与的位置关系即可求解.
【详解】
如图所示，
与的位置关系可能是平行，相交，或异面．
故选：．

变2-2．己知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断.
【详解】
“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件.
故选：B
考点三：异面直线的判定
例3．如图，点P在平面ABC外，点F在BC的延长线上，E在线段PA上，则直线AB，BC，AC，EF，AP，BP中有______对异面直线．
【答案】5
【分析】
根据异面直线的定义判断即可．
【详解】
根据图形，异面直线共5对，分别是AB与EF，BC与AP，AC与BP，AC与EF，BP与EF．
故答案为：5

变3．已知，为不同的平面，a，b，c为不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则a与b是异面直线
B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面
C．若a，b不同在平面内，则a与b异面
D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面
【答案】D
【分析】
直接利用直线和平面的位置关系和异面直线的定义判断A、B、C、D的结论．
【详解】
已知，为不同的平面，，，为不同的直线，
对于A：若，，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故A错误；
对于B：若与是异面直线，与是异面直线，则与也可能是异面直线或平行直线，故B错误；
对于C：若，不同在平面内，则与是异面直线或平行直线或相交直线，故C错误；
对于D：根据异面直线的定义，若，不同在任何一个平面内，则与是异面直线，故D正确．
故选：D
考点四：异面直线所成的角
例4-1．如图所示，在正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线与MN所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【分析】
连接，，，得到就是异面直线与MN所成的角，在等边中可得答案.
【详解】
连接，，，，，
∴就是异面直线与MN所成的角或其补角，
由于是等边三角形，可知，
所以异面直线与MN所成角的大小为60.
故选：C.

例4-2．在三棱锥中，，分别是的中点，若，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
取的中点，连接，根据三角形的中位线的性质得出和，从而可知异面直线所成角为或其补角，再在中利用余弦定理求出，从而得出异面直线所成角的余弦值.
【详解】
解：如图，取的中点，连接，
因为是的中点，是的中点，所以，
同理，
所以异面直线所成角为或其补角，
在中，，
即异面直线所成角的余弦值为.
故选：C.
变4-1．如图所示，在正方体中，O是底面正方形ABCD的中心，M，N分别是棱和的中点，则异面直线NO和AM所成角的大小是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】D
【分析】
取的中点，连接，，由异面直线NO与AM所成角即为与AM所成角求解.
【详解】
如图所示：
取的中点，连接，，易知，
所以异面直线NO与AM所成角就为与AM所成角，
因为，M分别是正方形的边AD，的中点，
所以由正方形知识可知，
所以异面直线NO与AM所成角的大小为90°．
故选：D
变4-2．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直且相等，E是AB的中点，则异面直线AC和PE所成角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由于是的中点，取的中点，则，则或补角即为异面直线与所成的角．可设，运用等腰直角三角形的性质求得三角形的三边，即可得到所成的角．
【详解】
由于是的中点，取的中点，
则，
则或补角即为异面直线与所成的角．
可设，
由于、、两两垂直，且均相等，
则，，，
即有，，，
则有．
故选：．
【真题演练】
1．（2022·上海·高考真题）如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从0时转到12时（含0时不含12时）的过程中，能够相互垂直（ ）次
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
根据正四棱柱相邻侧面的线线关系即可判断.
【详解】
当时针在3时或9时相互垂直，0时或6时时针平行，其它时间时针所在直线异面但不垂直，所以能够垂直2次.
故选：B.
2．（2018·全国·高考真题（文））在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
利用正方体中，，将问题转化为求共面直线与所成角的正切值，在中进行计算即可.
【详解】
在正方体中，，所以异面直线与所成角为，
设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，
则.故选C.
【点睛】
求异面直线所成角主要有以下两种方法：
（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；
（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.
3．（2012·全国·高考真题（文））已知正方体中，、分别为的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为____________.
【答案】
【详解】
如图连接，，则,所以与所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则，在三角形中.
【过关检测】
1．如图所示，用符号语言可表示为（ ）
A．，，B．，，
C．，，，D．，，，
【答案】A
【分析】
由图可知两平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，从而可得答案
【详解】
由图可知平面相交于直线，直线在平面内，两直线交于点，所以用符号语言可表示为，，，
故选：A
2．下列命题正确的是（ ）
①三点确定一个平面；
②圆上三点确定一个平面；
③圆心与圆上的两点确定一个平面；
④两条平行直线确定一个平面
A．①②B．②③C．②④D．③④
【答案】C
【分析】
由点、线确定平面的结论可直接得到结果.
【详解】
对于①，若三点共线，则无法确定一个平面，①错误；
对于②，圆上三点不共线，则圆上任意三点可确定一个平面，②正确；
对于③，若圆上两点构成圆的直径，即与圆心共线，则此三点无法确定一个平面，③错误；
对于④，两条平行直线可确定唯一一个平面，④正确.
故选：C.
3．在四棱锥中，底面是矩形，平面，E为中点，，则直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
取的中点为，连接，然后可得或其补角即为所求，然后设，即可求出答案.
【详解】
取的中点为，连接，因为E为中点，所以，
所以或其补角即为所求，
设，所以，
所以为等边三角形，所以，
故选：C
4.如图所示，在正三棱柱中，是的中点，.则异面直线与所成角的正弦值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】
先构造辅助线，找到直线与所成角为，再利用题干中条件得到三角形BDE为等边三角形，得到，求出正弦值.
【详解】
取中点，连接DE，BE，因为是的中点，所以DE是△的中位线，所以∥，所以直线与所成角为，由于正三棱柱，，不妨设（），则，，由勾股定理得：，所以，所以，从而三角形BDE为等边三角形，所以，.
故选：B
5.已知定直线，定点，则直线与点A确定的平面有___________个（请填写个数）.
【答案】1
【分析】
根据平面的基本性质即可得出答案.
【详解】
解：因为一条直线和直线外一点只确定一条直线，
所以已知定直线，定点，则直线与点A确定的平面有1个.
故答案为：1.
6．若面，面，面，则平面与平面的位置关系_________．
【答案】相交
【分析】
根据给定条件利用平面的基本事实直接判断即可.
【详解】
因面，面，面，则面与面有公共点A，且不重合，
所以面与面的位置关系是相交.
故答案为：相交
7．在正方体中，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为___________.
【分析】
可通过连接，将和夹角转化成与所成的角，然后再去求解.
【详解】
如图所示，连接、，分别为，的中点，所以，
所以和夹角就是与所成的角，
而是正三角形，所以，所以，
直线和夹角的余弦值为.
故答案为：.
8.如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.
①直线与直线垂直；
②直线与直线相交；
③直线与直线平行；
④直线与直线异面；
【答案】①④
【分析】
画出正方体，，，故，① 正确，根据相交推出矛盾得到② 错误，根据，与相交得到③ 错误，排除共面的情况得到④ 正确，得到答案.
【详解】
如图所示的正方体中，，，故，① 正确；
若直线与直线相交，则四点共面，即在平面内，不成立，② 错误；
，与相交，故直线与直线不平行，③ 错误；
，与不平行，故与不平行，若与相交，则四点共面，在平面内，不成立，故直线与直线异面，④ 正确；
故答案为：① ④.
9.已知正方体的棱长为2，若，分别是的中点，作出过，，三点的截面.
【答案】图象见解析
【详解】
10．如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：,,,四点共面.
【答案】证明见解析
【分析】
根据G，H分别是A1B1，A1C1的中点，得到GHB1C1，再由B1C1BC，利用平行公理结合平面基本性质证明；
【详解】
证明：∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是A1B1C1的中位线，
∴GHB1C1，
又∵B1C1BC，
∴GHBC，
∴B，C，H，G四点共面.
11．如图，在正方体中，若P为棱的中点，判断平面与平面ABCD是否相交．如果相交，作出这两个平面的交线．
【答案】见解析
【分析】
根据基本事实2可作两个平面的交线.
【详解】
平面与平面ABCD相交，
如图，连接、并延长交于，连接，
则平面平面.
12.如图，在正方体中，M、N、P分别是棱、、BC的中点，则经过M、N、P的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ）
A．三角形B．平面四边形
C．平面五边形D．平面六边形
【答案】D
【分析】
分别取、、的中点，连接、、、、、、、、、，先证明四点共面，再证明平面，
平面可得答案.
【详解】
如图，分别取、、的中点，连接、、、、、、、、、，且M、N、P分别是棱、、BC的中点，
所以、，且，所以， 即四点共面，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，得，且平面，平面，
所以平面，得平面，
因为，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，得，又平面，平面，
所以平面，得平面，所以六点共面，
平面六边形即为经过M、N、P与正方体相交形成的截面，
故选：D.
图形
文字语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么这条直线在此平面内
A∈lB∈lA∈αB∈α⇒l⊂α
公理2
过不在 同一条直线上的三点 ,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们 有且只有一条 过该点的公共直线
若P∈α且P∈β,则α∩β=a,且P∈a
公理4
平行于同一条直线的两条直线互相平行
若直线a∥b,c∥b,则a∥c
直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行
关系
图形语言
符号语言
a∥b
a∥α
α∥β
相交关系
图形语言
符号语言
a∩b=A
a∩α=A
α∩β=l
独有关系
图形语言
或
符号语言
a,b是异面直线
a⊂α
1.公理2的三个推论
推论1:经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.异面直线判定的一个定理
过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线.
3.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.