考点2 函数与导数——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编(含答案)

这是一份考点2 函数与导数——五年（2020—2024）高考数学真题专项分类汇编(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设函数在区间单调递减，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
2．已知，，，则下列判断正确的是( )
A.B.C.D.
3．设函数，若，则的最小值为( )
A.B.C.D.1
4．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位:天)的变化规律，指数增长率与，近似满足，有学者基于已有数据估计出，.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为( )
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天
5．已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
6．已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( )
A.B.eC.D.
7．已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A.B.C.D.
8．若过点可以作曲线的两条切线，则( )
A.B.C.D.
9．设函数的定义域为R，且为偶函数，为奇函数，则( )
A.B.C.D.
10．设函数,,当时,曲线与恰有一个交点,则( )
A.-1B.C.1D.2
二、多项选择题
11．已知函数的定义域为R，，则( )
A.B.
C.是偶函数D.为的极小值点
12．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( )
A.B.C.D.
13．设函数，则( )
A.是的极小值点B.当时，
C.当时，D.当时，
14．设函数，则( )
A.当时，有三个零点
B.当时，是的极大值点
C.存在a，b，使得为曲线的对称轴
D.存在a，使得点为曲线的对称中心
三、填空题
15．已知函数是偶函数，则____________.
16．函数的最小值为________.
17．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则___________.
18．已知函数，，，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是___________.
四、解答题
19．已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
20．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
21．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）当时，，求a的取值范围；
（3）设，证明：.
22．已知函数.
（1）若，且，求a的最小值；
（2）证明：曲线是中心对称图形；
（3）若当且仅当，求b的取值范围.
23．已知函数和有相同的最小值.
（1）求a；
（2）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
参考答案
1．答案：D
解析：由题意得在区间上单调递减，所以，解得.故选D.
2．答案：C
解析：，即.
故选：C.
3．答案：C
解析：由及，单调递增，可得与同正、同负或同为零，所以当时，，即，所以，则，故选C.
4．答案：B
解析：，，.
若则，，，选B.
5．答案：B
解析：因为函数在R上单调递增，且当时，，所以在上单调递增，所以，即；当时，，所以函数在上单调递增.若函数在R上单调递增，则，即.综上，实数a的取值范围是.故选B.
6．答案：C
解析：法一：，由在区间单调递增可知，当时，恒成立.当时，，不符合题意.当时，设，则，则在单调递增，所以只需，解得，故选C.
法二：由题意可知在区间上恒成立，即，.设，则在上恒成立，所以在上单调递增，，所以，即，故选C.
7．答案：B
解析：因为当时，，所以，.对于，令，得；令，得；依次类推，得；；；；；；；；；；；….显然，所以，故选B.
8．答案：D
解析：设，则.过点可以作曲线的两条切线，设切点，则，所以切线方程为.
将代入切线方程，得，即.因为过点可以作两条切线，所以方程有两个不相等的实数根.设，，则函数与的图象有两个交点.因为，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以，所以.又当时，，当时，，所以要使两函数的图象存在两个交点，则.综上所述，.故选D.
9．答案：B
解析：因为函数是偶函数，所以，则函数的图象关于直线对称.因为函数是奇函数，所以，则，即，所以，且函数的图象关于点对称.又，则，所以，所以.又函数的图象关于直线对称，所以，故选B.
10．答案：D
解析：解法一：令,即,可得,
令,,
原题意等价于当时,曲线与恰有一个交点,
注意到,均为偶函数,可知该交点只能在y轴上,
可得,即,解得,
若,令,可得
因为,则,当且仅当时,等号成立,
可得,当且仅当时,等号成立,
则方程有且仅有一个实根0,即曲线与恰有一个交点,
所以符合题意;
综上所述：.
解法二：令,
原题意等价于有且仅有一个零点,
因为,
则为偶函数,
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0,
即,解得,
若,则,,
又因为,当且仅当时,等号成立,
可得,当且仅当时,等号成立,
即有且仅有一个零点0,所以符合题意;
故选：D.
11．答案：ABC
解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.故选ABC.
12．答案：ACD
解析：因为随着p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正确；由，得，因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确.
13．答案：ACD
解析：因为，所以，令，解得或，当或时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，故是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以A正确.
当时，，即，又函数在上单调递增，所以，所以B错误.
当时，，函数在上单调递减，所以，所以C正确.
当时，，所以，所以D正确.
综上，选ACD.
14．答案：AD
解析：由题可知，.
对于A，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，，，当时，，故有三个零点，A正确；对于B，当时，由得，由得或，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，B错误；
对于C，当时，，当时，，故曲线必不存在对称轴，C错误；
对于D，解法一：，令，则可转化为，由为奇函数，且其图象关于原点对称，可知的图象关于点对称，则的图象关于点对称，故存在，使得点为曲线的对称中心，D正确.故选AD.
解法二：任意三次函数的图象均关于点成中心对称，D正确.故选AD.
15．答案：1
解析：本题考查函数的奇偶性.因为为偶函数，所以，所以，由得.
16．答案：1
解析：本题考查分段函数的概念与单调性.因为所以当时，单调递减，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又因为，所以当时，取得最小值1.
17．答案：
解析：由题，令，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为.令，则，设直线与曲线相切于点，则，得，则，所以，所以.
18．答案：
解析：当时，，；当时，，.因为函数的图象在点A，B处的两条切线互相垂直，所以，即，所以.因为，，所以函数的图象在点A，B处的切线方程分别为，，分别令，得，，所以，，所以.令，则，所以函数在上单调递增，所以.又当时，，，所以当时，，所以，所以的取值范围是.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，则，
则.
，所以切点坐标为，
所以切线方程为，即.
（2）易知函数的定义域为R，.
当时，，函数在R上单调递增，无极值；
当时，由，得，由，得，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以的极小值为.
由题意知，等价于.
法一：令，
则，
所以函数在上单调递减，
又，故当时，；当时，.
故实数a的取值范围为.
法二：由，得.
如图为函数与在区间上的大致图象，
由图易知当时，，即.
所以实数a的取值范围为.
20．答案：(1)当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
解析：(1)，
当时，，
所以函数在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上可得：当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)由(1)得当时，函数的最小值为，
令，，
所以，令，得；令，得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
所以当时，成立.
21．答案：（1）当时，单调递减；
当时，单调递增
（2）
（3）证明见解析
解析：（1）当时，，所以.
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
（2）令，则对恒成立等价于对恒成立.
因为，所以.
令，则，则.
①若，即，则，
所以，使得当时，有，即，
所以单调递增，所以，矛盾.
②若，即，
则，
所以在上单调递减，所以，符合题意.
综上所述，实数a的取值范围是.
（3）证明：令，，则.
所以在上单调递增.所以，即.
令，则，
所以，即，
所以
.
故.
22．答案：（1）-2
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）的定义域为，
若，则，，
当时，，，则，
故a的最小值为-2.
（2）
，
故曲线关于点中心对称.
（3）由题知，
此时，
.
记，，易知在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，，在上单调递增，
又，故符合题意.
当时，，，
令，得，
因为，所以，故，，
所以当时，，，在上单调递减，故，不符合题意.
综上，b的取值范围为.
23.
（1）答案：
解析：的定义域为R，的定义域为.
，.
①当时，恒成立，所以在R上单调递增，即没有最小值，不符合题意.
②当时，在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得极小值，即为最小值，最小值为.
在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在时取得极小值，即为最小值，最小值为.
因为和有相同的最小值，
所以，即.
因为，所以上式等价于.
令，则恒成立，
所以在上单调递增.
又因为且，所以.
（2）答案：证明见解析
解析：证明：由（1）知，.
在上单调递减，上单调递增，且；
在上单调递减，上单调递增，且.
所以曲线，的大致形状如图所示.
设直线与曲线，三个交点的横坐标分别为，，，
所以，，，且，
，
所以，即.
又，，所以，，①
且，即.②
由①②得，
所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40