2024-2025学年河南省安阳市初中学业水平考试数学试题

这是一份2024-2025学年河南省安阳市初中学业水平考试数学试题，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是．小明将数据用科学记数法表示为，则n的值是（ ）
A．B．C．6D．7
3．如图是几个大小相同的小立方块搭成的几何体的俯视图，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A．垂线段最短B．相等的角是对顶角
C．同位角相等D．对角线相等的平行四边形是菱形
6．已知实数m，n是关于x的一元二次方程的两个根，则代数式的值是（ ）
A．B．7C．D．11
7．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪成四部分，恰能拼成一个没有缝隙且不重叠的等腰三角形，则这个正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为（ ）
A．B．C．D．
8．已知二次函数的图象经过点，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
9．如图，正方形的面积为18，点E为对角线上不与点A，C重合的一个动点，过点E作于点F，于点G，连接．当点E从点A向点C运动的过程中，有以下结论：①；②与互余；③整个过程中，有4个时刻的长是整数；④四边形的最大面积为．其中正确的结论是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
10．如图，将抛物线先向左平移1个单位长度，再把所得新图象位于直线上方的部分，以直线为对称轴作对称，得到如图所示的图象G．当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
11．化简： ．
12．已知a，b，c使等式成立，则代数式的值是 ．
13．将一副三角板按如图所示摆放，过点E作直线，过点F作直线，且．若，则 ．
14．如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径分别画弧，两弧相交于点M，N，作直线，与相交于点D，则的长为 ．
15．如图，半圆的直径长为8，点C，D是半圆的三等分点，连接，BD，过点C作，垂足为E，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）通过学习，我们知道，乘积为1的两个数互为倒数．
在计算时，小明发现直接计算比较麻烦，但是计算比较简单，而且在求得结果后，只需要取其倒数，就可得出原式的结果．
利用小明的方法先化简，并在，，1，2中选择一个你喜欢的数作为x的值代入求代数式的值．
17．已知关于x的分式方程．
(1)当时，甲同学的解题过程如下：
甲同学从第__________步开始出现错误，请你写出正确的解法；
(2)若该方程去分母后所得的整式方程的解是增根，求m的值．
18．为了培养青少年养成运动的良好习惯，同时也为明年的体育中考做好准备，某中学对进入九年级的学生进行了一次体育模拟测试，获得了他们的成绩（百分制），并对成绩进行了整理、分析，从而有目的的指导学生进行体育训练．
下面是给出的部分信息：
①随机抽取男同学和女同学各20名；
②男同学成绩的频数分布直方图如下（数据分为4组：，，，）；
③男同学成绩在这一组的具体分数是：82，83，84，84，84，87，89，
女同学成绩在这一组的具体分数是：82，87，89，89，89，89；
④对男同学和女同学的成绩初步统计后的结果如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)求表中m的值；
(2)女同学小红和男同学小宇的成绩都是86分，这两名学生在各自性别组中成绩排名更靠前的是__________（填“小红”或“小宇”），并说明你的理由；
(3)成绩不低于85分的学生成绩记为优秀，假设该校九年级有女学生240人，男学生260人，且所有学生都参加了模拟测试．你能估计该校九年级有多少人的成绩记为优秀吗？
19．为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某商场购进甲、乙两种装饰物对商场进行布置．已知每件甲种装饰物的价格比每件乙种装饰物的价格贵4元，用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同．
(1)求该商场购进甲、乙两种装饰物的单价各是多少元；
(2)当商场装饰完工后，发现还剩余甲种装饰物和乙种装饰物共400件，且购入成本不超过3000元．为了降低装饰成本，商场决定将甲种装饰物以每件13元，乙种装饰物以每件8元的价格对外出售．如果将剩余的这400件装饰物全都售完，剩余甲、乙装饰物的数量分别为多少时，商场获得的利润最大？最大利润是多少？
20．已知在一些边长相同的小正方形组成的网格中，正方形的四个顶点都在小正方形的顶点上．点P为对角线上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形．
(1)当点P（在小正方形的顶点上）的位置如图所示时，请用直尺画出平行四边形；
(2)当的最小值为时，求正方形的边长．
21．如图，已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点M为线段的中点．
(1)点M的坐标为____________________；
(2)y轴上有一动点Q，连接，求周长的最小值及此时点Q的坐标；
(3)在（2）的条件下，当的周长最小时，若x轴上有一点F，过点F作直线轴，交直线于点G，交直线于点H，若的长为3，求点F的坐标．
22．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与y轴交于点，与x轴交于点．
(1)求此抛物线的函数表达式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点A的坐标；
(2)点P是直线AB下方，直线左侧的抛物线上一点，过点P作轴，交AB于点E，作轴，交直线右侧的抛物线于点F，若，求点F的坐标．
23．正方形和正方形如图1摆放，且B，A，G三点共线．
(1)正方形的边长为a，正方形的边长为b，．当，时，四边形的面积=__________；
(2)若正方形可以绕点A顺时针进行旋转，且旋转角度小于．
①如图2，连接，探究的数量关系，并说明理由；
②如图3，连接，在旋转过程中，若点P为的中点，连接，试判断和的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若某时刻，请直接写出的面积．
解：（第一步）去分母，得：，
（第二步）去括号，得：，
（第三步）合并同类项，得：，
（第四步）系数化为1，得：，
（第五步）检验：当时，，所以是增根，
（第六步）所以原分式方程无解．
性别
平均数
中位数
众数
女
82.1
88
89
男
83.5
m
84
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了相反数，根据数字相同，符号相反的两个数互为相反数即可求解，掌握相反数的定义是解题的关键．
【详解】解：的相反数是，
故选：．
2．C
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：数据用科学记数法表示为．
∴n的值是6．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图，结合左视图的意义画图，解答即可．
【详解】解：从左面看应该有2列，左边一列有3个正方形，右边一列有3个正方形，如图所示：
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意；
C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了命题的知识，解题关键是掌握垂线段最短，两直线平行，同位角相等，相等的角的条件，对顶角的定义，菱形的判定等知识，根据以上知识依次判断即可．
【详解】解：A、垂线段最短是真命题，故符合题意；
B、相等的角是对顶角是假命题，例如同角的余角相等，但它们不一定是对顶角，故不符合题意；
C、因为两直线平行，同位角相等，所以该选项命题是假命题，故不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形一定是矩形，不一定是菱形，所以该选项命题是假命题，故不符合题意；
故选：A ．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，可得，，再整体代入求解代数式的值即可．
【详解】解：，即，
∵m，n是关于的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴
；
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系． 如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，设，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比．
【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，
设，
根据题意，得
，
∴，
解得： (负值舍去)，
∴，
∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为：
．
故选：C．
8．D
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系．根据二次函数的图象和性质逐项进行判断即可．
【详解】解：由题意得，，
将代入得，，
∴，
∵，
∴，，
故选：D．
9．B
【分析】①连接，易知四边形为矩形，可得，由可得，所以；②由矩形可得，则，推出，根据，得出，即可得出结论；③根据垂线段最短，得出当点E到达点H时，最小，且最小值为3，得出，从而得出可以取到整数值为3，4，且取整数值为4的时刻有2个，取整数值3的时刻有1个，从而得出答案；④为等腰直角三角形，得出，设，则，根据求出最大值即可．
【详解】解：①连接，交于点O，如图，
∵正方形的面积为18，
∴正方形的边长为，
∵四边形是正方形，
∴，
，
∵
∴
∵
∴四边形为矩形，
∴，，
在和中
∴
∴，
∴，故①正确；
②∵，
∴，
由①知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与互余，故②正确；
③连接交于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，
∵垂线段最短，
∴当点E到达点H时，最小，且最小值为3，
∵点E为对角线上不与点A，C重合，
∴，
∵，
∴可以取到整数值为3，4，且取整数值为4的时刻有2个，取整数值3的时刻有1个，
∴整个过程中，有3个时刻的长是整数，故③错误；
④∵正方形中，，
又∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵四边形为矩形，
∴
，
∵，
∴，
∴四边形面积的最大值为，故④正确；
综上所述，正确的结论为：①②④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，根据图形位置的特点通过添加辅助线构造全等是解题的关键，也是解决此类问题常用的方法．
10．C
【分析】首先求出抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为，然后求出当直线位于时m的值，当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点，然后与抛物线联立，得到，求出，进而结合图象即可求出当直线与图象G只有四个交点时，m的取值范围．
【详解】解：如图所示，
将抛物线先向左平移1个单位长度，得到抛物线为
令，则，
解得或，
，
平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．
当直线位于时，此时过点，
，即；
当直线位于时，此时与函数 的图象有一个公共点，
方程，
即有两个相等实根，
，
即；
由知若直线与新图象只有四个交点，的取值范围为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点，解题的关键是正确分析图象．
11．/
【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查比例的性质．设，求得，得到，然后代入代数式化简解题即可．
【详解】解：设，
∴，，，
∴，
∴，解得，
∴，
∴，
故答案为：．
13．45
【分析】本题主要考查平等线的判定与性质，根据题意得，再证明，由平行线的性质可得结论．
【详解】解：如图，
由题意得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：45．
14．/
【分析】本题考查了勾股定理、线段垂直平分线的性质．先由勾股定理求得，再根据线段的垂直平分线性质得到，再设，然后在中利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：连接．

∵，，，
∴，
由作图可知，点D在线段的垂直平分线上，则．
设，则．
在中，，
即．
解得：．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了圆的性质，涉及到了同弧或等弧所对的圆周角（圆心角）相等、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，正确构造全等三角形以及运用转化的思想是解题的关键，本题将求阴影面积转化为即可求解．
【详解】解：如图，连接，过D点作于F，
∵ 点C，D是半圆的三等分点，
∴，且每段弧所对的圆周角是30°，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积
∵，
∴是等边三角形，
∵半圆的直径长为8，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积；
故答案为： ．
16．（1）；（2），当时，原式．当x=-1时，原式
【分析】此题考查了负整数指数幂，二次根式的乘法，分式的混合运算以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先计算负整数指数幂，二次根式的乘法，然后计算加减即可求解；
（2）首先根据分式的混合运算法则化简，然后根据分式有意义的条件得到，，然后将代入求解即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
∴原式
∵
∴，，
∴当时，原式
当x=-1时，原式
17．(1)一，正确解法见解析
(2)
【分析】本题考查了分式方程的增根，步骤如下：①分式方程化为整式；②最简公分母为0确定增根；③将增根代入整式方程求解．也考查了解分式方程．
（1）检查甲同学解方程过程，找出错误步骤分析即可；
（2）原分式方程化为整式方程，根据方程有增根，得到，将其代入整式方程即可求解．
【详解】（1）解：甲同学从第一步开始出现错误，
正确的解法：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解；
（2）解：去分母，得：，
∵原方程有增根，
∴，即，
把代入整式方程得，
解得，
∴原方程有增根时，．
18．(1)；
(2)小宇
(3)该校九年级约有161人的成绩记为优秀．
【分析】本题考查频数分布直方图，平均数，中位数众数的意义和用样本估计总体，准确理解这些概念是解题的关键．
（1）结合题意，根据中位数的意义解答即可；
（2）根据中位数的意义，比较女同学和男同学的中位数即可得出答案；
（3）利用样本估计总体即可得到答案．
【详解】（1）解：男同学一共有20名同学，在和共有人，
中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据在这一组的第2，3个数，分别为83、84
故中位数；
（2）解：小宇；
理由：小红的成绩为85分低于女同学成绩的中位数88分，故小红的成绩低于女同学一半的学生成绩；
小宇的成绩为85分高于男同学成绩的中位数83.5分，故小宇的成绩高于男同学一半的学生成绩，所以学生小宇的成绩在本年级排名更靠前；
故答案为：小宇；
（3）解：女同学的中位数为88分，而女同学成绩在这一组的具体分数是：82，87，89，89，89，89；
∵中位数是成绩数据由小到大排列后第10，11个数据，
∴第10个数据是87，
∴女同学的成绩不低于85分的人数有10人，
男同学的成绩不低于85分的人数有人，
∴（人），
估计该校九年级约有161人的成绩记为优秀．
19．(1)每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
(2)剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，根据“用400元购买甲种装饰物的件数恰好与用240元购买乙种装饰物的件数相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，根据“购入成本不超过3000元”可得出关于m的一元一次不等式，求得，再根据得到关于m的一次函数，利用二次函数的性质即可得出结论；
【详解】（1）解：设每件乙种装饰物的价格为x元，则每件甲种装饰物的价格为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种装饰物的价格为10元，每件乙种装饰物的价格为6元；
（2）解：设剩余甲种装饰物m件，则剩余乙种装饰物件，商场获得的利润为元，
根据题意得，
解得，
则，
∵，
∴随m的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为，
此时，
答：剩余甲种装饰物150件，则剩余乙种装饰物250件，商场获得的利润最大，最大利润为950元．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，利用垂线段求最小值，相似三角形的判定与性质，熟练运用垂线段求最小值是解决本题的关键．
（1）根据平行四边形两组对比分别平行的性质画图即可；
（2）设与交于点，根据平行四边形的性质可知，，得出最短时，最小，再过作的垂线,垂足为，此时最短，再得出，根据相似比求出正方形边长即可．
【详解】（1）以，为邻边作平行四边形，如图所示
（2）设与交于点，
为平行四边形，
，
最短时，最小，
过作的垂线,垂足为，此时最短，
的最小值为，
，
，
为公共角，
，
，
设正方形边长为，
，
，
解得，
正方形的边长为．
21．(1)
(2)周长的最小值为；
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）令，得；令，得，可得点、的坐标，再由中点坐标公式可得出点的坐标；
（2）因为A和M坐标知道，所以长度为定值，要求周长的最小值，实则是求的最小值，即的长；
（3）运用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，得出，，根据列方程求出的得解．
【详解】（1）解：对于，
令，得；
令，得，
解得：，
∴，
∵点M为线段AB的中点，
∴，即，
（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，如图，
则，
∴,
∵,
∴，
∵点是固定点，
∴，
∴周长的最小值为,
又,
∴
∴,
∴周长的最小值为；
设直线的解析式为，
把代入，得，
，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴；
（3）解：设直线的解析式为，
把代入，得：
，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为
又过点的直线与交于点，
∴，
又直线和解析式与直线交于点，
∴，
∵,
∴，
整理得，，
解得，，或，
∴点的坐标为：或．
22．(1)；；
(2)点F坐标为 ．
【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点，二次函数与几何图形的综合等问题，关键是利用二次函数的性质求解．
（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式；令，得，解方程即可求解；
（2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，求出，再解方程求出m的值，并得出点F坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，
，
把，代入y=ax2+bx+c得：
解得
∴抛物线的函数表达式为；
令，则，
，
；
（2）解：设直线解析式为，
把代入得：
，
解得，
∴直线解析式为，
设，则，，
，
∵点P是直线AB下方，直线左侧的抛物线上一点，
，
，
，
整理得，
解得（舍），
∴当时，，
此时点F坐标为 ．
23．(1)15
(2)①，理由见解析②，理由见解析
(3)
【分析】（1）将四边形的面积转化为求梯形和的面积，计算时将算式变形为与的形式即可求解；
（2）①证明即可求证；
②利用倍长中线法构造，再证明即可求解；
（3）利用全等三角形进行等面积转化即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形的面积，且，，
∴四边形的面积．
（2）①，理由如下：
∵正方形和正方形中，，，，
∴即，
∴，
∴；
②，理由如下：
如图，延长至M，使，则，
∵点P为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
（3）解：，理由如下：
由（2）知，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、倍长中线法、求不规则图形面积、完全平方公式的变形等知识，解题的关键是发现全等三角形并运用转化的思想方法．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
B
A
A
C
D
B
C