重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份重庆市部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六､七章（不含二项分布和正态分布）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 300的不同正因数的个数为（ ）
A. 16B. 20C. 18D. 24
【答案】C
【解析】显然，则300的正因数为，
其中，
所以300的不同正因数有个.
故选：C
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，所以，
所以，即，所以.故选：A.
3. 的展开式中，系数最大的项的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为展开式的通项为：，
项的系数即为二项式系数，由为偶数，展开后一共501项，
所以展开式中系数最大的项的系数为.
故选：C.
4. 曲线在处的切线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
则所求切线的斜率为.
故选：A.
5. 已知某商品生产成本与产量的函数关系式为，单价与产量的函数关系式为，则利润最大时，（ ）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】C
【解析】设利润为，则.
因为，
所以当时，，当时，.
故利润最大时的.
故选：C.
6. 河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区，面对盐碱地改造成本高､维护难的现实，农技人员从“以种适地”角度入手，近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种，亩产量大幅提高，有力促进农民收入增长，带动农村经济发展.现有A，B，C，D四块盐碱地，计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦，若要求这两种旱碱麦都要种植，则不同的种植方案共有（ ）
A. 18种B. 16种C. 14种D. 12种
【答案】C
【解析】第一类，先选一块地种植一种旱碱麦，剩下的三块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
第二类，先选两块地种植一种旱碱麦，剩下的两块地种植另外一种旱碱麦，
则不同的种植方案有种,
故不同的种植方案共有种.
故选：C.
7. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干忧，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1.假设发送信号0和1是等可能的.某次信号传递中，在接收的信号为00的条件下，则传递过程中没有出错的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设表示“接收的信号为00”，表示“传递过程中没有出错”，
，
所以.
故选：D.
8. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对两边求导，
可得.
令，得，①
令，得，②
由①+②，得，
所以.
故选：D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，则下列正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时，
C. 当（且）时，
D. 当时，Y的均值为
【答案】BCD
【解析】对于选项A：当时，，
，
则，故A错误；
对于选项B，当时，由，，
可得，或，，
所以，
故B正确；
对于选项C，当（且）时，，
，则，故选项C正确；
对于选项D，当时，Y的可能取值为1，2，
则，
，
所以Y的均值为，故D正确．
故选：BCD
10. 已知函数的导函数的图象如图所示，则（ ）

A. 是的一个极大值
B. 是的极大值点
C. 在区间上单调递减
D. 曲线在处的切线斜率小于零
【答案】ACD
【解析】由题意可知，当或时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，
则当时，取得极大值，当时，取得极小值，
所以是的极大值点，3是的极小值点，故B错误，A，C正确；
因为，所以曲线在处切线的斜率小于零，故D正确.
故选：ACD.
11. 在平面直角坐标系中，第一､二､三､四象限内各有2个点，且任意3个点都不共线，则下列结论正确的是（ ）
A. 以这8个点中的2个点为端点的线段有28条
B. 以这8个点中的2个点为端点的线段中，与轴相交的有8条
C. 以这8个点中3个点为顶点的三角形有56个
D. 以这8个点中的3个点为顶点，且3个顶点在3个象限的三角形有32个
【答案】ACD
【解析】以这8个点中2个点为端点的线段有条，正确.
轴上方有4个点，下方有4个点，所以这样的线段有条，错误.
以这8个点中的3个点为顶点的三角形有个，正确.
先选3个象限，从这3个象限中每个象限任选1个点作为三角形的顶点，则这样的三角形有个，正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 随机变量的分布列为
则__________.
【答案】
【解析】由题可得，解得.
故答案为：.
13. 某图书角有7本数学方面的古代经典数学专著图书，分别为《议古根源》《数书九章》《测圆海镜》《详解九章算法》《算学启蒙》《四元玉鉴》《周髀算经》.若甲､乙两名同学各自从这7本书中随机选取2本，则他们每人恰好都取到1本书名中含有“算”字的图书的概率为__________.
【答案】
【解析】由题意可知，他们每人刚好取到1本书名中含有“算”字的书的概率为.
故答案为：.
14. 已知函数，若方程有两个不同的根，则的取值范围是__________.若在上单调递增，则的取值范围是__________.
【答案】① ②
【解析】函数的定义域为
方程有两个不同的根，等价于有两个不同的根，
即直线与函数的图象有两个交点.因为，
当；当
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，当时，，
所以，故的取值范围是；
若上单调递增，
则在上恒成立，
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，；当时，
此时存在使得在上单调递减，在上单调递增，
不满足题意；
当时，在上单调递增；符合题意
当时，令，令
易知在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
综上，.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）若有三个零点，求实数的取值范围；
（2）若函数在上的最小值为，求在上的最大值.
解：（1）因为，
由或.
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以函数的极大值点是：；极小值点是：.
因为函数有三个零点，所以.
故实数的取值范围是.
（2）因为，
所以.
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
因为，
所以，
所以，
所以，
故在上的最大值为.
16. 已知在二项式展开式中，第项为常数项.
（1）求；
（2）求的展开式中所有奇数项的二项式系数之和；
（3）在的展开式中，求含的项.
解：（1）由题意得第项为，
则，解得.
（2）所有奇数项的二项式系数之和为.
（3）由（1）知，
其中展开式的通项为（且），
则的展开式中，含的项为，
含的项为，
所以在的展开式中含的项为.
17. 某学院为了统计学院往届毕业生的薪酬情况，面向学院部分毕业生发放问卷以统计其薪资情况，共有1000名毕业生填写了问卷.毕业生年薪（单位：万元）以分组的频率分布直方图如图所示，已知年薪在内的毕业生人数成等差数列.

（1）求这1000名毕业生年薪的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）若采用分层抽样的方式从年薪作内的毕业生中抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取3人作为优秀毕业生代表，抽取的3人中含有年薪在内的毕业生的条件下，求抽取的3人中含有年薪在内的毕业生的概率；
（3）记（2）中抽取的3人中年薪在内的人数为，求随机变量的分布列与数学期望.
解：（1）因为年薪在内的人数为，
年薪在内的人数为，
年薪在内的人数为，
且年薪在内的毕业生人数成等差数列，
所以，解得，
所以年薪在内的人数为150.
因为，
所以，所以毕业生年薪的平均数为：
.
（2）易知采用分层抽样抽取的6人中，
年薪在内的分别有3，2，1人，
记事件为“抽取的3人中含有年薪在内的毕业生”，
事件为“抽取的3人中含有年薪在内的毕业生”，
则，
所以.
（3）随机变量可以取，
，
，
所以的分布列为：
所以.
18. 某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件．
（1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量；
（2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率；
（3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？
解：（1）设使用甲厂生产的配件M的比例为a，
则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8-a，
由已知可得，解得a＝0.5．
所以需要从甲厂订购配件M的数量为100.5＝5万个；
从乙厂订购配件M的数量为＝3万个．
（2）由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2，
所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为
，
所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028．
（3）设A＝“该轿车使用了次品配件”，“配件M来自甲厂”，“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．由（2）可知 ．
该次品配件M来自甲厂的概率为： ，
该次品配件M来自乙厂的概率为： ，
该次品配件M来自本厂的概率为： ，
所以甲厂应承担的费用为元，
乙厂应承担的费用为元，
本厂应承担的费用为元．
19. 已知函数.
（1）若，求的图象在点处的切线方程；
（2），求的取值范围.
解：（1）因为，
所以，
则.
故的图象在点处的切线方程为，即.
（2）等价于.
令，则
若，则在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意；
若，令，
则在上恒成立，
则在上单调递减，则，
当，即时，在上恒成立，即在上恒成立，
则在上单调递减，则，符合题意；
当，即时，，
则，，所以当时，，即，
故在上单调递增；当时，，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.
1
2
3
0
1
2
3