安徽省五河第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

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一、选择题：
1．B
【分析】作出图形，结合直线相交关系及斜率公式可求答案.
【详解】如图，直线的斜率为；直线的斜率为；
当直线与线段相交时，则的斜率的取值范围是或.
故选：B.

2．D
【分析】根据已知条件列方程，化简求得的值，从而确定正确选项.
【详解】抛物线的准线方程为，则，或-16．
故所求抛物线方程为或．
故选：D
3．D
【分析】利用空间向量垂直与共线的坐标表示求出、的值，求出向量的坐标，利用空间向量的模长公式可求得结果.
【详解】因为，则，解得，则，
因为，则，解得，即，
所以，，因此，.
故选：D.
4．D
【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.
【详解】（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
5．A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
6．A
【分析】如图所示，过点作，垂足为．求出，在平面内建立直角坐标系如图，求出，，，即得解.
【详解】如图所示，过点作，垂足为．
∵是母线的中点，圆锥的底面半径和高均为，
∴．∴．
在平面内建立直角坐标系如图．
设抛物线的方程为，为抛物线的焦点．
，所以，解得，
即，，，
该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离为，
故选：A
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是建立直角坐标系，求出，，.
7．A
【分析】设出点坐标，求解出以为直径的圆的方程，将圆的方程与圆的方程作差可得公共弦的方程，结合点在上可得点P的坐标满足的方程.
【详解】设，则以为直径的圆，即①
因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上，
所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆②，
所以由①②得直线的方程为：，
又点满足直线方程，所以，即.
故选：A.
8．A
【分析】对变形得到，进而得到以，结合椭圆定义可求出，，，由余弦定理求解关系式，求出离心率.
【详解】因为，所以，
如图，在上取一点M，使得，连接，则，
则点I为AM上靠近点M的三等分点，所以，
所以，
设，则，
由椭圆定义可知：，即，所以，
所以，，
故点A与上顶点重合，
在中，由余弦定理得：
，
在中，，
解得：，
所以椭圆离心率为.

故选：A
【点睛】对于求解圆锥曲线离心率问题，要结合题目中的条件，直接求出离心率或求出的齐次方程，解出离心率，本题的难点在于如何将进行转化，需要作出辅助线，结合内心的性质得到三角形三边关系，求出离心率.
9．AB
【分析】运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法,结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可.
【详解】两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，A正确；
两个不同的平面，的法向量分别是，，则，所以，B正确；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以或，C错误；
直线的方向向量，平面的法向量是，则，所以，D错误．
故选：AB
10．BD
【分析】综合运用双曲线的简单几何性质及点到直线距离公式、直线的斜率公式求解即可.
【详解】由双曲线知，，，
对于A，双曲线的离心率为，故A错误；
对于B，双曲线的渐近线方程为，即，故B正确；
对于C，点到渐近线的距离为，故C错误；
对于D，设，则，即，所以，即直线与直线的斜率乘积为，故D正确；
故选：BD.
11．BC
【分析】设出点P的坐标，列出方程并化简整理，放缩解不等式判断A；利用几何意义并结合求函数值域判断B；利用三角形面积公式计算判断C；取点计算判断D作答.
【详解】设点，依题意，，
对于A，，当且仅当时取等号，
解不等式得：，即点的横坐标的取值范围是，A错误；
对于B，，则，
显然，因此，B正确；
对于C，的面积，当且仅当时取等号，
当时，点P在以线段MN为直径的圆上，由解得，
所以面积的最大值为，C正确；
对于D，因为点在动点P的轨迹上，当点P为此点时，，D错误.
故选：BC
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
填空题
12．
【分析】根据题意得出半径，即可得出圆的标准方程.
【详解】以点为圆心，且与轴相切的圆的半径为1，
故圆的标准方程是.
故答案为：
13．
【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可；法二：利用四点共面的结论即可.
【详解】法一：由题意，
，，
因为，，共面，
所以存在实数唯一实数对，使得，
即，
所以，解得．
法二：由，，共面得四点共面，
则根据四点共面的充要条件可得，，即．
故答案为：.
14．
【分析】设，所以存在点使等价于由可求的最小值，求得的范围，从而得到的取值范围.
【详解】
设，则.显然当靠近右顶点时，，
所以存在点使等价于，
在中由余弦定理得，
即，解得 ，
同理可得，所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立.
由得，所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：求离心率范围关键是建立的不等式，此时将问题转化为，从而只需求的最小值，求最小值的方法是结合焦半径性质使用基本不等式求解.
三、解答题
15．(1)
(2)
【分析】（1）求出直线及的斜率，数形结合得到倾斜角的范围；
（2）设出方程为，根据直线所过的点及与坐标轴围成的三角形面积列出方程组，求出直线方程.
【详解】（1）因为直线的斜率为，直线的斜率为，
所以，对应的倾斜角分别为，，
结合图形，当直线过点且与线段有交点时，的倾斜角范围为；
（2）设直线在x轴，轴上的截距分别为a，，
由题意知，，则直线的方程为，
由直线经过点，且与x轴，轴围成的三角形的面积为2，
得，解得或（舍）.
所以直线的方程为，即.
16．(1)证明过程见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合相似三角形的判定定理和性质、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为，M为BC的中点，
所以，
因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以，所以，
而，即，
因为底面ABCD，底面ABCD，
所以，而平面PBD，
所以平面PBD；
（2）因为平面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为因为四棱锥的底面是矩形，
所以，建立如下图所示的空间直角坐标系，
，
因为平面ABCD，
所以平面ABCD的法向量为，
设平面APM的法向量为，
，，
于是有，
平面ABCD与平面APM所成角的余弦值为；
（3）由（2）可知平面APM的法向量为，，
所以D到平面APM的距离为
17．(1)；
(2)直线过定点.
【分析】（1）利用代入法，结合抛物线定义进行求解即可；
（2）直线方程与抛物线方程联立，根据角相等的性质、斜率公式、一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.
【详解】（1）因为点在抛物线上，且，
所以有，因此抛物线的标准方程为；
（2）设，，
直线方程与抛物线方程联立，得，
因为，．
因为，所以，
所以．
则，即．
当时，，即；
当时，，符合题意，即．
综上，直线过定点．
【点睛】关键点睛：通过角相等得到两条直线的斜率关系是解题的关键.
18．(1)证明见解析
(2)存在实数
【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明线线垂直即可；
（2）利用空间向量法表示出锐二面角的余弦值，求解实数即可.
【详解】（1）因为在四边形中，，，，
所以，
在四棱锥中，，即，，.
又平面，平面，，
所以平面，即是四棱锥的高，
因此，所以.
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.
又为的中点，所以，
因此，，
所以，所以，即.
（2）由（1）知，，，
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，
所以是平面的一个法向量.
因为，所以，，
所以，所以.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，
所以是平面的一个法向量，
所以，
可得，解得或.
又，所以，
即存在实数，使得锐二面角的余弦值为.
【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则
①两异面直线所成的角为，；
②直线与平面所成的角为，；
③二面角的大小为，.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)为定值1，理由见解析.
【分析】（1）根据实轴长和顶点到渐近线的距离求解即可；
（2）将转化为线段的中点重合，结合韦达定理求解即可；
（3）知识迁移，类比二元二次方程的正整数解，求方程的正整数解，然后将的面积表示出来即可.
【详解】（1）由题意，解得，
所以双曲线的标准方程为；
（2）由题意直线的斜率不为0，设直线，因为直线与的右支交于两点，所以，
联立得，
所以，且，即，
联立得，所以，
所以，即线段的中点重合，所以．
（3）由题意得方程的初始解为，则根据循环构造原理得
，
从而，
记，则，设的夹角为，
则的面积
，
令，
则
，于是的面积为定值1．
【点睛】思路点睛：结合题目给的数学情景，运用到新的数学问题中，将学习过的知识方法迁移到新的问题中题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
D
A
A
A
A
AB
BD
题号
11









答案
BC