海南省农垦实验中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

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一、单选题
1．满足的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
2．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（ ）
A．呈上升趋势B．呈下降趋势C．摆动变化D．不变
3．我国著名数学家华罗庚曾经专门对数形结合赋诗一首，强调其重要性：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事非．”在数学的学习和研究中，我们常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征．现从商标“Kappa”（中文名“背靠背”） 中抽象出图象如下，其对应的函数可能是（ ）
A．B．
C．D．
4．设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数 在 上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若a，b，c，d互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．已知定义在上的奇函数满足，若，则（ ）
A．4为的一个周期B．的图象关于直线对称
C．D．
10．下列命题正确的有（ ）
A．
B．已知函数在R上可导，若，则
C．已知函数，若，则
D．
11．下列命题中正确的有（ ）
A．函数的图象一定过定点
B．函数的定义域是，则函数的定义域为
C．若，则的取值范围是
D．若，则
三、填空题
12．在中，，则 .
13． ； .
14．函数在处的切线方程为 ．
四、解答题
15．观察：
…
(1)第行是多少个数的和？和是多少？
(2)计算第行的值．
16．已知函数．
(1)当时，求的单调区间：
(2)若的值域为，求实数a的取值范围．
17．如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18．某新能源汽车制造企业为了了解产品质量﹐对现有的一条新能源零部件产品生产线进行抽样调查．该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件．检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到如图所示的频率分布直方图，其分组为，，，，，，．
(1)从质量指标值在内的两组检测产品中，采用分层抽样的方法随机抽取5件，现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品不在同一组的概率．
(2)若该项质量指标值X近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差s，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①该项质量指标值低于30或高于92为不合格，若该生产线生产100万件零部件，试估计有多少件零部件不合格；
②若从该生产线上随机抽取3件零部件，设其中该项质量指标值不低于的零部件个数为Y，求随机变量Y的分布列与数学期望．
参考数据：，，．
19．已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值．
参考答案：
1．B
【解析】列举出符合条件的集合，即可得出答案.
【详解】满足的集合有：、、.
因此，满足的集合的个数为.
故选：B.
【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.
2．B
【分析】根据题意，可知为预测期内年增长率，当，可知年增长率为负，由此即可求出结果.
【详解】由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.
故选:B.
3．A
【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项B、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项．
【详解】由图知的定义域为，排除选项B、D，
又因为当时，，不符合图象，所以排除C，
故选：A.
4．D
【分析】根据指数以及对数的单调性即可求解.
【详解】因为，所以，因为，所以.
因为，所以，所以.
故选：D
5．A
【分析】根据零点存在性定理结合函数单调性以及f1和即可得解.
【详解】因为和是上单调递增函数，
所以是上单调递增函数，且其图象是连续不断的一条曲线，
又，
故函数的零点所在的区间为.
故选：A.
6．B
【分析】根据在上恒大于0，且单调递增，可求的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以在上单调递增，所以.
且在恒大于0，所以或.
综上可知：.
故选：B
7．B
【分析】根据指数函数的相关知识，找到该函数与轴的交点坐标,并结合单调性，只需该点的纵坐标小于等于0即可.
【详解】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，
要使图象不经过第一象限，则，解得.
故选：B.
8．C
【分析】由分段函数的性质画出函数图象，若，将问题转化为曲线与直线的交点问题，应用数形结合判断交点的区间，结合绝对值函数、对数函数的性质可得，，，结合对勾函数的性质求范围即可．
【详解】令，则或，令，则或，
由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为．
作出的草图如下，
令，不妨设，则，，，为曲线与直线的交点横坐标，
由图知：，且，
则，
由对勾函数可知在上递减，故，
故.
故选：C
9．ABC
【分析】根据函数的基本性质对选项AB进行验证，根据函数周期结合函数奇偶性对选项CD进行验证，即可得出答案.
【详解】对于A：函数为奇函数，则，
则，
则的一个周期为4，故A正确；
对于B：，则函数关于对称，故B正确；
对于C：的一个周期为4，
，
令中的，则，
函数为定义在上奇函数，
，
，故C正确；
对于D：的一个周期为4，
，
函数为奇函数，
，
，故D错误；
故选：ABC.
10．CD
【分析】直接根据求导法则判断ACD，根据导数的定义判断B.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，由于，，解得，故C正确；
对于D，，故D正确；
故选：CD.
11．CD
【解析】利用指数函数图象过定点可判断A选项的正误；利用抽象函数定义域的求解原则可判断B选项的正误；分、两种情况讨论，利用对数函数的单调性解不等式，可判断C选项的正误；利用函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，，令，可得，，
所以，函数的图象过定点，A选项错误；
对于B选项，对于函数，，则，所以，函数的定义域为，B选项错误；
对于C选项，当时，由，可得，此时；
当时，由，可得，此时.
综上所述，实数的取值范围是，C选项正确；
对于D选项，当，时，由，可得，
构造函数，则，
由于函数、在0,+∞上均为减函数，
所以，函数在0,+∞上为减函数，则，即，D选项正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：用对数函数的单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
12．30°/
【分析】利用正弦定理和大边对大角原理，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】利用正弦定理得，
所以，
解得，
而，
根据大边对大角有，
又因为，
所以，
故答案为：.
13． －3
【分析】利用分数指数幂与对数的运算规则进行计算即可．
【详解】，
故答案为(1). (2). －3
【点睛】本题考查分数指数幂与对数的运算规则，是基础题．
14．
【分析】根据求导公式和求导法则，结合导数的几何意义即可求解.
【详解】由题意得，，
则，又，
所以曲线在处的切线方程为，即.
故答案为：.
15．(1)第行是个数的和，和为
(2)
【分析】（1）根据规律求得第行数字的个数并求和.
（2）根据规律求得第行的值.
【详解】（1）根据规律可知，第行有个数，
和为.
（2）第行的值为.
16．(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(2).
【分析】（1）先求出对数型函数的定义域，然后由复合函数的单调性原理求解即可；
（2）对进行分类讨论，结合一元二次函数的开口方向与判别式求解的取值范围即可.
【详解】（1）当时，，
由，由于，所以，
所以的定义域为：，
的对称轴为：，
所以在上单调递减，在上单调递增；
在整个定义域上单调递减，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）若的值域为，则对能取到全部正实数，
①当时，即，
若，不符合题意；
若，，符合题意；
②当时，由题意得：，
解得，
综上：
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可； (2)利用空间向量求线面角即可.
【详解】（1）由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，．
底面，底面，
又，，
且平面,
平面，
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以．
又平面，所以平面．
（2）因为，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则
由，解得，令，
得平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
故：直线与平面所成角的正弦值为．
18．(1)
(2)①4.55万件；②分布列见解析，
【分析】（1）利用概率公式即可求解.
（2）先求出平均数，写出正态分布，利用正态分布即可求解；先求出的概率，然后根据二项分布，即可求解.
【详解】（1）采用分层抽样的方法随机抽取的5件中，在内的有3件，在内的有2件．
记“抽取的2件产品不在同一组”为事件A，则．
（2）①因为，
所以，且；
所以或或，
所以若该生产线生产100万件零部件，则估计有万件零部件不合格．
②因为，所以，所以Y可以取0，1，2，3，
，，
，，
所以Y的分布列为
故．
19．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可；
（2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可.
【详解】（1）不妨设双曲线C的半焦距为，
，
，
解得，
则，
故双曲线C的方程为；
（2）设，则，
为双曲线C上的两点，
两式相减得，整理得，
则，
故为定值，定值为4．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
A
D
A
B
B
C
ABC
CD
题号
11









答案
CD









Y
0
1
2
3
P