安徽省阜阳市皖江名校联盟2024届高三模拟预测数学试卷(解析版)

这是一份安徽省阜阳市皖江名校联盟2024届高三模拟预测数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，因此.
故选：A.
2. 已知双曲线的焦距为4，则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为双曲线的焦距为4，所以，解得，
所以则该双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率为.
故选：B
3. 记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
，
故选：C.
4. 已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意是空间不过同一点的三条直线，
当在同一平面时，可能，故不能得出两两相交.
当两两相交时，设，根据公理可知确定一个平面，而，根据公理可知，直线即，所以在同一平面.
综上所述，“在同一平面”是“两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
5. 已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于D，因为，所以，从而，故D正确，
对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C错误.
故选：D.
6. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项为B. 各项的系数和为64
C. 第3项的二项式系数最大D. 奇数项二项式系数和为
【答案】A
【解析】对于A，的展开式通项为，
当时，常数项为，选项A正确；
对于B，令，得各项的系数和为，选项B错误；
对于C，展开式共7项，二项式系数最大应为第4项，故选项C错误；
对于D，依题意奇数项二项式系数和为，选项D错误.
故选：A.
7. 在平面直角坐标系中，已知向量与关于轴对称，若向量满足，记的轨迹为，则（ ）
A. 是一条垂直于轴的直线B. 是两条平行直线
C. 是一个半径为1的圆D. 是椭圆
【答案】C
【解析】不妨设点的坐标为，，，，
由可得，即.
故选：C.
8. 设正数数列的前项和为，且，则（ ）
A. 是等差数列B. 是等差数列
C. 单调递增D. 单调递增
【答案】D
【解析】依题意可得：，.
因为，
所以当时，，即，解得，
当时，，整理得：，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列.
从而， .
因为当时，，
当时，.
也适合上式，
所以，故选项A、B错误，选项D正确.
因为，
所以选项C错误.
故选：D.
二、选择题
9. 设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（ ）
A. B. ，
C. ，D. ，
【答案】BD
【解析】因为，所以，A选项错误；
由，
故，
因此选项B正确；
又，所以，，，故C错D对.
故选：BD
10. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为，则（ ）
A.
B. 点是曲线的一个对称中心
C. 直线是曲线的一条对称轴
D. 函数在区间内单调递减
【答案】ABC
【解析】设函数的最小正周期为，
由题意可知：，， 则，
即函数的最小正周期为，可得，故A正确；
且，可得，
又因为，所以，即，
且，可得，所以.
对于选项B：因为，
所以点是曲线的一个对称中心，故B正确；
对于选项C：因为为最大值，
所以直线是曲线的一条对称轴，故C正确；
对于选项D：因为，则，
且在不单调，所以函数在区间内不单调，故D错误；
故选：ABC.
11. 抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则（ ）
A. 点在直线上B. 点在直线上的投影是定点
C. 以为直径的圆与直线相切D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于，依题意焦点的坐标为，准线为直线：，
不妨设，，直线的方程为，
联立与，得，
从而，，，，由题意，所以，故抛物线过点，的切线方程分别为，，解得点的坐标为，故错误；
对于，因为，，
所以，
所以，
即点在直线上的投影是点（定点），故选项正确；
对于，可证，，
因此，
即以为直径的圆与直线相切，选项正确；
对于选项，因，
，
从而，
令，由函数在上单调递增，
所以当，即时，函数取最小值，故正确.
故选：.
三、填空题
12. 已知，则的最小值为______.
【答案】20
【解析】依题意，，由可得，
所以，等号成立当且仅当.故答案为：20.
13. 已知三棱锥的外接球为球，为球的直径，且，
，，则三棱锥的体积为______.
【答案】
【解析】如图，易知，，所以，
作于点，易知，所以，
，
，
故三棱锥的体积为
.
故答案为：.
14. “完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍．寻找“完全数”用到函数：，为n的所有正因数之和，如，则_______；_______．
【答案】42
【解析】根据新定义可得，，
因为正因数，
所以
故答案为：；
四、解答题
15. 设，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数.
（1）求解析式，并通过列表､描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；
（2）在锐角中，分别是角对边，若，求的值域.
解：（1）函数的最小正周期，，
∵图象向左平移后得到的函数为，
由已知，
又，
.，
解析式为：，
由五点法可得，列表如下：
在上的图象如图所示：
（2），
由正弦定理可得，，
所以，即，
因为，所以
所以，
又，所以，
又因为三角形为锐角三角形，，,
所以，
所以，又
所以
16. 篮球运动深受青少年喜爱，2024《街头篮球》全国超级联赛赛程正式公布，首站比赛将于4月13日正式打响，于6月30日结束，共进行13站比赛.
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某统计部门在某地随机抽取了男性和女性各100名进行调查，得到列联表如下：
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？
（2）某校篮球队的甲、乙、丙、丁四名球员进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记甲第次触球的概率为，则.
（i）证明：数列是等比数列；
（ii）判断第24次与第25次触球者是甲的概率的大小.
附：.
解：（1）假设：喜爱篮球运动与性别独立，即喜爱篮球运动与性别无关.
根据列联表数据，经计算得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即能认为喜爱篮球运动与性别有关，此推断犯错误概率不超过0.001.
（2）（i）由题意，，
所以
又，所以是以为首项，为公比的等比数列.
（ii）由（i）得，，
所以，.
故甲第25次触球者的概率大.
17. 如图，在圆台中，分别为上、下底面直径，且，， 为异于的一条母线．
（1）若为的中点，证明：平面；
（2）若，求二面角的正弦值．
（1）证明：如图，连接．
因为在圆台中，上、下底面直径分别为，且，
所以为圆台母线且交于一点P，所以四点共面.
在圆台中，平面平面，
由平面平面，平面平面，得.
又，所以，
所以，即为中点．
在中，又M为的中点，所以．
因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：以为坐标原点，分别为轴，过O且垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，所以．则．
因为，所以．
所以，所以．
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，又，
设平面的法向量为，
所以，所以，
令，则，所以，
所以．
设二面角的大小为，则，
所以．所以二面角的正弦值为.
18. 已知函数，其中.
（1）若曲线在点处的切线方程为，求的最小值；
（2）若对于任意均成立，且的最小值为1，求实数.
解：（1）由题意，且的定义域为，且，
依题意即，从而，故，，
从而函数在上单调递减，在上单调递增，所以.
（2）依题意，，其中，记，则，
因为，，即是的极小值也是最小值，故，
而，所以，解得，
此时，
若，则趋近时，趋近，趋近负无穷，趋近，
即趋近负无穷，与矛盾！
若，，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，符合题意.
故.
所以，其中.
若即时，则函数在上最小值为，
依题意，解得，符合题意；
若即时，则函数在上最小值为，
依题意，即，无解，不符合题意.
所以，.
19. 如图,各边与坐标轴平行或垂直的矩形内接于椭圆，其中点，分别在第三、四象限，边，与轴的交点为，.
（1）若，且，为椭圆的焦点，求椭圆的离心率；
（2）若是椭圆的另一内接矩形，且点也在第三象限，若矩形和矩形的面积相等，证明：是定值，并求出该定值；
（3）若是边长为1的正方形，边，与轴的交点为，，设（，，…，）是正方形内部的100个点，记，其中，，，.证明：，，，中至少有两个小于81.
（1）解：依题意，，，
所以.
（2）解：设，，由题意，矩形和矩形的面积相等，
所以，
即，而，（*）
从而上式化为，
整理可得，
代入（*）式，，
故，
即为定值，且该定值为.
（3）证明：如图，以，的中点为焦点构造经过，，，的椭圆，对于点，连接并延长，与该椭圆交于点，连接，
则.
因而，中至少有一个小于81，
同理，中至少有一个小于81，
故，，，中至少有两个小于81.
0
1
2
3
4
0.1
0.4
0.2
0.2
0
0
1
0
-1
0
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
40
100
女性
20
80
100
合计
80
120
200
0.1
0.05
001
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828