2024年四川省宜宾市中考数学试题含答案

这是一份2024年四川省宜宾市中考数学试题含答案，共36页。试卷主要包含了对这组数据判断正确的是等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟，全卷满分：150分）
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号填写在答题卡指定的位置并将答题卡背面座位号对应标号涂黑．
2．答选择题时，务必使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，务必使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡规定的位置上作答，在试卷上答题无效．
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 2的绝对值是（ ）
A. B. C. D. 2
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ）
A. 方差为0B. 众数为75C. 中位数为77.5D. 平均数为75
4. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ）
A. B. C. D.
5. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A. 5天B. 10天C. 15天D. 20天
6. 如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A. 8B. 18C. 28D. 32
7. 如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A. B点B. C点C. D点D. E点
8. 某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A. 8箱B. 9箱C. 10箱D. 11箱
9. 如图，内接于，为的直径，平分交于．则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点A、B及的中点M，轴，与y轴交于点N．则的值为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A. B. C. 5D. 8
12. 如图，抛物线的图象交x轴于点、，交y轴于点C．以下结论：①；②；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，；④当时，在内有一动点P，若，则的最小值为．其中正确结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13. 分解因式：=_________________________．
14. 分式方程的解为___________．
15. 如图，正五边形的边长为4，则这个正五边形的对角线的长是___________．

16. 如图，在平行四边形中，，E、F分别是边上的动点，且．当的值最小时，则_____________．

17. 如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是___________（从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
18. 如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. （1）计算：；
（2）计算：．
20. 某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组：B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了___________名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为___________度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
21. 如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：．
22. 宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，）
图1 图2
23. 如图，一次函数．的图象与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
24. 如图，内接于，，过点A作，交的直径的延长线于点E，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求和的长．
25. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点为圆心，1为半径的上，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．求的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 【答案】D
【解析】解：2的绝对值是是2，
故选：D．
2. 【答案】C
【解析】解：A、，故该项是错误的；
B、，故该项是错误的；
C、，故该项符合题意；
D、，故该项是错误的；
故选：C．
3. 【答案】B
【解析】解：这组数据的平均数为：，故选项D错误，不符合题意；
方差为
，故选项A错误，不符合题意；
这组数据中，75出现次数最多，共出现3次，故众数75，故选项B正确，符合题意；
这组数据按大小顺序排列为：65，65，67，75， 75，75，78，80，80，88．
最中间的两个数是75，75，
故中位数为，故项C错误，不符合题意，
故选：B．
4. 【答案】A
【解析】解：是的直径，
，
，
，
，
故选：A．
5. 【答案】D
【解析】解：设快马x天可以追上慢马，
据题题意：，
解得：．
答：快马20天可以追上慢马．
故选：D．
6. 【答案】C
【解析】解∶∵，，
∴8不是完美数，故选项A不符合题意；
∵，，
∴18不是完美数，故选项B不符合题意；
∵，，
∴28是完美数，故选项C符合题意；
∵，，
∴32不是完美数，故选项D不符合题意；
故选：C
7. 【答案】B
【解析】解：把图形围成立方体如图所示：
所以与顶点A距离最远的顶点是C，
故选：B．
8. 【答案】C
【解析】解：设用个大箱，个小箱，
∴，
∴，
∴方程的正整数解为：
或，
∴所装的箱数最多为箱；
故选C．
9. 【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，图形的旋转等知识点，合理作辅助线为解题的关键．
作辅助线如图，先证明，，从而可以得到旋转后的图形，再证明是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．
【详解】解：如图，连接、，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴绕点逆时针旋转，如图所示
∴，
∵由旋转可知，
∴，
∴在等腰直角三角形中，，
∴．
故选：A
10. 【答案】B
【解析】解：作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图，
在等腰三角形ABC中，，是中点，
设，，
由中点为，，故等腰三角形中，
∴，
∴，
∵AC的中点为M，
∴，即，
由在反比例函数上得，
∴，
解得：，
由题可知，，
∴．
故选：B．
11. 【答案】D
【解析】解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴，
∵，（三点共线时取等号），
∴的最大值为，
故选D
12. 【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线图象经过点，可得当时，，据此可判断①；根据对称轴计算公式求出，进而推出，则，再根据抛物线开口向下，即可判断②；对称轴为直线，则，求出，，再分当时， 当时，两种情况求出对应的c的值即可判断③；当时，，则，取点，连接，则，可证明，由相似三角形的性质可得，则，故当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，利用勾股定理求出即可判断④．
【详解】解：∵抛物线的图象经过点，
∴当时，，故①正确；
∵抛物线的图象交x轴于点、，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵对称轴为直线，
∴；
∵、，
∴，
∴；
在中，当时，，
∴，
∴，
当时，则由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去）；
同理当时，可得；
综上所述，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，或，故③错误；
当时，，则，
如图所示，取点，连接，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点P在线段上时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，
在中，由勾股定理得，故④正确，
∴正确的有3个，
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13. 【答案】
【解析】解：==．
故答案为．
14. 【答案】
【解析】解：，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∴方程的根为，
故答案为：．
15. 【答案】##
【解析】解：如图，连接交于点，

∵五边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得或（舍去），
∴，
故答案为：．
16. 【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质．延长，截取，连接，，证明，得出，说明当最小时，最小，根据两点之间线段最短，得出当A、E、G三点共线时，最小，即最小，再证明，根据相似三角形的性质，求出结果即可．
【详解】解：延长，截取，连接，，如图所示：

∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当最小时，最小，
∵两点之间线段最短，
∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长，

∵，
∴，
∴，即，
解得．
故答案为：．
17. 【答案】乙槽
【解析】设第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根据题意，得，当时，x最大，为8，根据每次操作数字不相同，故数字1不可能再出现，故第二次操作计分最低的是乙槽．
故答案为：乙槽．
18. 【答案】##
【解析】解：∵正方形边长为1，
∴，，
将顺时针旋转得到，则，
∴，，，，
∴点P、B、M、C共线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
∴，
∵，
∴，即，
整理得：，
∴
，
当且仅当，即，也即时，取最小值，
故答案为：．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19. 【答案】（1）；（2）1．
【解析】解：（1）
；
（2）
．
20. 【答案】（1）40；图见解析
（2）72 （3）
【解析】
【小问1详解】
解：本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
；
故答案为：40；
【小问2详解】
解：，
故答案为：72；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．
21. 【答案】证明∶∵是等边三角形，
∴，，
又，
∴，
∴．
【解析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证．
22. 【答案】长江口宽度为米.
【解析】解：如图，过作于，过作于，过作于，而，
∴四边形，都是矩形，
∴，，，，
∵由题意可得：，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，，
∴，即，
，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴长江口的宽度为米.
23. 【答案】（1），
（2）或
（3）或或
【解析】
【分析】（1）把A的坐标代入，可求出k，把代入所求反比例函数解析式，可求n，然后把A、B的坐标代入求解即可；
（2）结合一次函数和反比例函数的图像，写出一次函数图像在反比例函数图像下方所对应的自变量范围即可；
（3）设点C的坐标为，，分、为对角线，、为对角线，、为对角线三种情况，根据对角顶点的横、纵坐标之和分别相等列方程组，即可求解．
【小问1详解】
解∶∵经过，
∴，解得，
∴，
把代入，得，
解得，
∴，
把，代入，
得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
∴不等式的解集为或；
【小问3详解】
解：设点C的坐标为，，
①以、为对角线，
则，
解得，
∴，
∴；
②以、为对角线，
则，
解得，
∴，
∴；
③以、为对角线
则，
解得，
∴，
∴；
综上，当C的坐标为或或时，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．
24. 【答案】（1）见解析 （2），．
【解析】
【分析】（1）延长交于点F，连接，根据等边对等角可得，，，，继而可得是的角平分线，根据等边三角形“三线合一”的性质可得，由平行线的性质可得，继而根据切线判定定理即可求证结论；
（2）连接，先求得，利用圆周角定理结合勾股定理求得直径的长，利用垂径定理结合勾股定理得到，代入数据计算求得，利用勾股定理可求得的长，证明，利用相似三角形的性质计算即可求得．
【小问1详解】
证明：延长交于点F，连接，
∵，
∴，，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是的角平分线，
∵，
∴，且平分线段，
∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（1）得，，
设，
∴，
∴，
解得，即，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵是的切线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，即，
解得，
∴．
25. 【答案】（1）抛物线的表达式为，顶点D的坐标为；
（2）点M坐标为；
（3）的取值范围为．
【解析】【小问1详解】
解：由于抛物线经过点和点，
∴，
∴，
∴抛物线的表达式为，
∴顶点D的坐标为；
【小问2详解】
解：∵点，对称轴为直线，
∴点，
∵，，
∴长为定值，
作点B关于原点的对称点，则，连接交轴于点M，
则，
∴，此时的周长最小，
设直线的解析式为，
则，
解得，，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点M的坐标为；
【小问3详解】
解：以为边在的下方作等边三角形，作轴于点，连接，，
∵等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点在以为圆心，1为半径的上，
，
当点在线段上时，有最小值为；
当点在射线上时，有最大值为；
∴的取值范围为．