2024年福建省中考数学试题含答案

这是一份2024年福建省中考数学试题含答案，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列实数中，无理数是（ ）
A. B. 0C. D.
2. 据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，全球（《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是由长方体和圆柱组成几何体，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（）按如图方式摆放，若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
8. 今年我国国民经济开局良好，市场销售稳定增长，社会消费增长较快，第一季度社会消费品零售总额120327亿元，比去年第一季度增长，求去年第一季度社会消费品零售总额．若将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，则符合题意的方程是（ ）
A. B.
C. D.
9. 小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A. 可以找到一个实数，使得B. 无论实数取什么值，都有
C. 可以找到一个实数，使得D. 无论实数取什么值，都有
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 因式分解：x2+x=_____．
12. 不等式的解集是______．
13. 学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是______．（单位：分）
14. 如图，正方形的面积为4，点，，，分别为边，，，的中点，则四边形的面积为______．

15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于两点，且点都在第一象限．若，则点的坐标为______．
16. 无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，风对帆的作用力为．根据物理知识，可以分解为两个力与，其中与帆平行的力不起作用，与帆垂直的力仪可以分解为两个力与与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学模型：，则______．（单位：）（参考数据：）
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 计算：．
18. 如图，在菱形中，点分别在边上，，求证：．
19. 解方程：．
20. 已知A、B两地都只有甲、乙两类普通高中学校．在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3000人，数学平均分为90分：乙类学校有考生2000人，数学平均分为80分．
（1）求A地考生的数学平均分；
（2）若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明：若不能，请举例说明．
21. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
22. 如图，已知直线．
（1）在所在的平面内求作直线，使得，且与间的距离恰好等于与间的距离；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若与间的距离为2，点分别在上，且为等腰直角三角形，求的面积．
23. 已知实数满足．
（1）求证：为非负数；
（2）若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由．
24. 在手工制作课上，老师提供了如图1所示矩形卡纸，要求大家利用它制作一个底面为正方形的礼品盒．小明按照图2的方式裁剪（其中），恰好得到纸盒的展开图，并利用该展开图折成一个礼品盒，如图3所示．
图1 图2 图3
（1）直接写出的值；
（2）如果要求折成的礼品盒的两个相对的面上分别印有“吉祥”和“如意”，如图4所示，那么应选择的纸盒展开图图样是（ ）
图4
A． B．
C． D．
（3）
现以小明设计的纸盒展开图（图2）为基本样式，适当调整，的比例，制作棱长为的正方体礼品盒，如果要制作27个这样的礼品盒，请你合理选择上述卡纸（包括卡纸的型号及相应型号卡纸的张数），并在卡纸上画出设计示意图（包括一张卡纸可制作几个礼品盒，其展开图在卡纸上的分布情况），给出所用卡纸的总费用．
（要求：①同一型号的卡纸如果需要不止一张，只要在一张卡纸上画出设计方案；②没有用到的卡纸，不要在该型号的卡纸上作任何设计；③所用卡纸的数量及总费用直接填在答题卡的表格上；④本题将综合考虑“利用卡纸的合理性”和“所用卡纸的总费用”给分，总费用最低的才能得满分；⑤试卷上的卡纸仅供作草稿用）
25. 如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点．
（1）求的值；
（2）求证：；
（3）求证：与互相平分．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1. 【答案】D
【解析】根据无理数的定义可得：无理数是
故选：D．
2. 【答案】C
【解析】
故选：C．
3. 【答案】C
【解析】解：这个立体图形的俯视图是一个圆形，圆形内部中间是一个矩形．
故选：C．
4. 【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，则，
∴，
故选：A．
5. 【答案】B
【解析】解：，A选项不合题意；
，B选项符合题意；
，C选项不合题意；
，D选项不合题意；
故选：B．
6. 【答案】B
【解析】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有6种不同情况，和是偶数的共有2种情况，故和是偶数的概率是
，
故选：B
7. 【答案】A
【解析】∵，为的中点，
∴
∵
∴
∵直线与相切，
∴，
∴
故选：A．
8. 【答案】A
【解析】解：将去年第一季度社会消费品零售总额设为亿元，根据题意得：
，
故选：A．
9. 【答案】B
【解析】解：A.，
，
由对称得，
点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形，，，
，
，结论正确，故不符合题意；
B.不一定等于，结论错误，故符合题意；
C.由对称得，
，结论正确，故不符合题意；
D.
过作，
，
，
，由对称得，
，
同理可证，
，结论正确，故不符合题意；
故选：B．
10. 【答案】C
【解析】解：二次函数解析式为，
二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，
当时，，
，
当时，，
，
故A、B错误，不符合题意；
当时，，
由二次函数对称性可知，，
当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．
11. 【答案】
【解析】解：
12. 【答案】
【解析】解：，
，
，
故答案为：．
13. 【答案】90
【解析】解：∵共有12个数，
∴中位数是第6和7个数的平均数，
∴中位数是；
故答案为：90．
14. 【答案】2
【解析】解：正方形的面积为4，
，，
点，，，分别为边，，，的中点，
，
，
同理可得，
四边形的面积为．
故答案为：2．
15. 【答案】
【解析】解：如图：连接
∵反比例函数的图象与交于两点，且
∴
设，则
∵
∴
则
∵点在第一象限
∴
把代入得
∴
经检验：都是原方程的解
∵
∴
故答案为：
16. 【答案】128
【解析】解：如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角为，帆与航行方向的夹角为，
∴，，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
有题意可知， ，
∴，
∴
在中，，
∴，
故答案为：
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 【答案】4
【解析】解：原式．
18. 【答案】见解析
【解析】证明：四边形是菱形，
，，
，
，
．
19. 【答案】．
【解析】解：，
方程两边都乘，得．
去括号得：，
解得．
经检验，是原方程根．
20. 【答案】（1）86； （2）不能，举例见解析．
【解析】【小问1详解】
由题意，得A地考生的数学平均分为．
【小问2详解】
不能．
举例如下：如B地甲类学校有考生1000人，乙类学校有考生3000人，则B地考生的数学平均分为
．
因为，
所以不能判断B地考生数学平均分一定比地考生数学平均分高．
21. 【答案】（1） （2）
【解析】
【小问1详解】
解：将代入，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为．
【小问2详解】
设，因为点在第二象限，所以．
依题意，得，即，所以．
由已知，得，
所以．
由，
解得（舍去），
所以点坐标为．
22. 【答案】（1）见解析； （2）的面积为1或．
【解析】
【小问1详解】
解：如图，
直线就是所求作的直线．
【小问2详解】
①当时，
，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，根据图形的对称性可知：，
，
．
②当时，
分别过点作直线的垂线，垂足为，
．
，直线与间的距离为2，且与间的距离等于与间的距离，
．
，，
，，
．
在中，由勾股定理得，
．
．
③当时，同理可得，．
综上所述，的面积为1或．
23. 【答案】（1）证明见解析； （2）不可能都为整数，理由见解析．
【解析】
【小问1详解】
解：因为，
所以．
则
．
因为是实数，所以，
所以为非负数．
【小问2详解】
不可能都为整数．
理由如下：若都为整数，其可能情况有：①都为奇数；②为整数，且其中至少有一个为偶数．
①当都为奇数时，则必为偶数．
又，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
②当为整数，且其中至少有一个为偶数时，则必为偶数．
又因，所以．
因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．
综上所述，不可能都为整数．
24. 【答案】（1）2； （2）C； （3）见解析．
【解析】
【小问1详解】
解：如图：
上述图形折叠后变成：
由折叠和题意可知，，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∴，即，
∵，
∴，
∴的值为：．
【小问2详解】
解：根据几何体的展开图可知，“吉”和“如”在对应面上，“祥”和“意”在对应面上，而对应面上的字中间相隔一个几何图形，且字体相反，
∴C选项符合题意，
故选：C．
【小问3详解】
解：
根据（1）和题意可得：卡纸每格的边长为，则要制作一个边长为的正方体的展开图形为：
∴型号卡纸，每张卡纸可制作10个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作2个正方体，如图：
型号卡纸，每张这样的卡纸可制作1个正方体，如图：
∴可选择型号卡纸2张，型号卡纸3张，型号卡纸1张，则
（个），
∴所用卡纸总费用为：
（元）．
25. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【小问1详解】
，且是的直径，
．
，
在中，．
，
在中，．
，
；
【小问2详解】
过点作，交延长线于点．
．
，
，
．
，
，
，
，，
．
，
，
，
．
【小问3详解】
如图，连接．
是的直径，
．
，
．
由（2）知，，
，
，
．
．
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分．
【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识，考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，考查化归与转化思想等．
卡纸型号
型号Ⅰ
型号Ⅱ
型号Ⅲ
规格（单位：cm）
单价（单位：元）
3
5
20
卡纸型号
型号
型号
型号
需卡纸的数量（单位：张）
1
3
2
所用卡纸总费用（单位：元）
58