福建省仙游第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

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1.直线3x−y+1=0的倾斜角的大小为( )
A.30∘ B.60∘ C.120∘ D.150∘
2.空间向量a=(1,0,1)在b=(0,1,1)上的投影向量为( )
A.12,0,12 B.22,0,22 C.0,12,12 D.0,22,22
3.若直线y=−12ax−12与直线y=3x−2垂直,则a的值为( )
A.-3 B.3 C.−23 D.23
4.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,若由OP=15OA+23OB+λOC(λ∈R)确定的一点P与A,B,C三点共面,则λ的值为( )
A.215 B.13 C.35 D.25
5.如图,G是△ABC的重心,OA=a,OB=b,OC=c,则OG=( )
A.13a+23b+23c B.23a+23b+13c C.23a+23b+23c D.13a+13b+13c
6.如图，二面角α−l−β等于120∘,A、B是棱l上两点,BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l,BD⊥l,且
AB=AC=BD=2，则CD的长等于( )
A.4 B.22 C.23 D.2
7.如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形，D1D=3,M,N分别是B1C1，AB的中点，设点P是线段DN上的动点,则MP的最小值为( )
A.304 B.2305 C.302 D.3305
8.已知a+b−7=0,c+d−5=0,则(a+c)2+(b+d)2的最小值等于( )
A.3 B.6 C.62 D.42
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分.）
9.已知A(0,1),B(−2,0),C(1,−1),则( )
A.直线AB的方程为x−2y+2=0 B.点A到直线BC的距离为102
C.△ABC为等腰直角三角形 D.△ABC的面积为5
10.已知集合S={直线l sin⁡θmx+cs⁡θny=1其中m,n是正常数θ∈[0,2π)},下列结论中正确的是( )
A.当θ=π4时,S中直线的斜率为- nm B.S中所有直线均经过同一个定点
C.当m⩾n时，S中的两条平行线间的距离的最小值为2n
D.S中的所有直线可覆盖整个直角坐标平面
11.材料:在空间直角坐标系中,经过点Px0,y0,z0且法向量m=(a,b,c)的平面的方程为
ax−x0+by−y0+cz−z0=0,经过点Px0,y0,z0且方向向量n=(A,B,C)的直线方程为
x−x0A=y−y0B=z−z0C(ABC≠0).
阅读上面材料,并解决下列问题:平面α的方程为x−2y+z+4=0,平面β的方程为
2x−y−4z+2=0,直线l的方程为x3=y−2=z,直线m的方程为x−13=y2=z−1,则( )
A.平面α与β垂直 B.平面α与l所成角的余弦值为6633
C.直线m与平面β平行 D.直线m与l是异面直线
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)⋅2b=−2,则实数x=________.
13.已知直线ax+by−2=0,且3a−4b=1,则该直线必过定点________.
14.如图，正方形ABCD和正方形ABEF的边长都是1,且它们所在的平面所成的二面角D−AB−F的大小是60∘,若M、N分别是 AC,BF上的动点,且AM=BN,则MN的最小值是_______.
四､解答题（本大题共5小题，共77分）
15.已知直线l1:(a+1)x+3y−1=0,直线l2:2x+ay+1=0.
(1)若l1⊥l2,求实数a的值;
(2)直线l1与坐标轴正半轴围成的三角形面积为19,求直线l1的斜率.
16.已知直线l过点(1,2)且在x,y轴上的截距相等.
求直线l的一般式.
(2)若直线l在x,y轴上的截距不为0,点p(a,b)在直线l上,求3a+3b得最小值.
17.如图1,平面图形PABCD由直角梯形ABCD和Rt△PAD拼接而成，其中AB=BC=1,BC//AD,AB⊥AD,PA=PD=2,PA⊥PD,PC与AD相交于点O,现沿着AD将其折成四棱锥P−ABCD(如图2).
当侧面PAD⊥底面ABCD时,求点B到平面PCD的距离;
(2)在(1)的条件下,线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q−AC−D的余弦值为63?若存在,求出PQQD的值;若不存在,请说明理由.
18.《九章算术》是我国古代的一部数学经典著作,在其中一篇《商功》中有如下描述："斜解立方，得两堑堵",堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱.如图,在堑堵ABC−A1B1C1中,AB⊥BC,BC=1,AB=3,CC1=2,P为棱AC的中点，Q为棱A1C1的中点。
(1)证明：平面PBC1//平面AB1Q;
(2)求二面角Q−AB1−A1的正切值;
(3)求CC1与平面PBC1所成角的正弦值.
19.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系xOy中的点E(2,0),F(22,0)，则满足|PF|=2|PE|的动点P的轨迹记为圆E.
(1)求圆E的方程;
(2)若直线l为ax−y+1−a=0,证明：无论a为何值，直线l与圆E恒有两个交点.
(3)若点A(−2,2),B(−2,6),C(4,−2),当P在E上运动时,求2|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值和最小值.