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    河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)

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    河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版)

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    这是一份河南省南阳市南召县2022-2023学年高一下学期期末数学试卷(解析版),共16页。试卷主要包含了单项选择题.,多项选择题.,填空题.,解答题.等内容,欢迎下载使用。
    一、单项选择题.
    1. 已知角的终边经过点,则( )
    A. B. C. D. -2
    【答案】A
    【解析】因为角的终边经过点,所以.
    故选:A.
    2. 若向量,满足,则( )
    A. B. 2C. D.
    【答案】D
    【解析】因为,所以 ,所以,解得.
    故选:D.
    3. 若,则=( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】.
    故选:C.
    4. 半径为的半圆卷成一个圆锥,则它的体积为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】半径为的半圆卷成一个圆锥,可得圆锥母线长为,底面圆周长为,
    所以底面圆的半径为,圆锥的高为,
    所以圆锥的体积为.
    故选:A.
    5. 在中,,则此三角形的形状是( )
    A. 等边三角形B. 钝角三角形
    C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
    【答案】C
    【解析】,,

    ,即,
    ,,故此三角形为直角三角形.
    故选:C.
    6. 在中,角的对边分别是.已知,则( )
    A B. C. D.
    【答案】A
    【解析】,即,故,

    设,则,解得或(舍去).
    故选:A.
    7. 如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:
    ①与所成的角为;②∥平面;
    ③;④平面∥平面.
    其中正确判断的序号是( )
    A. ① ③B. ② ③C. ① ② ④D. ② ③ ④
    【答案】C
    【解析】把正方体的平面展开图还原成正方体,
    得:①与所成的角为正确;
    ②不包含于平面平面平面,故②正确;
    ③与是异面直线,故③不正确;
    ④平面,
    所以平面平面,故④正确,正确判断的序号是①②④.
    故选:C.
    8. 如图,某圆柱的一个轴截面是边长为2的正方形ABCD,点E在下底面圆周上,且,点F在母线AB上,点G是线段AC的靠近点A的四等分点,则的最小值为( )
    A. B. 3C. 4D.
    【答案】A
    【解析】将绕直线AB旋转到的位置,并且点在BC的反向延长线上,
    连接,交AB于点,此时最小,如图所示:
    因为,所以,
    又因为,所以,
    又因为,所以,
    在中,由余弦定理得

    解得,即的最小值为.
    故选:A.
    二、多项选择题.
    9. 已知向量,,则下列命题正确的是( )
    A 若,则
    B. 若 ,则
    C. 若取得最大值时,则
    D. 的最大值为
    【答案】ACD
    【解析】A选项,若,则,即,故A正确;
    B选项,若,则,则,故B不正确;
    C选项,,其中,
    当取得最大值时,,即,
    ,故C正确;
    D选项,,
    当时,取得最大值为,
    所以的最大值为,故D正确.
    故答案为:ACD.
    10. 若函数f(x)=tan2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象,那么下列说法正确的是( )
    A. 函数g(x)的定义域为{,k∈Z}
    B. 函数g(x)在单调递增
    C. 函数g(x)图象的对称中心为,k∈Z
    D. 函数g(x)≤1的一个充分条件是
    【答案】BD
    【解析】由题可知:,
    令,即,
    所以函数定义域为,故A错;
    令,
    所以函数单调递增区间为,
    当时,是函数的单调递增区间,故B正确;
    令,故函数对称中心为,故C错;

    所以,
    所以在所求的范围之内,故D正确.
    故选:BD.
    11. 在中,下列说法正确的是( )
    A. 若,则
    B. 存在满足
    C. 若,则为钝角三角形
    D. 若,则
    【答案】ACD
    【解析】对于A选项,若,则,则,即,
    故A选项正确;
    对于B选项,由,则,且,
    在上递减,于是,即,故B选项错误;
    对于C选项,由,得,在上递减,
    此时:若,则,则,于是;
    若,则,则,
    于是,故C选项正确;
    对于D选项,由,则,则,在递增,
    于是, 即,同理,
    此时,
    ,所以D选项正确.
    故选:ACD.
    12. 如图,在正方体中,点在线段上运动,有下列判断,其中正确的是( )
    A. 平面平面
    B. 平面
    C. 异面直线与所成角的取值范围是
    D. 三棱锥体积不变
    【答案】ABD
    【解析】对于A,连接,
    因为在正方体中,平面,
    又平面,所以,
    因为在正方形中,又与为平面内的两条相交直线,
    所以平面,
    因为平面,所以,同理可得,
    因为与为平面内两条相交直线,可得平面,
    又平面,从而平面平面,故A正确;
    对于B,连接,,
    因为,,所以四边形是平行四边形,
    所以,又平面,平面,
    所以平面,同理平面,
    又、为平面内两条相交直线,所以平面平面,
    因为平面,所以平面,故B正确;
    对于C,因为,所以与所成角即为与所成的角,
    因为,所以为等边三角形,
    当与线段的两端点重合时,与所成角取得最小值;
    当与线段的中点重合时,与所成角取得最大值;
    所以与所成角的范围是,故C错误;
    对于D,由选项B得平面,故上任意一点到平面的距离均相等,
    即点到面平面的距离不变,不妨设为,则,
    所以三棱锥的体积不变,故D正确.
    故选:ABD.
    三、填空题.
    13. 若复数是纯虚数,则实数m=____.
    【答案】2
    【解析】由题意,,解得.
    故答案为:2.
    14. 已知,且与夹角为钝角,则的取值范围___________.
    【答案】且
    【解析】由于与夹角为钝角,所以,
    解得且,所以取值范围是且.
    故答案为:且.
    15. 在正四棱柱中,是的中点,,,则与平面所成角的正弦值为__________.
    【答案】
    【解析】设底面中心为,则,
    因为平面,平面,所以,
    又平面,
    所以平面,则平面,
    取的中点,连接,则,所以平面,
    连接,则为与平面所成的角,
    因为,,
    所以,,.
    故答案为:.
    .
    16. 已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,侧面底面,且,则该四棱锥的外接球的表面积为______.
    【答案】
    【解析】设正方形的中心,三角形的外心,
    取的中点,连,,则,,
    分别以,为邻边作一个矩形,如图,
    因为侧面底面,则平面,平面,
    则,所以点就是该外接球的球心,
    由,可得,
    在中,,
    外接圆的表面积为.
    故答案为:.
    四、解答题.
    17. 已知复数在复平面内所对应的点为A.
    (1)若点A在第二象限,求实数m的取值范围;
    (2)求的最小值及此时实数m的值.
    解:(1)由,解得或.
    (2),
    令,∵,∴,
    则,
    所以当,即时,有最小值.
    18. 记的内角,,所对的边分别是,,.已知.
    (1)求角的大小;
    (2)若点在边上,平分,,且,求.
    解:(1)因为,
    即,
    化简可得,由余弦定理可得,
    所以,且,则.
    (2)由(1)知,由余弦定理可得,将代入,
    化简可得,
    又因为平分,由角平分线定理可得,
    即,且,所以,
    又因为,
    则,
    结合余弦定理可得,解得,所以,
    则.
    19. 如图1,在梯形中,,点E在线段上,,将沿翻折至的位置,连接,点F为中点,连接,如图2.
    (1)在线段上是否存在一点Q,使平面平面?若存在,请确定点Q的位置,若不存在,请说明理由;
    (2)当平面平面时,求三棱锥的体积.
    解:(1)当Q是的中点时,平面平面,理由如下:
    如图,连接,
    依题意得,且,则,
    所以四边形是平行四边形,则,
    又平面平面,所以平面,
    因为分别为的中点,所以,
    又平面平面,所以平面,
    因为平面,所以平面平面.
    .
    (2)取的中点M,连接,
    因为,则,
    所以为边长为2的等边三角形,则,
    因为,所以由余弦定理得,
    所以在中,,则,
    因为平面平面,平面平面平面,
    所以平面,
    因为F为的中点,所以F到平面的距离,
    所以.
    20. 锐角中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足:.
    (1)求A;
    (2)求面积取值范围.
    解:(1)因为,由正弦定理得:,
    因为,
    所以,
    化简得,所以,
    因为,所以.
    (2)由正弦定理,得,


    因为锐角,所以,解得,则,
    所以.
    21. 如图,在四棱锥中,底面为正方形,侧面是正三角形,侧面底面,是的中点.
    (1)求证:平面;
    (2)求二面角的余弦值.
    解:(1)因为侧面底面,且交线为,
    又面,,所以平面,
    又平面,所以,
    侧面是正三角形,是的中点,所以,
    又,所以平面.
    (2)取的中点,的中点,连接,,,
    依题意知,,且,所以平面,
    又,所以平面,因此,,
    所以就是二面角的平面角,
    由(1)知平面,
    因为,所以平面,从而,
    在直角三角形中,设,则,
    所以,,
    所以,二面角的余弦值为.
    22. 已知,,.函数的最小正周期为.
    (1)求函数在内的单调递增区间;
    (2)若关于的不等式在内恒成立,求实数的取值范围.
    解:(1)因为,,
    所以,


    因为最小正周期为,所以,,,
    令,
    解得,
    则函数在内的单调递增区间为、.
    (2),
    即,
    整理得,,
    即在内恒成立,
    令,
    则,,
    设,易知当时函数单调递增,
    故,,,的取值范围为.

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