2025届高中数学一轮复习专题练 指数函数、对数函数与幂函数

这是一份2025届高中数学一轮复习专题练 指数函数、对数函数与幂函数，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知函数,则有( )
A.最小值B.最大值C.最小值D.最大值
2．若函数（其中,且）的最小值是3,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
3．医学家们为了揭示药物在人体内吸收､排出的规律，常借助恒速静脉滴注一室模型来进行描述.在该模型中，人体内药物含量x(单位：)与给药时间t(单位：h)近似满足函数关系式，其中，k分别称为给药速率和药物消除速率(单位：).经测试发现，当时，，则该药物的消除速率k的值约为()( )
A.B.C.D.
4．已知,则( )
A.B.C.D.2
5．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲.某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫米/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为，其中k为常数，，为原污染物数量.该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的( )（参考数据：）
A.B.C.D.
6．已知幂函数的图象经过点,则( )
A.B.C.D.
7．每年3月21日是世界睡眠日.充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准.对于青少年来说,每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量.运动强度等级与运动后的心率y的关系如下表：
已知青少年羽毛球运动后的心率y与运动时间t（单位：分钟）满足关系式,其中a为正常心率.某同学正常心率为70,若该同学要达到中等强度的羽毛球运动,则运动时间至少约为( )（参考数据：）
A.35分钟B.41分钟C.52分钟D.62分钟
8．某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R与可见叶片数x进行解题思路研究,其关系可以用函数（a为常数）表示.若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片,叶龄指数为30,则当玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时,可见叶片数约为( )（参考数据：,）
A.15B.16C.17D.18
二、多项选择题
9．噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级：
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，，，则( )
A.B.C.D.
10．已知函数且,的图象不经过第三象限,则a,b的范围可能为( )
A.,B.,
C.,D.,
11．将正数x用科学记数法表示为，，，则，我们把m，分别称为的首数和尾数.若将的首数记为，尾数记为，则下列说法正确的是( )
A.B.是周期函数
C.若，则D.若，则
三、填空题
12．若,则___________.
13．函数的定义域为________.
14．已知函数是幂函数且图象与y轴无交点，则m的值为________.
四、解答题
15．已知函数的图像关于原点对称,其中a为常数.
(1)求a的值;
(2)若时,恒成立,求实数m的取值范围.
16．若存在实数m，n使得，则称函数为，的“函数”.
（1）若为，的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求，的解析式.
（2）设函数，，是否存在实数m，n使得为，的“函数”，且同时满足①是偶函数；②的值域为.若存在，请求出实数m，n的值；若不存在，请说明理由.
17．化简，并画出简图，写出最小值.
18．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元.
(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？
19．已知函数是定义在R上的奇函数.
（1）求的解析式;
（2）求当时,函数的值域.
参考答案
1．答案：B
解析：,令,,,
任取且,则,,
所以,
则,所以函数在上单调递增,故当时,,
所以,又因为函数为减函数,
故.故选:B.
2．答案：D
解析：由函数（其中,且）的最小值是3,
当时,函数为单调递减函数,所以,
则当时,函数为单调递增函数,则,
且满足,即,解得,
综上可得,实数a的取值范围为.
故选：D.
3．答案：A
解析：由题知：将，代入，
得：，化简得.
即，解得.
故选：A
4．答案：A
解析：,
得.
故选：A.
5．答案：A
解析：因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即，所以.再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为.
6．答案：C
解析：设幂函数,所以,解得,所以,
故.
故选:C.
7．答案：B
解析：由题可知,则,
所以,从而,
可得运动时间至少约为41分钟.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题意知,,则等式两边同时取自然对数得,,
.,,,,
故选：C.
9．答案：ACD
解析：因为随着p的增大而增大，且，，所以，所以，故A正确；由，得，因为，所以，故C正确；假设，则，所以，所以，不可能成立，故B不正确；因为，所以，故D正确.
10．答案：ABC
解析：若,函数图象如图所示
要想图象不经过第三象限,则需要向上平移,或向下平移不超过1个单位长度,故或,解得：或,故AB正确;
若,函数图象如图所示
要想图象不经过第三象限,则需要向上平移,故,解得：,即C正确,D错误.
故选：ABC.
11．答案：AC
解析：对于A，因为，所以，故A正确.
对于B，若且，必有，不可能存在非零常数T，使得恒成立，不符合周期函数的定义，故B错误.设，（，）.
对于C，有，，.若，则；若，则，此时，所以，故C正确.
对于D，有，，；若，则；若，则，此时，所以，故D错误.
12．答案：64
解析：
.
故答案为：64.
13．答案：
解析：由对数函数的性质可得,
故答案为:.
14．答案：2
解析：因为函数是幂函数，
所以，解得或.
当时，，因为，所以与y轴无交点.
当时，，过，与轴有交点，舍去.
综上：.
故答案为：2
15．答案：(1)-1;
(2).
解析：函数图象关于原点对称,它是奇函数,
,
,在函数定义域内恒成立,
,,
时,不合题意,
时,,定义域是,符合题意.
.
(2)由(1)
恒成立,
而在上,是减函数,,,
.即m的取值范围是.
16．答案：（1），
（2）存在实数，
解析：（1）因为为，的“函数”，
所以，①
所以.
又为奇函数，为偶函数，
所以.②
由①②得，.
（2）假设存在实数m，n，使得为，的“函数”，
则.
因为是偶函数，所以，
即，
即.
因为，
所以.
因为对任意恒成立，
所以，③
所以
因为，当且仅当，即时取等号，
所以.
因为的值域为，
所以，且.④
由③④得，.
综上，存在实数，符合题意.
17．答案：图像见解析，最小值为4
解析：
其图象如图所示，
所以所求最小值为4.
18．答案：（1）每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖据机一小时挖土15立方米；
（2）共有三种调配方案，A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元
解析：（1）设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，
根据题意，得，解得.
所以，每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖据机一小时挖土15立方米.
（2）设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖据机有台.根据题意，得，
因为，解得，
又因为，解得，所以.
所以，共有三种调配方案.
方案一：当时，，即A型挖据机7台，B型挖掘机5台；
案二：当时，，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台；
方案三：当时，，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台.
，由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小，
当时，，
此时A型挖掘机7台，B型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元.
19．答案：（1）;
（2）
解析：（1）由函数是R上的奇函数,则有,解得,即,
,,
即,,解得,经验证得,时,是奇函数,
所以.
（2）由（1）知,,
当时,,因此当时,,当时,,
所以所求值域为.
运动强度等级
运动不足
中等强度
运动过量
运动后的心率y
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽车
10
电动汽车
10
40